1. Com base nos dados da Figua 1, qual é o maior dos segmentos AB, AE, EC, BC e ED? Figura 1: Exercício 1. Figura 2: Exercício 2

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Cláudia Salvado Benevides
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1 UFF - Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática GGM - Departamento de Geometria Professora: Andréa 2 o semestre de 2018 Atividades IV de Geometria I 1. Com base nos dados da Figua 1, qual é o maior dos segmentos AB, AE, EC, BC e ED? Figura 1: Exercício 1 2. Na Figura 2, BÂC é reto e D é o ponto médio de BC. Mostre que m(ad) = m(bc). 2 Figura 2: Exercício 2 1

2 3. Na Figura 3, M é o ponto médio de BC. Determine MÂN. Figura 3: Exercício 3 4. Na Figura 4, AB AC. Determine o valor de Â. Figura 4: Exercício 4 5. Na Figura 5, tem-se que AD AE, CD CF e BA BC. Determine o ângulo A ˆBC. Figura 5: Exercício 5 6. Prove que toda reta que passa pelo ponto médio de um segmento é equidistante das extremidades do segmento. 2

3 7. Se ABC é um triângulo isósceles de base BC e M é um ponto médio da base, prove que: (a) Se AM é mediana, então AM é bissetriz e altura. (b) Se AM é altura, então AM é bissetriz e mediana. (c) Se AM é bissetriz, então AM é mediana e altura. 8. Prove que a mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo mede a metade da hipotenusa. 9. Calcule x e y na Figura 6, onde M é o ponto médio de BC. Figura 6: Exercício Prove que se duas retas são paralelas, os pontos de uma delas estão a igual distância da outra retas ( as retas são equidistantes ). 11. Prove que as diagonais de um paralellogramo se interceptam em um ponto que é ponto médio das duas diagonais. 12. Prove que se dois lados opostos de um quadrilátero são congruentes e paralelos, então o quadrilátero é um paralelogramo. 13. Detrmine x e y na Figura 7. Figura 7: Exercício 13 3

4 14. Mostre que, se os ângulos opostos de um quadrilátero convexo são congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo. 15. Um retângulo é um quadrilátero convexo que tem todos os seus ângulos retos. Mostre que todo retângulo é um paralelogramo. 16. Mostre que as diagonais de um retângulo são congruentes. 17. Mostre que, se as diagonais de um paralelogramo são congruentes, então o paralelogramo é um retângulo. 18. Um losango é um paralelogramo que tem todos os seus lados congruentes. Mostre que as diagonais de um losango cortam-se formando quatro ângulos retos e são bissetrizes dos seus ângulos. 19. Mostre que, um paralelogramo cujas diagonais são perpendiculares é um losango. 20. Um quadrado é um retângulo que também é losango. Mostre que, se as diagonais de um quadrilátero convexo são congruentes e se cortam em um ponto que é ponto médio de ambas, então o quadrilálero é um retângulo. Se, além disso, as diagonais são perpendiculares uma a outra, então o quadrilátero é um quadrado. 21. Um trapézio é um quadrilátero convexo que tem dois lados opostos são paralelos. Os lados paralelos de um trapézio são chamados de bases e os outros dois são chamados de laterais. Um trapézio é dito isósceles se suas laterais são congruentes. Seja ABCD um trapézio em que AB é uma base. Se ele é isósceles, mostre que Â ˆB e Ĉ ˆD. 22. Mostre que as diagonais de um trapézio isósceles são congruentes. 23. Prove que o segmento ligando os pontos médios das laterais de um trapézio é paralelo às bases e que seu comprimento é a média aritmética dos comprimentos das bases. 4

5 24. Na Figura 8, AE AD, CD CF, BA BC e E ˆDF = 80 o. Determine ˆB. Figura 8: Exercício Na Figura 9, determine o valor de ˆα + ˆγ + ˆµ + ˆΩ. Figura 9: Exercício Na Figura 10, consideremos os quadrados ABCD, EF IC e GHKI de lados 9, 6 e x, respectimamente. Determine o valor de x. Figura 10: Exercício 26 5

6 27. Seja CDE o triângulo da Figura 11, tal que m(cd) = 15, m(de) = 8 e m(ec) = 17. Figura 11: Exercício Determine o valor de x na Figura 12: Figura 12: Exercício Na Figura 13, determine o valor de AÊD, sabendo que ED é paralela à BC, m(bâe) = 80o e m(a ˆBC) = 35 o. Figura 13: Exercício A altura relativa à base de um triângulo isósceles excede a base em 2m. Determine a medida da base se o perímetro do triângulo é de 36m. 31. Com base na Figura 14, mostre que o perímetro do triângulo P MN é menor que o perímetro do triângulo ABC. 6

7 Figura 14: Exercício Na Figura 15, ABC é isósceles de base BC, M é o ponto médio de BC, MP // AC e MQ // AB. Prove que AP MQ é losango. Figura 15: Exercício Determine x e y na Figura 16. Figura 16: Exercício 33 7

8 34. Na Figura 17, AS é bissetriz de a medida de SP. BÂC e AP é bissetriz de CÂE. Calcule Figura 17: Exercício Quanto mede a altura de um triângulo equilátero em função de seus lados? 36. No triângulo ABC, m(ab)=5, m(bc)=12 e m(ca)=13. Qual é a medida do ângulo ˆB? 37. Na Figura 18, D é o ponto médio de AB e E é o ponto médio de AC. Mostre que os triângulos ADE e ABC são semelhantes. Figura 18: Exercício Os lados de um triângulo medem 9cm, 17cm e 21cm. Determine os lados de um segundo triângulo sabendo que ele é semelhante ao primeiro e que seu perímetro é 141cm. 8

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