Aula 9 Triângulos Semelhantes

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1 MUL 1 - UL 9 ula 9 Triângulos Semelhantes efinição: ois triângulos são semelhantes se os três ângulos são ordenadamente congruentes e se os lados homólogos são proporcionais. figura mostra dois triângulos e semelhantes. Lados homólogos são lados opostos a ângulos ordenadamente congruentes. c b c b a a s triângulos e da figura são semelhantes. Â Â Ĉ Ĉ temos que os lados a e a são homólogos temos que os lados b e b são homólogos temos que os lados c e c são homólogos Vértices homólogos são os vértices de ângulos ordenadamente congruentes. Razão de semelhança é a razão de dois lados homólogos quaisquer. Temos que se Â = Â, =, Ĉ = Ĉ e também a a = b b = c = k; k é a razão de semelhança. c Teorema Fundamental: Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e encontra os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro. Prova: Seja a reta paralela ao lado do triângulo. Vamos provar que. 155 R J

2 Para provarmos essa semelhança, precisamos provar que eles tem ângulos ordenadamente congruentes e lados homólogos proporcionais. 1) s três ângulos ordenadamente congruentes. e fato, Â Ê Â (comum) (correspondentes) Ĉ (correspondentes) 2) s lados homólogos são proporcionais. e fato, pela hipótese, temos F Tracemos F//. Temos: = (1) = F (2) Temos que o quadrilátero F é um paralelogramo e, portanto, F = (3). Substituindo (3) em (2), vem as relações (1) e (4), temos: = (4) = = e os lados homólogos são proporcionais. Logo, os triângulos e são semelhantes. R J 156

3 MUL 1 - UL 9 bservação: ois triângulos congruentes são semelhantes, e a razão de semelhança é k = 1. xercícios Resolvidos 1. s três lados de um triângulo medem, respectivamente, 6 cm, 15 cm e 16 cm. etermine os lados de um triângulo semelhante a, sabendo que a razão de semelhança do triângulo para o triângulo é igual a 4. Temos que. enominando os lados do de a, b e c, vem: 6 = 15 = 16 = 4 a b c a = 6 4 b = 15 4 c = 16 4 Logo, os lados do valem 3 2, 15 4 e 4. = 3 2 = 4 2. Na figura, = 3 ( ), = 3 ( ) e = 14. alcule, sabendo que // R J

4 Seja a figura, sendo = 3 ( ), = 3 ( ) e = 14. enotemos = x, = a, = 3a. x 14 a 3a Temos que, já que // (Teorema Fundamental): Logo, = x 4a = 14 3a x = s lados de um triângulo medem 4 cm, 8 cm e 12 cm. alcule as medidas dos lados de um triângulo semelhante, cujo perímetro mede 96 cm. Sejam x, y e z as medidas dos lados do triângulo procurado. Temos que x 4 = y 8 = z (definição) e x + y + z = x + y + z = 96 Resolvendo o sistema x = y = z de proporção, vem: x + y + z = x 4 = y 8 = z = x 4 = y 8 = z 12 4 = x 4 = y 8 = z 12 usando a propriedade x = 16 cm, y = 32 cm e z = 48 cm. R J 158

5 MUL 1 - UL 9 asos de semelhança entre triângulos 1 ō caso: Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes. Prova: onsidere os triângulos e com Â = Â e =. Vamos provar que. Se o lado fosse congruente ao lado, os dois triângulos seriam Â = Â congruentes pelo caso L, já que = e a semelhança estaria = verificada (k = 1). Supondo que não seja congruente a. Seja <. Tomemos = sobre o lado e tracemos //, pelo Teorema Fundamental, vem: (1) Vamos provar que. Temos que Â = Â (hipótese) = (construção) = (correspondentes) o que implica (L) que (2). e (1) e (2). 159 R J

6 2 ō caso: LL Se dois triângulos possuem dois lados correspondentes ordenadamente proporcionais e os ângulos compreendidos entre esses lados são congruentes, então os triângulos são semelhantes. Sejam os triângulos e. ntão: = =. Prova: Sejam os triângulos e. Se, e = então (LL). Vamos supor que e não são congruentes e seja <. Tomemos sobre o lado e tracemos paralela ao lado. Pelo Teorema Fundamental, temos: ( ) Vamos provar que. e fato, Se //, então = (1). Por construção, = (2). e (1) e (2) = (3), mas, por hipótese, = (4). e (3) e (4) = =. R J 160

7 MUL 1 - UL 9 Logo: LL ( ) e ( ) e ( ) vem que:. 3 ō caso: LLL Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes. Sejam os triângulos e tal que = = Prova: onsidere os triângulos e, tal que = = (1). Se os lados e são congruentes, de (1) que e. aí, (LLL) e o teorema está provado. Vamos supor que e não são congruentes. Seja então <. Tomemos = sobre o lado e tracemos //. Pelo Teorema Fundamental, temos: (1) Vamos provar que. 161 R J

8 e (1), vem que: Por construção, = (3). e (2) e (3), vem: = = (2) = = (4) Mas, por hipótese, = = (5) e (4) e (5), vem: = (6) e = (7), então (construção) (6) (7) LLL (8) e (1) e (8), vem que:, caso de congruência LLL. xercícios Resolvidos 1. ssociar as alternativas seguintes com pares de triângulos T 1, T 2,, abaixo. a) s triângulos são semelhantes pelo critério ( ) b) s triângulos são semelhantes pelo critério (LLL ) c) s triângulos são semelhantes pelo critério (LL ) 3 4 T T 2 10 R J 162

9 MUL 1 - UL T 3 T T 5 8 T 6 1) T 1 T 2 (b) (critério LLL ) já que: 3 6 = 4 8 = ) T 3 T 4 (a) (critério ) pois o terceiro ângulo do triângulo T 3 é: = 40 0 e daí temos nesses dois triângulos dois ângulos congruentes, que são 80 0 e ) T 5 T 6 (c) (critério LL ) já que: 8 6 = 12, e o ângulo compreendido 9 entre esses dois lados é congruente a (70 0 ). 2. Na figura, //, e os pontos, e são co-lineares. Sabendo que = 14 cm, = 18 cm e = 10 cm, calcule a medida do lado. Temos que: Ê Ê Ĉ (ângulos opostos pelo vértice) (alternos internos). 163 R J

10 Portanto: = 18 = = 90 7 cm. 3. om os dados da figura, calcule x. α x 5 α 7 3, pois { = Â = α Ĉ é comum. Temos então o 1 ō caso de semelhança. Logo: = 5 10 = x 30 = x 5x = 5 x = onsidere dois triângulos semelhantes e, de razão k e medianas homólogas M e M. Mostre que M M = k. M M Seja, de razão k e medianas homólogas M e M. ntão: (1) (ângulos homólogos) (2) = = k e (2) vem: = = k M M = k. R J 164

11 MUL 1 - UL 9 aí, temos que: = M = k M LL M M. Logo: M M = k. bservação: m dois triângulos semelhantes, se a razão de semelhança é k, então: razão entre os perímetros é k razão entre as alturas homólogas é k razão entre as bissetrizes internas homólogas é k razão entre os raios dos círculos inscritos é k razão entre os raios dos círculos circunscritos é k. razão entre dois elementos lineares homólogos é k. 5. ois triângulos semelhantes têm perímetros 60 cm e 48 cm. Quanto mede a altura do primeiro, sabendo-se que a altura homóloga do segundo mede 9 cm? onsidere dois triângulos semelhantes, cujos perímetros são 60 cm e 48 cm. Pela observação, temos que = h, onde h é a altura homóloga 9 do primeiro triângulo. ntão: h = = 45 4 h = 45 4 cm. 165 R J

12 6. Na figura a seguir, consideremos os quadrados de lados x, 6 e 9. etermine o perímetro do quadrado de lado x. 9 6 x 9 6 x onsidere na figura os quadrados de lados x, 6 e 9. { 90 0 Temos, pois ( ). Â Ĉ ntão: = x = 6 x 3x = 6(6 x) 3x = 36 6x 9x = 36 x = alcular R, raio da circunferência circunscrita ao triângulo da figura, sendo = 4, = 6 e H = 3. H R R J 166

13 MUL 1 - UL 9 Seja a figura dada, com = 4, = 6 e H = H R 6 R Trace o diâmetro. Temos que H, pois: Ĥ = 900 = Ĉ (ângulo inscrito e note que é diâmetro) H = = 2 (ângulo inscrito) (caso ). ntão: = H 4 2R = 3 6 6R = 24 R = 4. Polígonos Semelhantes efinição: ois polígonos quaisquer com um mesmo número de lados são semelhantes se têm ordenadamente congruentes todos os ângulos e os lados homólogos proporcionais. xemplo: onsidere um quadrilátero qualquer e um ponto sobre o lado, conforme a figura. Tracemos as diagonais de um mesmo vértice e os segmentos e, respectivamente paralelos a e. 167 R J

14 Temos assim o paralelogramo. s quadriláteros e são semelhantes pois têm: a) Â = Â, =, Ĉ = Ĉ e = b) = = = pela construção de paralelas. bservação: notação para os polígonos semelhantes é análoga à dos triângulos semelhantes. ssim, e são vértices homólogos; e são lados homólogos; = k é a razão de semelhança. Teorema: ois polígonos regulares de mesmo número de lados são semelhantes. Prova: onsidere os dois polígonos regulares de p e p. Vamos mostrar que p e p têm seus ângulos ordenadamente congruentes e seus lados homólogos proporcionais. 1 ō : m cada um desses polígonos, cada ângulo interno mede 1800 (n 2), n e daí todos os ângulos são ordenadamente congruentes e em particular congruentes entre si. R J 168

15 MUL 1 - UL 9 2 ō. s lados,,, do primeiro polígono são congruentes entre si, o mesmo ocorrendo com os lados,,, do segundo polígono. F F aí: = = =... = k. aí, p p 8. razão entre os perímetros de dois hexágonos regulares é 1 4. Sabendo-se que o lado maior de um dos hexágonos mede 45 cm, calcule a medida do lado menor. Seja x a medida do lado que queremos. s polígonos regulares são semelhantes, então à razão entre os perímetros é igual à razão entre os lados homólogos. aí, o lado menor é 45 4 cm. x 45 = 1 4 x = Relações métricas em um círculo Teorema das cordas: Se duas cordas se encontram, então o produto das medidas dos dois segmentos de uma é igual ao produto das medidas dos segmentos da outra. 169 R J

16 Prova: Sejam as cordas e que se encontram em P no círculo. P Temos que P P, pois: P P (opostos pelo vértice) (caso ). ntão: P P = 2 (ângulo inscrito) P P = P P P P = P P. Teorema das Secantes: Se de um ponto exterior a um círculo traçamos duas secantes, então o produto das medidas de uma secante por sua parte exterior é igual ao produto das medidas da outra pela sua parte exterior. Prova: P Sejam as secantes P e P que se encontram em P. Ligue os pontos com e com. Temos que P P, pois: P (comum) (caso ). ntão: PÂ = ĈP = 2 (ângulo inscrito) P P = P P P P = P P. R J 170

17 MUL 1 - UL 9 Teorema: Se de um ponto exterior a um círculo traçamos uma tangente e uma secante, então a medida do segmento da tangente é média geométrica entre as medidas do segmento da secante. Nota: ados os números reais positivos a e b, chama-se média geométrica entre a e b o número x positivo tal que x 2 = ab. Prova: Seja P exterior a um círculo, P secante e PT tangente ao círculo. P T Ligue os pontos e ao ponto T, conforme a figura. Temos que PT PT, pois: P (comum) ÂT = TP = T (ângulo inscrito e de segmento) 2 (caso ). ntão: PT P = P PT PT2 = P P. Nota: No caso de a secante passar pelo centro do círculo e sendo d a distância de P ao centro do círculo e R o raio desse círculo, temos: T P d R R PT 2 = P P = (d R)(d + R) PT 2 = d 2 R R J

18 Potência de um ponto em relação a um círculo onsideremos em um plano uma circunferência e um ponto P, o qual poderá ser exterior ou interior a ela, ou mesmo pertencer à circunferência. Por P traçamos uma reta que encontra a circunferência em dois pontos distintos e. P efinição: produto P P é denominado potência do ponto P em relação ao círculo de centro. Notação: Pot P. onsidere a figura a seguir. F P Temos: P P = P P = P PF = constante (Teorema das ordas). onsidere, agora, a figura a seguir. P T Temos: P P = P P = PT 2 = constante (teorema anterior). R J 172

19 MUL 1 - UL 9 Nota: Sabemos que PT 2 = d 2 R 2, onde d é a distância de um ponto ao centro do círculo de raio R, situado no mesmo plano. ntão: 1) potência de P em relação ao círculo será positiva se d > R, pois: P P = PT 2 = d 2 R 2 = Pot P. 2) potência de P em relação ao círculo é negativa se d < R. 3) potência de P em relação ao círculo é nula se d = R. 4) potência de P em relação ao círculo é mínima se d = onsidere a figura. alcule Pot + Pot + Pot Temos que Pot R = d 2 R 2. Pot = Pot = Pot = o que implica Pot + Pot + Pot = = = R J

20 10. alcule x nas figuras a seguir: a) 2 4 x 9 Pelo Teorema das ordas, vem: 2 x = 4 9 x = 18. b) x x 4 8 Pelo Teorema das Secantes, vem: x 2x = x 2 = 8 16 x 2 = 64 x = Na figura, representa um trecho reto de uma estrada que cruza o pátio circular de centro e raio r. Se = 2r =, determine a medida de em função da medida de. R J 174

21 MUL 1 - UL 9 onsidere a figura, com = 2r =. 2r r r enominando = x, vem: Usando o Teorema das secantes, Temos que: Logo: x 2r = r 3r x = 3r 2. = = 2r 3r 2 = r 2. 3r 2 r 2 = 3 = ponto P está no interior de uma circunferência de 13 cm de raio e dista 5 cm do centro da mesma. Pelo ponto P, traça-se a corda de 25 cm. etermine os comprimentos que P determina sobre a corda. Temos que P está no interior de uma circunferência de 13 cm de raio e dista 5 cm do centro da mesma e a corda = x P 5 y Vamos denominar P = x e P = y. ntão, usando o Teorema das ordas, vem: 18 8 = x y e x + y = = R J

22 aí, xy = 144 (1) x + y = 25 (2) x = 25 y (3). Substituindo (3) em (1), vem: (25 y)y = 144 y 2 25y = 0 y = 25 ± y = = 16 ou y = = 9 ssim, x = = 9 ou x = 25 9 = 16. Logo, os comprimentos pedidos são 16 cm e 9 cm. xercícios Propostos 1. alcule o valor de x na figura, sabendo que r e s são transversais que cortam as paralelas a, b e c. b a 9 x 6 12 c figura mostra um quadrado FG inscrito em um triângulo. Sabendo que a base mede 15 cm e que a altura relativa a essa base mede 10 cm, calcule a medida do lado desse quadrado. G F R J 176

23 MUL 1 - UL 9 3. No triângulo da figura, calcule os valores de x e y. 4. Na figura temos = 9, = 16, = 337 e = 5. etermine e. 5. alcule a altura do triângulo inscrito na circunferência de centro e de diâmetro = 7, 5 cm e os lados e medindo, respectivamente, 5 cm e 6 cm. 6. Na figura, é um triângulo eqüilátero de lado 6 cm e M é o ponto médio do lado. alcule o segmento N. 177 R J

24 7. s bases de um trapézio medem 4 m e 6 m, respectivamente, e a altura mede 8 m. alcule a que distância da base maior cortam-se as diagonais. 8. Mostre que, em um paralelogramo, dois lados consecutivos são inversamente proporcionais às alturas correspondentes. 9. Se, no círculo da figura, vale 10, vale 2, é perpendicular a e é o ponto médio de, calcule o diâmetro do círculo. 10. Por um ponto P distante 9 cm do centro de um círculo de 7 cm de raio, traça-se a secante P ao círculo de modo que P vale a metade de P. alcule o comprimento do segmento P. Gabarito x = 15 2, y = = 80 9, = N = 3, 2 cm. 7. 4,8 metros. 8. demonstração R J 178