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1 Escola E.B. 2,3 Eng. Nuno Mergulhão Portimão Ano Letivo 2012/2013 Teste de Avaliação Escrita de Matemática 9.º ano de escolaridade Duração do Teste: 90 minutos 25 de fevereiro de 2013 Nome: N.º Turma: Classificação: Fraco (0% 19%) Insuficiente (20% 49%) Suficiente (50% 69%) Bom (70% 89%) Muito Bom (90% 100%) O Professor (Nuno Marreiros): O Encarregado de Educação: Atenção: Lê atentamente o enunciado e responde apenas ao que te é pedido; Apresenta todos os cálculos que efetuares e mostra como chegaste à tua resposta; Utiliza apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével, azul ou preta. Não é permitido o uso de corretor, não sendo corrigido nenhum item onde este tenha sido usado. 1. No ponto D existe um radar que deteta qualquer barco num raio de 20 Km e no ponto C existe outro radar que deteta barcos num raio de 25 Km. Indica qual a afirmação verdadeira: O barco 1 não é detetado por nenhum dos radares. O barco 2 é apenas detetado por um dos radares. O barco 3 é detetado pelos dois radares. O barco 4 não é detetado por nenhum dos radares. 2. Na figura está representada uma circunferência de centro O em que: A, B, C e D são pontos da circunferência; Qual é, em graus, a amplitude do arco CB? Mostra como chegaste à tua resposta. 3. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro no ponto O e diâmetro AB. O ponto C pertence à circunferência. Determina, em graus, a amplitude do ângulo α. Apresenta os cálculos que efetuares. 1

2 4. Na figura estão representados um retângulo e uma circunferência de centro no ponto O e raio r. Sabe-se que: o ponto E pertence à circunferência e é exterior ao retângulo e são diâmetros da circunferência o lado do retângulo é tangente à circunferência 25 a) Admite que o perímetro do retângulo é igual a 36 cm. Determina o comprimento da circunferência. Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. Mostra como chegaste à tua resposta. Nota: Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. b) Determina a amplitude de uma rotação de centro em O que transforme o ponto D no ponto E. Mostra como chegaste à tua resposta. c) Qual das afirmações seguintes é verdadeira? O ponto B pertence à mediatriz do segmento de reta O ponto B pertence à mediatriz do segmento de reta O ponto O pertence à mediatriz do segmento de reta O ponto O pertence à mediatriz do segmento de reta 5. Na figura apresenta-se parte de um polígono regular com n lados, podendo verificar-se que a amplitude do seu ângulo interno é 2380 e a amplitude do seu ângulo externo é +10. Determina n. Mostra como chegaste à tua resposta. 2

3 6. Na figura podes observar uma parte de um cilindro com 8 cm de altura. O ponto C é o centro de uma das bases desse cilindro. Determina o volume do sólido. 7. Na figura, sabe-se que: O é o centro da circunferência; AB e BC são cordas congruentes; D é o ponto de interseção do diâmetro EB com a corda AC. Nota: A figura não está construída à escala. a) Qual é, em graus, a amplitude do arco AC, supondo que 32? b) Qual é, em centímetros, a medida do comprimento de DE, supondo que =7,4 e =4,8? Apresenta os cálculos que efetuares. 8. Na figura está representada uma circunferência. A figura não está desenhada à escala. Sabe-se que: os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência o ponto P é o ponto de interseção das cordas AC e BD a amplitude do arco BC é 80º a amplitude do ângulo DPC é 85º a) Determina a amplitude, em graus, do ângulo DBA. Apresenta os cálculos que efetuares. 3

4 b) Os triângulos ABP e DCP são semelhantes. Admite que: 2 a área do triângulo DCP é 24 cm 2 Qual é a área, em cm 2, do triângulo ABP? Observa a figura onde está representada uma circunferência de centro G, na qual está inscrito o hexágono regular ABCDEF. Sabendo que AG = 6 cm, determina: a) A amplitude, em graus, do ângulo ACE. b) O comprimento, em cm, do arco AE. c) GM, sabendo que M é o ponto médio do segmento de reta AF. d) A área do paralelogramo AFEG. e) A área interior à circunferência e exterior ao hexágono, arredondando o resultado à unidade. f) O triângulo AGB é: isósceles equilátero retângulo escaleno Agora que terminaste o teste, faz a tua avaliação sobre como te correu, assinalando as opções que melhor se identificam contigo: Nível esperado O teste correu-me Para o teste estudei Mal Razoável Bem Nada Pouco O suficiente Muito 4

5 Escola E.B. 2,3 Eng. Nuno Mergulhão Portimão Ano Letivo 2012/2013 Teste de Avaliação Escrita de Matemática 9.º ano de escolaridade Duração do Teste: 90 minutos 25 de fevereiro de 2013 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO 1. Afirmação verdadeira O barco 4 não é detetado por nenhum dos radares. 2. A amplitude de um ângulo inscrito é metade da amplitude do arco compreendido entre os seus lados, logo DB = 2 BAD = 100º. A amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do arco compreendido entre os seus lados, logo DC = COD = 60º. Assim, CB = DB DC = 100º 60º = 40º. 3. Os ângulos e " são suplementares, logo: =120. O triângulo é isósceles pois os lados e correspondem a raios da circunferência. Como a lados de igual comprimento se opõem ângulos de igual amplitude e como a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º, então: $% = &'( )&( $% = a) Seja r, em centímetros, o comprimento do raio da circunferência. De acordo com os dados, = =2* e = =*. Logo, +,-./0 =2*+2*+*+*=6*. Como o perímetro do retângulo é 36 cm, temos: +,-./0 =6* 36=6* *= 12 *=6 cm. 2 Logo, o comprimento da circunferência é =24 6=124 37,7 centímetros. b) Como a amplitude de um ângulo inscrito numa circunferência é metade da amplitude do arco compreendido entre os seus lados, temos DF = 2 DEF = 2 25º = 50º. Como os ângulos DOF e AOE são verticalmente opostos os arcos correspondentes são iguais, isto é, DF = AE = 50º. Assim, DE = DA + AE = 180º + 50º = 230º. Logo a rotação de centro em O que transforma o ponto F no ponto A tem 230º (ou 130 ) de amplitude. c) A alternativa correta é: O ponto O pertence à mediatriz do segmento de reta, pois o ponto O é equidistante dos extremos do segmento, visto que =, já que são raios da mesma circunferência. 5. Vamos começar por determinar para sabermos a amplitude do ângulo interno e do ângulo externo deste polígono. Sabendo que em qualquer polígono convexo a soma da amplitude de um ângulo interno com o seu ângulo externo adjacente é 180º tem-se: 1± = =0 = 2 1 = 1± = = =50 = O ângulo interno deste polígono regular tem , ou seja, 120º e o ângulo externo deste polígono regular tem 50º + 10º, ou seja, 60º. Usando a relação existente entre a amplitude de um ângulo externo de um polígono regular com os seus ; lados tem-se: 12( =60, ou seja, ;=12( ;=6. < 2( Conclui-se assim que este polígono regular tem 6 lados. 5

6 6. Vamos começar por calcular a área do setor circular da base da parte do cilindro representada: Área do setor circular = 12( Área do setor circular = A > 12( onde *26 e =24. = &2A> 12( = 2B2 &C 4 141,58 Calculando o volume do sólido representado: D= 2B2 O sólido tem 1132,6 cm 3 de volume. &C 4 8=CA(' &C ,6 7. a) Como o arco AC é o correspondente ao ângulo inscrito ABC, a sua amplitude é o dobro da amplitude do ângulo dado, ou seja, AC = 2 32º = 64º. b) Os segmentos de reta AO e OE são ambos raios da mesma circunferência, pelo que têm igual comprimento, isto é, 7,4 cm. Para determinar o comprimento do segmento de reta DE, é preciso calcular o comprimento do segmento de reta DO. Ora DO é um dos catetos de um triângulo retângulo de que se sabe a medida da hipotenusa e em que o comprimento do outro cateto é metade do da corda AC, ou seja, 2,4 cm. Assim, pode-se aplicar o teorema de Pitágoras: = + 7,4 = +2,4 =7,4 2,4 =49 = 49 =7. O comprimento do segmento de reta DE é 0,4 cm, dado que 7,4 7 = 0,4. 8. a) O ângulo BDC tem de amplitude 40º, visto que é um ângulo inscrito no arco BC. O ângulo DCA tem de amplitude 55º (considerando o triângulo DCP, =55). Os ângulos DCA e DBA são ambos ângulos inscritos no arco DA, pelo que têm a mesma amplitude. O ângulo DBA tem 55º de amplitude. b) Pelo enunciado, sabemos que o triângulo ABP é uma ampliação do triângulo DCP (cuja área é 24) de razão de semelhança &, portanto a razão entre as áreas será H& I, ou seja, & A. Então a sua área é 6 (24 & A ). 9. a) Os ângulos ao centro de um polígono regular inscrito numa circunferência são todos congruentes. Neste caso, cada um tem 60º de amplitude, pois 12( =60. 2 Assim, J =120 e, portanto AE = 120º (a amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do arco compreendido entre os seus lados). Então, =60 (a amplitude de um ângulo inscrito é metade da amplitude do arco compreendido entre os seus lados). b) O arco AE tem 120º de amplitude (podemos deduzir da alínea anterior) e a circunferência tem 6 cm de raio. Então o KL*M6;NK OK P*K= &( > 2 =44. 12( c) Um hexágono regular pode ser decomposto em 6 triângulos congruentes equiláteros. Neste caso, consideremos o triângulo equilátero AGF. Sabemos que AG = 6 cm (raio da circunferência) e que Q = 3 cm. Calculemos JQ, usando o Teorema de Pitágoras: JQ +3 =6 JQ +9=36 JQ =36 9 JQ =27 JQ = 27 cm. d) O paralelogramo AFEG pode ser decomposto em dois triângulos equiláteros dos quais conhecemos a base (6 cm) e a altura ( 27 cm). Assim a Á*6P=2 2 B =6 27 cm 2. e) Vamos calcular a área do hexágono, seguindo o mesmo raciocínio das alíneas anteriores: ST=áVW<W =6 X?Yâ<V[\W =6 2 B =18 27 cm 2. Agora, calculemos a área do círculo com 6 cm de raio: ]í?][\w =4 6 =364 cm 2. Á*6P _K`MMNPOP= ]í?][\w ST=áVW<W = cm 2. f) O triângulo AGB é equilátero pois a base (um dos lados do hexágono) tem 6 cm e os outros dois lados são raios da circunferência, também com 6 cm. 6

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