Algumas propriedades importantes de triângulos

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1 Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível Prof. ícero Thiago ula 5 lgumas propriedades importantes de triângulos Propriedade 1. Num triângulo retângulo, a mediana M relativa à hipotenusa mede metade da hipotenusa. M D Demonstração. Seja D o ponto sobre o prolongamento da mediana M tal que M = MD. Os triângulos M e MD são congruentes, pelo caso LL. Daí, = D e M = DM, ou seja, e D são segmentos iguais e paralelos e portanto = D = 90. ssim, os triângulos e D são congruentes, pelo caso LL, e portanto D = = M = = M = firmação. Uma base média de um triângulo é um segmento que une os pontos médios de dois de seus lados. ssim, todo triângulo possui exatamente três bases médias. Propriedade. Sejam um triângulo e M, N os pontos médios dos lados,, respectivamente. Então MN e MN = M N P

2 POT 01 - Geometria - Nível - ula 5 - Prof. ícero Thiago Demonstração. Inicialmente, prolonguemos a base média M N até um ponto P tal que MN = NP. Em seguida, construímos o triângulo NP. Note que os triângulos NM e NP são congruentes, pelo caso LL. Daí, P = M e MN = PN e portanto P M = P M. ssim, MP é um paralelogramo, pois P e M são segmentos paralelos e iguais. Mas então MP e MP = = MN = = MN = firmação. base média de um trapézio é o segmento que une os pontos médios de seus lados não paralelos. Propriedade 3. Seja D um trapézio de bases e D, e sejam M e N os pontos médios dos lados e D, respectivamente. Então, MN, MN D e MN = +D. N M D E Demonstração. Inicialmente, prolonguemos M até encontrar D no ponto E. É fácil ver que M ME (L) = E. Portanto, MN é base média do triângulo DE. ssim, Finalmente, MN = MN E MN D MN = DE. D +E = D +. Problema 1. (OM) onsidere um triângulo acutângulo com = 30. Sejam 1, 1 os pés das alturas relativas aos lados,, respectivamente, e, os pontos médios dos lados,, respectivamente. Mostre que os segmentos 1 e 1 são perpendiculares.

3 POT 01 - Geometria - Nível - ula 5 - Prof. ícero Thiago O 1 1 Solução. Seja O a interseção entre 1 e 1. O segmento 1 é uma mediana do triângulo retângulo 1 e portanto nalogamente, 1 = 30. Daí, = 1 e 1 = 1 = = = 60 e portanto 1 O = = 90. Problema. Sejam um triângulo e M o ponto médio do lado. Se D, E são os pés das alturas relativas aos lados,, respectivamente, prove que ME = MD. Solução. E D M Note que ME é mediana relativa à hipotenusa do triângulo E. Daí, ME = M = M e, analogamente, ssim, ME = MD. MD = M = M. 3

4 POT 01 - Geometria - Nível - ula 5 - Prof. ícero Thiago Problema 3. Dado um quadrilátero D, prove que os pontos médios M,N,P,Q dos lados,, D, D formam um paralelogramo. Solução. M Q D N P Temos Triângulo : MN e MN = /. Triângulo D: PQ e PQ = /. ssim, MN PQ e MN = PQ, isto é, MNPQ é paralelogramo. Problema 4. Sejam um triângulo e M o ponto médio de. Se M = M = M, prove que = 90. Problema 5. (Torneio das idades) Sejam D um paralelogramo, M o ponto médio de D e H o pé da perpendicular baixada de a M. Prove que H é um triângulo isósceles. Problema 6. Em um triângulo, retângulo em e isósceles, sejam D um ponto no lado ( D ) e E o ponto no prolongamento de tal que o triângulo DE é isósceles. Se P é o ponto médio de D, R o ponto médio de E e Q a interseção entre ED e, prove que o quadrilátero RQP é um quadrado. Problema 7. Seja um triângulo acutângulo tal que =, D é perpendicular a, com D sobre, e E o ponto médio de. Prove que = DE. Problema8. (hina)sejadumtrapézio, D//, = 30 o, = 60 o, E, M, F, N os pontos médios de,, D, D respectivamente. Se = 7, MN = 3, determine a medida de EF. 4

5 POT 01 - Geometria - Nível - ula 5 - Prof. ícero Thiago Problema 9. (hina) Seja D um trapézio, //D, D = D = 90 o, e o triângulo é equilátero. Se a base média do trapézio EF = 3 a, determine o comprimento da menor base, em função de 4 a. Problema 10. (Moscou) Seja D um quadrilátero convexo e O um ponto em seu interior tal que O = OD = 10 o, O = O, O = OD. Sejam K, L, M os pontos médios de,, D respectivamente, prove que KLM é equilátero. Problema 11. (OM) Num quadrilátero convexo, a reta que passa pelos pontos médios de dois lados opostos forma ângulos iguais com ambas as diagonais. Mostre que as duas diagonais têm o mesmo comprimento. Problema 1. Se um segmento paralelo a um lado de um triângulo tem uma extremidade no ponto médio de um lado e a outra extremidade no terceiro lado, prove que esta extremidade é ponto médio do terceiro lado. Problema 13. (OM) No triângulo, D é ponto médio de e E ponto sobre o lado tal que E = E. Sabendo que D = E, calcule o valor de. Problema 14. (ustrália) Sejam um triângulo e P um ponto em seu interior de modo que P = P. Se L, M são os pés das perpendiculares por P aos lados,, respectivamente, e D é o ponto médio de, prove que DL = DM. Problema 15. (Romênia) Sejam um triângulo isósceles com =, D o ponto médio de, M o ponto médio de D e N a projeção de D sobre M. Prove que N = 90. Problema 16. (Eslovênia) Seja D um trapézio, com paralelo a D. Sabendo que a distância entre os pontos médios das bases é igual à distância entre os pontos médios das diagonais, prove que D e D são ângulos obtusos. Problema 17. Em um triângulo isósceles, com =, sejam K, L pontos sobre,, respectivamente, tais que K +L = KL. reta paralela a passando pelo ponto médio M de KL intersecta em N. che a medida de KNL. Problema 18. Sejam um triângulo e D, E, F os pontos médios de,,, respectivamente. Prove que D = E F = D. 5

6 POT 01 - Geometria - Nível - ula 5 - Prof. ícero Thiago Problema 19. SejaD umtrapézio combases = aed = b. Sejamtambém M, N ospontosmédios doslados, D,respectivamente. Sabendoque D+ = 90, determine o comprimento de MN. Problema 0. (one Sul) Seja um triângulo acutângulo e sejam N, M e P as alturas relativas aos lados, e, respectivamente. Sejam R, S as projeções de N sobre os lados,, respectivamente, e Q, W as projeções de N sobre as alturas M, P, respectivamente. (a) Mostre que R, Q, W, S são colineares. (b) Mostre que MP = RS QW. Problema 1. (TST rasil) Sejam Q o ponto médio do lado de um quadrilátero inscritível D es ainterseçãodasdiagonais ed. SejamP, Rasprojeçõesortogonais de S sobre D,, respectivamente. Prove que PQ = QR. ibliografia Lecture Notes on Mathematical Olympiad ourses For Junior Section, vol. 1 Xu Jiagu 6