Pontos notáveis de um triângulo

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1 Pontos notáveis de um triângulo Sadao Massago Maio de 2010 Sumário 1 onceitos preliminares Incentro ircuncentro aricentro Hortocentro xincentro onsideração nal onceitos preliminares Para demonstrar e entender os pontos notáveis de um triângulo, diversos conceitos serão necessários. mediatriz de um segmento é a reta que passa no ponto médio, formando um ângulo reto. s pontos da mediatriz é equidistante dos extremos do segmento. Reciprocamente, se uma reta passa em dois pontos equidistantes dos extremos, será a mediatriz. Note que um destes pontos pode ser o ponto médio. bissetriz de um ângulo é a semi reta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes. s pontos da bissetriz é equidistante dos lados do ângulo. Reciprocamente, uma reta que passa em dois pontos equidistantes dos lados de um ângulo determina a bissetriz. Note que um destes pontos pode ser a vértice. Um quadrilátero com lados opostos paralelos é denominado de paralelogramos e temos que Teorema 1. ado um quadrilátero, são equivalentes 1. É um paralelogramo 2. s lados opostos são congruentes 3. ângulos opostos são congruentes 4. s diagonais cruzam o outro no ponto médio 5. Tem um par de lados opostos paralelos e congruentes. Num triângulo, o segmento que liga os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado, medindo metade do terceiro lado. Reciprocamente, uma reta que passa no ponto médio de um dos lados, paralela ao outro lado também passa no ponto médio de terceiro lado. Lembrando também que uma reta que passa num ponto do círculo é tangente ao círculo se, e somente se formar ângulo reto com o raio correspondente. 1

2 2 Incentro ntes do teorema, prove o seguinte exercício xercício 1. ado um triângulo, duas bissetrizes cruzam no interior do triângulo. Teorema 2. s bissetrizes (dos ângulos) de um triângulo intercepta em um único ponto no seu interior na qual é equidistante dos seus lados. emonstração. onsidere o triângulo e bissetriz de e. ntão eles cruzam no interior do triângulo (exercício 1) que denotaremos por (igura 1). omo está sobre a bissetriz de, ele é equidistante de e. Mas também está na bissetriz de de forma que é equidistante de e. ssim, é equidistante aos três lados. gora considere. omo divide o ângulo e passa no ponto (fora da vértice) equidistante de e, será bissetriz de. igura 1: incentro círculo com centro em que passa num dos pontos entre, e passa em todos outros. omo M, N e P são raios deste círculo e são ortogonais aos lados do triângulo, o círculo tangencia todos os lados do triângulo. círculo que tangencia todos os lados de um polígono é denominado de círculo inscrito. Logo, a intersecção das bissetrizes determina o centro do círculo inscrito de um triângulo. 3 ircuncentro ntes do teorema, prove o exercício seguinte. xercício 2. adas duas retas concorrentes, as retas ortogonais a elas também são concorrentes. Teorema 3 (circunentro). s mediatrizes (dos lados) de um triângulo intercepta em um único ponto na qual é equidistante dos seus vértices. emonstração. ado com M, N e P, pontos médios dos lados, e respectivamente. omo as mediatrizes de e cruzam (exercício 2), denotaremos este ponto por (igura 2). omo está na mediatriz de, é equidistante de e, tendo =. nalogamente, = e consequentemente, é equidistante dos vértices. gora considere a reta passando pelo P e. omo P é o ponto médio e é equidistante de e, a reta é mediatriz do lado. Portanto, todas as mediatrizes cruzam em que é equidistante dos vértices. 2

3 M P N igura 2: circuncentro Um círculo com centro no circuncentro que passa em um dos vértices, passa em todos os outros vértices. círculo que passa em todos os vértices de um polígono é chamado de círculo circunscrito. intersecção das mediatrizes dos lados de um triângulo é o centro do círculo circunscrito. 4 aricentro ntes do teorema, prove o exercício seguinte. xercício 3. Mostre que as medianas de um triângulo são concorrentes, cruzando no interior do triângulo. Teorema 4. Mediana de um triângulo intercepta em um único ponto no seu interior, dividindo a mediana no ponto 2/3 da vértice correspondente. emonstração. Seja dado e considere os pontos médios e dos lados e respectivamente. Seja G, a intersecção das medianas e (exercício 3). gora considere G e seja H, um ponto no prolongamento de G de forma que G = GH (igura 3). G H igura 3: baricentro omo e G são pontos médios dos lados e H de H, temos que G é paralelo a H e G = 1 H. a mesma forma, como G e são ponto médios dos lados H e de 2 H, G é paralelo a H e G = 1 2 H. omo G e paralelo a e G é paralelo a H, o quadrilátero GH é um paralelogramo e consequentemente, H = G e H = G. Logo, G = 1H = 1G 2 2 e G = 1H = G. 3

4 gora note que o prolongamento de G passa no ponto médio de, pois GH e paralelogramo e diagonais dos paralelogramos cortam outro no meio. lém disso, G = 1GH = G. Logo, todas as medianas cruzam no mesmo ponto (que é numa distância 2 das vértices correspondentes). 3 baricentro é o centro de massa. Se o triângulo apresentar densidade uniforme, qualquer reta que passa no baricentro divide o triângulo em dois momentos iguais, signicando que se pendular o triângulo neste ponto, ele cará na posição horizontal. Não confundir momento com a massa. triângulo determinado pela reta paralela a um dos lados passando pelo baricentro tem a área 4 9 do original e não o Hortocentro Teorema 5. prolongamento das alturas de um triângulo intercepta em um único ponto. emonstração. onsidere as retas paralelas aos lados, passando pelos vértices opostos. stas retas não são paralelas dois a dois, pois os lados dos triângulos não são paralelos dois a dois. Logo estas retas cruzam dois a dois, formando um triângulo. onsiderando, e, as intersecções das retas paralelas a e, e, e respectivamente, podemos considerar. ntão temos que, e são paralelos aos lados, e respectivamente (igura 4). Veremos que é congruente a. omo é paralelo a, = por ser alternos internos. a mesma forma, ser paralelo a implica que =. omo é comum, pelo critério L, e são congruentes. a mesma forma, podemos mostrar que e também são congruentes a. ssim, =, = e =. Logo, o prolongamento das alturas de são mediatrizes de e eles interceptam, pelo Teorema 3. M P N igura 4: hortocentro 6 xincentro xercício 4. ado um triângulo, a bissetriz de um ângulo e bissetriz de um dos ângulos externos não adjacentes interceptam. Teorema 6. bissetriz de um triângulo e a bissetriz dos ângulos externos não adjacentes interceptam em um único ponto na qual é equidistante dos prolongamentos dos seus lados. 4

5 Idéia da demonstração. demonstração é similar ao caso do incentro (Teorema 2) e é deixado como exercício (igura 1). igura 5: exincentro exincentro é o centro do círculo que tangencia um lado e o prolongamento de outros dois lados. 7 onsideração nal incentro, circuncentro e baricentro costumam ser chamados de três pontos notáveis de um triângulo. s três pontos notáveis mais o hortocentro e o exincentro é denominado de cinco pontos notáveis de um triângulo. inda existem outras propriedades interessantes do triângulo tais como a reta de uler e o círculo de nove pontos que não foram discutidos aqui. Referências [1] Toyo, Takami, Kika-kogi (zen-pen) (urso de geometria, parte 1 de 2), seção editoral da Universidade de Saneda, Japão, ano não especicado. [2] Rezende, liane Q.. e Queiroz, Maria L. de, Geometria uclidiana plana e construções geométricas, ditora UNIMP,