Módulo Elementos Básicos de Geometria - Parte 3. Quadriláteros. Professores: Cleber Assis e Tiago Miranda

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1 Módulo Elementos Básicos de Geometria - Parte 3 Quadriláteros. 8 ano/e.f. Professores: Cleber Assis e Tiago Miranda

2 Elementos Básicos de Geometria - Parte 3. Quadriláteros. 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. abaixo. Determine o valor de x no quadrilátero Exercício 5. Calcule o valor de x no losango abaixo. Exercício 2. Sobre paralelogramos, assinale a(s) afirmativa(s) verdadeira(s). a) os lados opostos são congruentes. b) os ângulos opostos são suplementares. c) os lados opostos são paralelos. d) as diagonais interceptam-se nos pontos médios. e) os lados são congruentes. f) todo trapézio é um paralelogramo. Exercício 3. Sobre losangos, assinale a(s) afirmativa(s) verdadeira(s). 2 Exercícios de Fixação Exercício 6. Dois dos lados não congruentes de um paralelogramo medem 2x + 5 e 3x, em centímetros. Se o perímetro desse paralelogramo é 100cm, determine o valor de x. Exercício 7. As medidas dos ângulo internos de um quadrilátero são x + 5 o, x + 35 o, 2x 30 o e x. Determine o valor de x. Exercício 8. Em um losango, o ângulo formado por uma diagonal e um lado mede 40 o. Determine as medidas dos ângulos internos desse losango. Exercício 9. Determine o valor de x, sabendo que o quadrilátero abaixo é trapézio isósceles. a) os ângulos internos são congruentes. b) as diagonais são perpendiculares. c) as diagonais se interceptam nos pontos médios. d) os lados opostos são paralelos. e) os lados são congruentes. Exercício 4. abaixo. Calcule o valor de x no paralelogramo Exercício 10. Determine a medida do ângulo AEB no quadrado ABCD abaixo, sabendo que BCE é equilátero. 1

3 a) 65cm. b) 70cm. Exercício 11. O quadrilátero ABCD, da figura abaixo, é quadrado e o triângulo DCE é equilátero. Determine a medida do ângulo DBE. c) 75cm. d) 80cm. e) 85cm. Exercício 14. Quantos quadrados têm como vértices os pontos do reticulado abaixo? 3 Exercícios de Aprofundamento e de Exames Exercício 12. Juliana tem 8 cartões de papelão, retangulares e iguais. Se ela enfileirar todos os cartões juntando apenas lados de mesma medida, a maior fila que ela poderá obter terá comprimento 176cm e a menor terá comprimento 96cm. Qual é o perímetro de cada cartão? a) 54cm. b) 68cm. c) 76cm. d) 80cm. e) 96cm. Exercício 13. Um retângulo de papelão com 45cm de altura foi cortado em dois pedaços iguais, nos segmentos pontilhados da figura. Com esses dois pedaços é possível montar um quadrado de lado maior que 45cm. Qual é o comprimento da base do retângulo? a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10. Exercício 15. A figura abaixo representa um dodecágono regular, qual a medida do ângulo BAD do trapézio ABCD? 2

4 a) 15 o. b) 30 o. c) 45 o. d) 60 o. e) 75 o. Exercício 16. Tomando um quadrilátero convexo qualquer, mostre que os pontos médios são vértices de um paralelogramo. Exercício 17. Seja AB e CD as bases de um trapézio tal que a medida da base menor CD é igual à soma das medidas dos lados não paralelos do trapézio. Se E é um ponto de CD e EA é a bissetriz do ângulo A, mostre que EB é também bissetriz do ângulo B. 3

5 Respostas e Soluções. 1. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 360 o, temos: 70 o + 75 o + 90 o + (180 o x) = 360 o 2. As corretas são a, c, d. 3. As corretas são b, c, d, e. 415 o x = 360 o x = 55 o. 4. Dois ângulos consecutivos quaisquer de um paralelogramo são suplementares. Sendo assim, temos que 70 o + 75 o + x = 180 o, segue que x = 35 o. 5. Como os lados opostos do losango são paralelos, BAC DCA. Além disso, as diagonais são perpendiculares. Chamando essa interseção das diagonais de O, temos, pela soma dos ângulos internos de DCO, x + 2x + 90 o = 180 o, segue que x = 30 o. 11. Como DCE é equilátero, ECD = 60 o e BCE = 90 o + 60 o = 150 o. Além disso, BCE é isósceles, pois DC = CE = BC, e, por isso, CBE = CEB = 15 o. Temos então DBE = CBD CBE = 45 o 15 o = 30 o. 12. (Extraído da OBMEP) Vamos chamar o comprimento de cada cartão de x, em cm, e a altura de y, também em cm. Para Juliana obter o maior comprimento, ela deve enfileirá-los de maneira que os menores lados dos cartões coincidam. Assim ela obterá um retângulo maior com comprimento de 8x = 176, segue que x = 22cm. Agora, para o menor comprimento, ela deverá fazer com que o maior lado dos cartões coincidam, obtendo comprimento do retângulo do conjunto de 8y = 96, segue que y = 12cm. Temos então que o perímetro de cada cartão é = 68cm. Resposta B. 13. (Extraído da OBMEP) Para que seja possível o encaixe, alguns segmentos devem ter o mesmo comprimento. Vamos observar a figura. 6. Como lados opostos são congruentes, temos: 2(2x + 5) + 2(3x) = 100 4x x = x = 90 x = 9. Temos então que x = 9cm. 7. Como as medidas dos ângulos internos de um quadrilátero somam 360 o, temos: (x + 5 o ) + (x + 35 o ) + (2x 30 o ) + x = x + 10 o = 360 o x = 70 o. 8. Como as diagonais de um losango são bissetrizes, um dos ângulos internos mede 2 40 o = 80 o. Além disso, dois ângulos consecutivos de um losango são suplementares, ou seja, outro ângulo mede 180 o 80 o = 100 o. Portanto, dois de seus ângulos medem 80 o e outros dois medem 100 o. Percebe-se que as dimensões do retângulo são 4a de comprimento por 3b = 45cm de largura; as do quadrado serão 4b por 3a. Como b = 15cm, o lado do quadrado será 60cm, segue que a = 20 e o lado do retângulo 4 20 = 80cm. Resposta D. 14. (Extraído da OBM) Vamos observar a figura e contar quantos quadrados existem do tipo A, do tipo B e do tipo C. 9. Como o trapézio é isósceles, os ângulos internos comuns a qualquer uma das bases são congruentes, ou seja, 2x + 60 o = 7x 90 o, segue que x = 30 o. 10. Se EBC = 60 o, pois BCE é equilátero, então ABE = 30 o, pois ABCD é quadrado. Além disso, BE = BC e BC = AB, ou seja, ABE é isósceles, sendo que BAE = AEB. Temos então, por ABE, 2 AEB + 30 o = 180 o, segue que AEB = 75 o. Temos 6 quadrados do tipo A, 1 do tipo B e 3 do tipo C, ou seja, 10 quadrados. Resposta E. 4

6 15. (Extraído da OBM ) O ângulo interno do dodecaedro regular vale 180o (12 2) 12 = 150 o. Assim, BAD = 150o 90 0 = 30 o. Resposta B Supondo um quadrilátero convexo ABCD, de lados AB, BC, CD e DA e M, N, P e Q seus pontos médios respectivos. Como MN é base média de ABC, então MN//AC e MN = AC. De forma análoga, concluímos 2 que PQ//AC e PQ = AC. Temos então que MN e 2 QP são segmentos paralelos e congruentes, ou seja, o quadrilátero MNPQ é um paralelogramo. 17. (Extraído da OCM) Como AE é bissetriz, então BAD = 2 BAE = 2 DAE. Como ABCD é um trapézio e, consequentemente, AB e CD são paralelos, EDA = 180 o BAD = 180 o 2 DAE. Pelo ADE, DEA = DAE, ou seja, ADE é isósceles, sendo DE = DA. Se DC = DA + BC, então EC = BC, ou seja, ECB é isósceles e CEB = CBE. Como AB é paralelo a CD, EBA = CEB, ou seja, EBA = CBE. Portanto, BE é bissetriz do ângulo B. Produzido por Arquimedes Curso de Ensino 5

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