Quadriláteros Circunscritíveis

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1 Programa Olímpico de Treinamento urso de Geometria - Nível 3 Prof. Rodrigo ula 3 Quadriláteros ircunscritíveis Um quadrilátero é dito circunscritível se, e somente se, existe uma circunferência que tangencia internamente todos os lados do quadrilátero. Teorema 1. (Teorema de pitot) Mostre que um quadrilátero pode ser circunscrito a uma circunferência se, e somente se, a soma de dois lados opostos for igual à soma dos outros dois lados. Solução. ( ) Suponha que o quadrilátero B seja circunscrito a uma circunferência, e os pontos de tangência da circunferência com os lados sejam E, F, G, H, como mostra a figura abaixo. B F E O G H Pelo problema anterior, vemos que: H = E; BE = BF; F = G; G = H. Portanto, E + BE + G + G = BF + F + +H + H, isto implica dizer que: B + = B +. ( ) Suponha que B seja um quadrilátero tal que B + = B + e não seja circunscritível.

2 POT Geometria - Nível 2 - ula 3 - Prof. Onofre ampos/rodrigo x E y B β y β F O z z G k z+w α α x H k w I w-k Sejam O e BO as bissetrizes internas dos ângulos B e B. Tomamos E, F e H como sendo os pés das alturas de O aos lados B, B e, respectivamente. Pelo caso especial de congruência temos que OH OE e BOE BOF, assim sendo, E = H = x e BE = BF = y. efina F = z e H = w. Pela hipótese, temos que: (x+y)+ = (y +z)+(x+w) = z +w omo não é tangente à circunferência pois, caso contrário, o quadrilátero seria circunscritível. Tomamos G tal que G seja tangente a circunferência e defina G = I, perceba que pelo problema anterior, temos: G = F = z e GI = HI = k. essa maneira, I = w k, mas analisando o triângulo I isso é um absurdo pois I+I = e I é um triângulo. Então se a soma dos lados opostos de um quadrilátero forem iguais, então ele será circunscritível. Problema 1. Seja BEF um hexágono circunscritível a uma circunferência. Mostre que B + +EF = F +B +E. Problema 2. ado um quadrilátero convexo B tal que B e se intersectam em P e B e intersectam-se em Q. Prove que o quadrilátero B é circunscritível se, e somente se, uma das seguintes condições é verdadeira: B + = B +, P +Q = Q+P, BP +BQ = P +Q Solução. ( ) Seja B um quadrilátero circunscritível. Então provaremos que todas as condições são válidas. Sejam K, L, M e N os pontos de tangêcnia do círculo inscrito com os lados B, B, e. Então B + = K +BK +M +M = N +BL+L+N = B + P +Q = K +PK +QL L = N +PM +QN M = Q+P BP+BQ = P B+B+Q = (P+Q)+(B B) = Q+P+ = P+Q ( ) Suponhamos agora que BP +BQ = P +Q. Tomemos o círculo que é tangente aos lados B, B e. ssuma que a reta não é tangente ao círculo. Tomamos 2

3 POT Geometria - Nível 2 - ula 3 - Prof. Onofre ampos/rodrigo 1 1 paralelo a tal que 1 1 é tangente ao círculo. Seja Q 1 a interseção de B e 1 1 e S sobre Q tal que Q 1 S é paralelo a 1. Já que BP + BQ = P + Q e BP + BQ 1 = 1 P + 1 Q 1, segue que QS + SQ 1 = QQ 1, absurdo pela desigualdade triangular, logo é tangente ao círculo também, portanto, B é circunscritível. P B K L M 1 N 1 Q 1 S Q Problema 3. (IME) Seja B um quadrilátero inscrito em uma circunferência. Seja I o ponto de encontro das diagonais e B; M, N, P e Q são as projeções ortogonais de I sobre os lados B, B, e, respectivamente. Prove que o quadrilátero MNPQ é um quadrilátero circunscritível a uma circunferência com centro em I. Solução. omo B é inscritível, temos que B =. Observe que os quadriláteros MBNI e NPI são inscritíveis, pois a soma dos ângulos opostos é 180. Sendo assim, vemos que MBI = MNI e PI = PNI, como MBI = PI, temos que MNI = PNI, portanto NI é bissetriz de MNP. nalogamente, MI é bissetriz de QMN, QI é bissetriz de MQP e PI é bissetriz de QPN, portanto, I é o ponto de encontro das bissetrizes do quadrilátero M N P Q, porntanto este é circunscritível. 3

4 POT Geometria - Nível 2 - ula 3 - Prof. Onofre ampos/rodrigo B N P M I Q Problema 4. (Seleção para a Olimpíada do one Sul - 98) No triângulo B, temos B = 2.. Seja M o ponto médio de B. reta passando por M e tangente à circunferência inscrita em B encontra o lado B no ponto N. Mostre que N B = 1 3. Problema 5. (OIM /2) Seja B um quadrilátero inscritível. Suponha que existe uma semicircunferência com centro em B, tangente aos outros três lados do quadrilátero. emonstrar que B = +B. alcular, em função de x = B e y =, a área máxima que pode alcançar um quadrilátero satisfazendo as condições do enunciado. Problema 6. Seja B um quadrilátero convexo. Mostre que B é circunscritível se, e somente se, as circunferências inscritas nos triângulos B e tocam a diagonal em um ponto comum. Problema 7. izemos que um quadrilátero é bicêntrico se ele for inscritível e circunscritível simultaneamente. Mostre que a área de um quadrilátero bicêntrico pode ser calculada por [B] = abcd, onde a, b, c e d são os seus lados. Problema 8. (Romênia ) No quadrilátero convexo B, as bissetrizes dos ângulos e encontram-se no ponto I. Mostre que B é circunscritível se, e somente se, [IB]+[I] = [I]+[BI], onde [XYX] denota a área do triângulo XYZ. Problema 9. B é um quadrilátero convexo inscrito em um círculo de centro O, e com diagonais perpendiculares. Prove que a linha quebrada O divide o quadrilátero em duas partes de mesma área. 4

5 POT Geometria - Nível 2 - ula 3 - Prof. Onofre ampos/rodrigo Problema 10. (USMO - 91/5) Seja um ponto arbitrário sobre o lado B de um dado triângulo B e seja E um ponto de interseção do segmento com a tangente externa comum aos círculos inscritos nos triângulos e B. Mostre que o ponto E descreve o arco de uma circunferência quando varia sobre o lado B. 5