Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 6. Curso de Geometria - Nível 3. Prof. Cícero Thiago. Teorema 1. (Fórmula tradicional.) BC AD.

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1 Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível 3 Prof. ícero Thiago ula 6 Relações entre áreas Teorema 1. (Fórmula tradicional.) área do triângulo pode ser calculada por [ ] =. Teorema. (Área de um triângulo em função do raio da circunferência inscrita.) Sejam a, b e c as medidas dos lados, e do triângulo, respectivamente, e seja r a medida do raio da circunferência inscrita. Então, a área do triângulo pode ser calculada por [ ] = p r, em que p = a+b+c. emonstração.

2 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 6 - Prof. ícero Thiago F r I r r E [ ] = [ I]+[ I]+[ I] [ ] = a r + b r + c r ( ) a+b+c [ ] = r [ ] = p r. Teorema 3. (Fórmula trigonométrica da área de um triângulo.) Sejam a, b e c as medidas dos lados, e do triângulo, respectivamente. área do triângulo pode ser calculada por [ ] = b c sin = a c sin = a b sin. emonstração. Vamos demonstrar uma das igualdades. s outras são análogas.

3 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 6 - Prof. ícero Thiago H α Seja = α. Temos que [ ] = = a H. Por outro lado, no triângulo, temos sinα = H c H = c sinα, então [ ] = a c sinα. Teorema 4. (Área de um triângulo em função do raio da circunferência circunscrita.) Sejam a, b e c as medidas dos lados, e do triângulo, respectivamente, e seja R o raio da circunferência circunscrita. Então, a área do triângulo [ ] pode ser calculada por [ ] = abc 4R. emonstração. 3

4 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 6 - Prof. ícero Thiago O β β Sejam a, b e c as medidas dos lados, e do triângulo, respectivamente. Temos que [ ] = a c sinβ. Por outro lado, seja um diâmetro então, no, temos que Portanto, sinβ = b R. [ ] = abc 4R. Teorema 5. (Área de um triângulo em função do raio de uma circunferência ex - inscrita.) Sejam a, b e c as medidas dos lados, e do triângulo, respectivamente, e sejam r a, r b e r c os raios das circunferências ex - inscritas relativas aos lados a, b e c, respectivamente. Então, a área do triângulo pode ser calculada por em que p = a+b+c. emonstração. [ ] = r a (p a) = r b (p b) = r c (p c), 4

5 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 6 - Prof. ícero Thiago a x F r a b a x r a I a r a c x x E Pela propriedade dos segmentos tangentes, temos que = E = x e = F = a x. Então, [ ] = [ I a E]+[ I a F] [ I a ] [ ] = (c+x) r a + (b+a x) r a a r a [ ] = r a (a+b+c a) = r a (p a) = r a(p a). nalogamente, Teorema 6. (Fórmula de Heron.) [ ] = r b (p b) = r c (p c), Sejam a, b e c as medidas dos lados, e do triângulo, respectivamente. Então, a área do triângulo pode ser calculada por em que p = a+b+c. emonstração. [ ] = p (p a) (p b) (p c), 5

6 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 6 - Prof. ícero Thiago c h b m a m plicando o teorema de Pitágoras nos triângulos e, temos: 1. c = m +h.. b = (a m) +h. e (), temos: b = (a m) +h b = a am+m +h b = a am+c m = a +c b. a Substituindo em (1), temos: ( a c +c b ) = +h a ( a h = c +c b ) a h = (c+ a +c b ) (c a +c b ) a a ( ac+a h +c b ) ( ac a c +b ) = a a 4a h = [(a+c) b ] [(b (a c) ] 4a h = (a+c+b) (a+c b) (b+a c) (b+c a) 4a h = (a+b+c) (b+c a) (a+c b) (a+b c) 4a h = p (p a) (p b) (p c) a h = p (p a) (p b) (p c) [ ] = p (p a) (p b) (p c) [ ] = p (p a) (p b) (p c). 6

7 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 6 - Prof. ícero Thiago Teorema 7. (Relação entre as áreas de triângulos semelhantes.) Sejam e EF dois triângulos semelhantes tais que E = F = EF [ ] [ EF] = k. emonstração. Se EF com E = F = EF = G H [ ] [ EF] = G EF H = k, então = EF G H = k k = k. = k, então G E H F Teorema 8. Sejam r e s retas paralelas. Sejam e pontos distintos sobre a reta s e 1 e pontos distintos sobre a reta r. Então, [ 1 ] = [ ]. emonstração. O resultado é imediato pois [ 1 ] = [ ] = H. r 1 H s 7

8 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 6 - Prof. ícero Thiago Teorema 9. (Usando áreas para calcular razão de segmentos.) Seja um triângulo e, E e F pontos sobre os lados, e tais que, E e F são concorrentes no ponto P. efina K = [], K = [P], K = [P] e K = [P]. omo K = K +K +K, então (a) (b) emonstração. = K K, P P = K +K K, E E = K K e F F = K K. P PE = K +K K e P PF = K +K K F H P E H 1 S R (a) Temos que = [ ] [ ] = [ P] [ P] = [ ] [ P] [ ] [ P] = [ P] [ P] = K K. a mesma maneira demonstra - se que E E = K K e F F = K K. (b) Temos que S PR P = H = [ ] H 1 [ P] = K +K +K K P P = K +K K. a mesma maneira demonstra - se que P PE = K +K K e P PF = K +K K. 8

9 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 6 - Prof. ícero Thiago Teorema 10. (Área de quadrilátero convexo qualquer.) Seja um quadrilátero convexo qualquer tal que θ é o menor ângulo entre as diagonais. Então, [ ] =. sinθ emonstração. Temos que [] = [] = [ P]+[ P]+[ P]+[ P] P P sinθ + P P sinθ + P P sinθ + P P sinθ (P P +P P +P P +P P)sinθ [] = (P+P)(P +P)sinθ sinθ [] = [] =. Exercícios Resolvidos 1. (IMO) onsidere um triângulo P 1 P P 3 e um ponto P no interior no triângulo. evianas P 1 P, P P, P 3 P intersectam os lados opostos em pontos Q 1, Q, Q 3, respectivamente. Prove que, entre números P 1 P PQ 1, P P PQ, P 3 P PQ 3, pelo menos um é menor ou igual a e pelo menos um é maior ou igual a. Solução. efina que [ PP P 3 ] = K, [ PP 1 P 3 ] = K e [ PP 1 P ] = K. Usando o teorema 9 e, supondo sem perda de generalidade, que K K K. Então, e P 3 P PQ 3 = K +K K P 1 P PQ 1 = K +K K K +K K =, K +K K =.. área de um triângulo é dada pela fórmula S = a +b, onde a e b são dois de seus 4 lados. etermine os ângulos do triângulo. Solução. 9

10 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 6 - Prof. ícero Thiago Temos que [ ] = a b sin sin = a +b ab = a +b. Então, 4 sin 1 = a +b ab 1 sin 1 = (a b) ab ssim, 1 sin 1 sin = 1 = 90. igualdade só acontece se, e somente se, a = b. Portanto, os ângulos do triângulo são 45, 45, São dados 1000 pontos no plano não colineares tais que se três deles determinam um triângulo então sua área é menor ou igual a 1. Prove que todos os pontos estão em um triângulo de área menor ou igual a quatro. Solução. Z Y X omo existe um número finito de triângulos que podem ser construídos usando os 1000 pontos então, escolhemos aquele de área máxima que chamaremos de XY Z. Seja o triângulo tal que X, Y e Z são os pontos médios de, e, respectivamente, então [ ] = 4[ XYZ] 4. Seja, um ponto no conjunto dos 1000 pontos dados, no exterior do triângulo então [ XYZ] < [ XZ], o que contradiz a escolha de. Portanto, todos os pontos estão no interior do triângulo. 4. (Hungria) S é um ponto no interior do tal que as áreas dos triângulos S, S, S são todas iguais. Prove que S é o baricentro de. Solução. Seja T a área dos triângulos S, S, S. aí, sendo M, N e P as interseções de S, S e S com os lados opostos, temos M M = N N = P P = T T = 1, isto é, M, N e P são os pontos médios dos lados, e e, portanto, S é o 10

11 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 6 - Prof. ícero Thiago baricentro de. 5. (IMO Short List) Seja um triângulo acutângulo com circuncentro O e circunraio R. Seja 1 O o ponto de interseção de O com a circunferência circunscrita ao triângulo O e defina analogamente 1 e 1. Mostre que Quando ocorre a igualdade? O 1 O 1 O 1 8R 3. Solução. Sejam, E e F as interseções de O, O e O com, e, respectivamente. É fácil ver que O = O = O = R. Usando o teorema 9 temos que: O O = [ O]+[O], [O] O OE = [O]+[O], [O] O OF = [O]+[O]. [O] Faça [ O] = x, [ O] = y e [ O] = z. É fácil perceber que O 1 O, então R O = O 1 R O 1 = R O. nalogamente, O 1 = R OE e O 1 = R OF. ssim, O 1 O 1 O 1 = = (x+y)(x+z)(y +z) xyz R 6 O OE OF = R O R OE R 3 xy yz zx xyz R OF R3 = O O O OE O OF R3 = R 3 = 8zyz xyz R3 = 8R 3. igualdade ocorre quando x = y = z. O exercício 4 garante que O é o baricentro. 11

12 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 6 - Prof. ícero Thiago O 1 6. (oréia) Seja um quadrilátero convexo e seja P o ponto de interseção das diagonais. Prove que [ P]+[ P] = [ P]+[ P] se, e somente se, P é o ponto médio de ou. Solução. Observe que [ P] [ P] = [ P] [ P] = 1 P P 4 P P sinp. Os números [ P], [ P] e [ P], [ P] tem a mesma soma e o mesmo produto, então [ P] = [ P] e [ P] = [ P] ou [ P] = [ P] e [ P] = [ P], ou seja, P é o ponto médio de ou. 7. (M) Seja P um ponto no interior de um quadrilátero convexo, com área 00, tal que P = 4, P = 3, P = 8 e P = 45. etermine o perímetro de. Solução. Temos que [] 1, com igualdade acontecendo se, e somente se,. Temos que 00 = [] 1 1 (P +P) (P +P) = 5 77 = 00. Portanto as diagonais e são perpendiculares e se intersectam em P. essa forma, = 4 +3 = 40, = 8 +3 = 4 113, = = 53 1

13 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 6 - Prof. ícero Thiago e = = 51. ssim, o perímetro de é (OM) SejaPQRS um quadrilátero convexo deárea e O um pontoem seu interior. Prove que se = OP +OQ +OR +OS, então PQRS é um quadrado e O é o seu centro. Solução. [PQRS] = [ POQ]+[ QOR]+[ ROS]+[ SOP] = 1 OP OQ sin (POQ)+ 1 OQ OR sin (QOR) + 1 OR OS sin (ROS)+ 1 OS OP sin (SOP). Usando que sinθ 1, para todo θ [0, 360 ], com igualdade ocorrendo se, e somente se, θ = 90, e que x y x +y, para quaisquer reais x e y, com igualdade ocorrendo se, e somente se, x = y, obtemos: OP OQ+OQ OR+OR OS +OS OP OP +OQ + OQ +OR + OR +OS = OP +OQ +OR +OS. + OS +OP Pelo enunciado, na última desigualdade ocorre a igualdade. essa forma, temos: POQ = QOR = ROS = SOP = 90 e OP = OQ = OR = OS. Isto significa que PQRS é um quadrado e O é o seu centro. 9. (Rioplatense) Em um triângulo, sejam, E e F pontos sobre os lados, e, respectivamente, tais que [ FE] = [ F] = [ E]. Mostre que Solução. [ EF] [ ]

14 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 6 - Prof. ícero Thiago zc (1 y)b E (1 z)c F yb xa (1 x)a Se [ FE] = [ F] = [ E] = S então [ EF] = [ ] 3S. Então, Por outro lado, [ EF] [ ] 1 4 [ ] 3S [ ] [ ] 4S. 1 4 S = [ FE] = zc (1 y)b sin nalogamente, = z(1 y) b c sin = z(1 y) [ ]. S = [ F] = x(1 z) [ ] e S = [ E] = y(1 x) [ ]. Multiplicando as igualdades encontradas temos S 3 = x(1 x)y(1 y)z(1 z) [ ] 3. 14

15 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 6 - Prof. ícero Thiago Usando a desigualdade entre as médias é fácil provar que x(1 x) 1, com igualdade 4 acontecendo se, e somente se, x = 1. Portanto, S 3 [ ]3 64 [ ] 4S. 10. (OM) Os lados de um triângulo são expressos, em cm, por três inteiros consecutivos e sua área, em cm, é dada por um inteiro. Prove que o menor lado do triângulo é ímpar. Solução. Sejam x 1, x, x+1os lados dotriângulo. Pela fórmula deheron, a área dotriângulo é 3x [ ] = (x+) x (x ) 3x (x 4) = = 1 3x 16 4 (x 4). omo [ ] Z, devemos ter 3x (x 4) par, o que nos diz que x deve ser par. Portanto, o menor lado do triângulo, que é x 1, deve ser ímpar. 11. (Hong Kong) Seja um triângulo e sejam X, Y e Z pontos sobre os lados, e, respectivamente, tais que X X = 4 5, Y Y = 6 7 e Z Z = 8. Se a área do 9 triângulo é 1989, determine a área do triângulo XYZ. Solução. [ XY Z] 1989 ( [ XZ] = ( 4 = [ XY] , Portanto, a área do triângulo XYZ é = [ YZ] ) 1989 )

16 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 6 - Prof. ícero Thiago Exercícios Propostos 1. Num triângulo tem - se =, e é um ponto sobre a base tal que o raio do círculo inscrito no triângulo é igual ao raio do círculo tangente ao segmento e aos prolongamentos das retas e. Prove que o raio deste círculo é igual a 1 4 da medida h de uma das alturas iguais do triângulo.. No triângulo, os pontos L, M e N estão sobre, e respectivamente, e L, M e N são concorrentes no ponto P. (a) Encontre o valor numérico de (b) Encontre o valor numérico de PL L + PM M + PN N P L + P M + P N 3. (Ibero) Se, E e F são três cevianas concorrentes no circuncentro O do triângulo, demonstre que E + 1 F = R. 4. (IME) Num triângulo, 1, 1 e 1 estão sobre os lados, e, respectivamente. ado que 1, 1 e 1 são concorrentes no ponto O, e que O + O + O = 9. Encontre o valor de O O O. O 1 O 1 O 1 O 1 O 1 O 1 5. Em um,, E e F são concorrentes no ponto P tal que P = P = 6, EP = 3, P = 9 e F = 0. Qual é a área do? 6. Em um triângulo, sejam S o ponto médio da mediana correspondente ao vértice e Q o ponto de interseção de S com o lado. emonstrar que S = 3QS. 7. Três segmentos 1, 1 e 1 com extremos sobre os lados do triângulo são paralelos aos lados e passam pelo ponto P. Prove que as áreas dos triângulos e são iguais. 8. (OM) É dado um quadrilátero convexo. Sejam E, F, G e H os pontos médios dos lados,, e, respectivamente. etermine a posição de um ponto P de forma que os quadriláteros PHE, PEF, PFG e PGH tenham a mesma área. 16

17 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 6 - Prof. ícero Thiago 9. Seja E um pentágono convexo(não necessariamente regular) tal que os triângulos,, E, E e E tem área 1. Qual a área do pentágono? 10. Seja um quadrilátero convexo e EH, EI, EF e EG são segmentos paralelos e iguais a,, e, como mostra a figura abaixo. etermine a razão entre as áreas dos triângulos HIFG e. G F H E I 11. (IME) Quadrados S 1 e S são inscritos em um triângulo retângulo, como mostrado na figura abaixo. etermine + se área(s 1 ) = 441 e área(s ) = 440. S 1 S 1. Seja P um ponto no interior de um triângulo equilátero, e sejam, E e F os simétricos de P em relação aos lados, e, respectivamente. Qual é maior, a área do triângulo ou a área do triângulo EF? 17

18 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 6 - Prof. ícero Thiago E P F 13. (Portugal) Seja [ ] um triângulo retângulo em. onsidere um ponto E sobre a hipotenusa e traça - se a partir desse ponto uma paralela ao cateto. Seja a interseção desta paralela com o cateto. Prove que sendo S a área do triângulo. E + E = S, 14. (Portugal) Os lados, e do triângulo representado na figura medem, respectivamente, 7, 11 e 8. Traçam - se WR, UP e VQ, perpendiculares aos lados. Sabendo que UW mede, determine a razão entre a área do triângulo UVW e a área do triângulo. R U Q W V P 18

19 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 6 - Prof. ícero Thiago 15. (OM) é um quadrilátero convexo e inscritível e M é um ponto sobre o lado, tal que o triângulo M e o quadrilátero M têm a mesma área e o mesmo perímetro. Prove que tem dois lados de comprimentos iguais. 16. Uma reta corta um quadrilátero circunscritível em dois polígonos com iguais áreas e perímetros. Prove que a reta passa pelo centro da circunferência inscrita. 17. Os pontos médios das diagonais, E, E,, F e F do hexágono convexo EF são vértices de um novo hexágono. alcular a relação entre as áreas do dois hexágonos. 18. (Mandelbrot) Seja um quadrilátero convexo tal que = 1, = 6 e = 0. Suponha que possui uma circunferência inscrita que é tangente ao lado em seu ponto médio. Qual é a área do quadrilátero? Sugestões 1. Use os teoremas e 5.. Use o teorema Use o exercício. 4. Use o teorema Use o teorema Use o teorema Use o teorema Use o teorema Use o teorema Use o teorema Use o teorema 7. 19

20 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 6 - Prof. ícero Thiago 1. Use o teorema Use o teorema 7 e o teorema de Pitágoras. 14. Use os teoremas 3 e Use o teorema Use o teorema. 17. Use base média e o teorema Use os teoremas e 6. ibliografia 1. oleção Elementos da Matemática, vol. - Geometria Plana Marcelo Rufino de Oliveira e Márcio Rodrigo da Rocha Pinheiro.. Olimpíadas earenses de Matemática, Ensino Médio, Emanuel arneiro, Francisco ntônio M. de Paiva e Onofre ampos. 3. Olimpíadas de Matemática, ategoria, 10, 11 e 1 anos, vol.1 Jorge Picado e Paulo Eduardo Oliveira. 4. Tópicos de Matemática Elementar, vol., Geometria Euclidiana Plana ntonio aminha Muniz Neto. 5. rea y Volumen, en la geometria elemental. José raujo, Guilermo Keilhauer, Norma Pietrocola e Valeri Vavilov. 6. Which Way did the icycle Go? nd other intriguing mathematical mysteries Joseph. E. Konhauser, an Velleman e Stan Wagon Problems for Mathematical ontests Titu ndreescu e orin ndrica. 8. Áreas para achar razões de segmentos ícero Thiago e Marcelo Mendes. 0

21 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 6 - Prof. ícero Thiago Revista Eureka 5 9. Mathematical Olympiad Treasures Titu ndreescu e ogdan Enescu 10. Mandelbrot Morsels Sam Vandervelde. 1