TERCEIRA SÉRIE ENSINO MÉDIO INTEGRADO. PROPRIEDADES DOS QUADRILÁTEROS Prof. Rogério Rodrigues NOME :... NÚMERO :... TURMA :...

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1 1 TRIR SÉRI NSINO MÉIO INTGRO PROPRIS OS QURILÁTROS Prof. Rogério Rodrigues NOM :... NÚMRO :... TURM :...

2 2 IV - QURILÁTROS IV. 1) Quadriláteros Notáveis - lassificação : hamamos de Quadrilátero todo polígono de quatro lados. Um critério razoável para agrupar os quadriláteros segundo suas características comuns é separá-los em dois grandes grupos : OS PRLLOGRMOS : São aqueles que possuem os lados opostos paralelos. OS NÃO PRLLOGRMOS : São aqueles que não possuem lados opostos paralelos. o primeiro grupo fazem parte o paralelogramo tradicional ou Rombóide, o Retângulo, o Losango e o Quadrado. L M O N Rombóide Retângulo P U V S Q R Z X Losango Quadrado o segundo grupo, o principal representante é o Trapézio, que possui dois lados paralelos e dois lados não paralelos. Também fazem fazem parte desse grupo aqueles quadriláteros sem propriedades especiais, que chamaremos de Quadrilátero Qualquer.

3 3 Trapézio scaleno ( quatro lados de medidas diferentes ) // e não paralelo a. L M = = O N Trapézio Isósceles ( lados não paralelos congruentes ) LM // NO e LO não paralelo a MN. P Q S R Trapézio Retângulo ( tem dois ângulos retos ) PQ // RS e PS não paralelo a QR.

4 4 No grupo dos Paralelogramos, definimos : LOSNGO É TOO PRLLOGRMO QU POSSUI OS LOS ONGRUNTS. RTÂNGULO É TOO PRLLOGRMO QU POSSUI OS ÂNGULOS INTRNOS ONGRUNTS (RTOS) QURO É O PRLLOGRMO QU POSSUI OS LOS ONGRUNTS OS ÂNGULOS INTRNOS ONGRUNTS (RTOS). xercício de Fixação : Marque V (verdadeiro) ou F (falso) a cada proposição a seguir : a) ( ) Todo paralelogramo é um quadrilátero. b) ( ) Todo losango é um quadrado. c) ( ) Todo quadrado é um losango. d) ( ) Todo quadrado é um retângulo. e) ( ) Todo retângulo é um losango. f) ( ) Todo losango é paralelogramo. g) ( ) Todo retângulo é um paralelogramo. h) ( ) xistem losangos que são retângulos. i) ( ) xistem losangos que não são quadrados. j) ( ) xistem quadrados que não são losangos. Respostas : a) V b) F c) V d) V e) F f) V g) V h) V i) V j) F

5 5 IV. 2) PROPRIS OS PRLLOGRMOS : m todo Paralelogramo, valem as seguintes propriedades : OS LOS OPOSTOS TÊM MIS IGUIS ; OS ÂNGULOS OPOSTOS TÊM MIS IGUIS ; S IGONIS S ORTM MUTUMNT O MIO. xercícios Resolvidos : 1) Mostrar que no paralelogramo os lados opostos têm mesma medida. onsidere o paralelogramo IO representado na figura abaixo : O I diagonal I divide o paralelogramo nos triângulos I e IO que são congruentes pelo caso.l., já que a) ÂI = ÎO (alternos internos determinados entre as paralelas e OI ; b) I é lado comum aos dois triângulos ; c) Î = IÂO (alternos internos determinados entre as paralelas O e I. ntão, nos triângulos I e IO, teremos = OI e O = I. 2) Mostre que no paralelogramos os ângulos opostos têm a mesma medida.

6 6 onsidere a figura a seguir : = O = I a) Já que OÂI = Î e ÂI = ÎO, pois são pares de ângulos alternos internos determinados entre paralelas, temos que OÂ = OÎ, já que ambos são somas de parcelas iguais (veja exercício anterior) ; b) onsiderando agora a diagonal O, temos, do mesmo modo anterior, que Ô = ÊI e ÔI = OÊ, pois são pares de ângulos alternos internos determinados entre paralelas. ntão, ÊI = ÔI, pois ambos são somas de parcelas iguais. 3) Mostre que no paralelogramo as diagonais se cortam mutuamente ao meio. U = = O I onsiderando a figura acima, onde U é o ponto de interseção das diagonais I e O, temos que os triângulos UO e UI são congruentes pelo caso L.. o, pois a) O = I (lados opostos do paralelogramos) ; b) ÔU = OÊI (alternos internos entre paralelas) ; c) ÛO = ÛI (opostos pelo vértice) ntão, U = UI e U = UO, ou seja, U é o ponto médio das diagonais.

7 7 xercícios de Fixação : 1) m cada caso a seguir, é um paralelogramo cujos ângulos internos têm medidas respectivamente iguais a a, b, c e d. alcule as medidas dos ângulos internos desconhecidos : a) 60 o b) x 3 x 2 c) 1 x 2 x

8 8 d) 80 o e) 50 o 100 o f) 2) m cada figura a seguir, é um paralelogramo onde X e X são as bissetrizes dos ângulos de vértices e, respectivamente. alcule as medidas a, b, c e d dos ângulos internos do paralelogramo.

9 9 a) X x x = 2 3 b b) X x x = 2 5 a Respostas : 1) a) b = 120 o, c = 60 o e d = 120 o b) a = 72 o, b = 108 o, c = 72 o e d = 108 o c) a = 60 o, b = 120 o, c = 60 o e d = 120 o d) a = 80 o, b = 100 o, c = 80 o e d = 100 o e) a = 50 o, b = 130 o, c = 50 o e d = 130 o f) a = 100 o, b = 80 o, c = 100 o e d = 80 o 2) a) a = 120 o, b = 60 o, c = 120 o e d = 60 o b) a = 36 o, b = 144 o, c = 36 o e d = 144 o IV. 3) PROPRIS OS LOSNGOS : m todos os losangos, verificam-se as seguintes propriedades : s diagonais são bissetrizes dos ângulos cujos vértices elas unem ; s diagonais são perpendiculares entre si.

10 10 xercício Resolvido : emonstrar as duas propriedades anteriores dos losangos. onsideremos a figura a seguir, onde é representado o losango e suas diagonais e : a) Sabemos que M divide ambas as diagonais ao meio, pois o losango é um paralelogramo. ntão, M = M e M = M ; b) omo = = = (lados do losango), então os triângulos M, M, M e M são congruentes pelo caso L.L.L., logo, seus ângulos correspondentes têm a mesma medida, ou seja b 1 = b 2 = d 1 = d 2 e as diagonais são bissetrizes dos ângulos cujos vértices elas unem ; c) inda pelo caso anterior, temos os ângulos de medidas m 1 e m 2 congruentes, ou seja m 1 = m 2. Pela figura, m 1 + m 2 = 180 o. ntão, m 1 = m 2 = 90 o, o que significa que as diagonais são perpendiculares entre si. IV. 4) PROPRI OS RTÂNGULOS : M TOO RTÂNGULO, S IGONIS TÊM MIS IGUIS. xercício Resolvido : Mostrar que as diagonais do retângulo têm medidas iguais. onsidere a figura a seguir :

11 11 Observe que as diagonais determinam os triângulos e que são congruentes pelo caso L..L., pois a) = (lados opostos do retângulo) ; b) os ângulos de vértices e são retos (ângulos internos do retân gulo ; c) = (lados opostos do retângulo). Portanto as diagonais e têm a mesma medida. IV. 5) TORM S MÉI O TRIÂNGULO : O SGMNTO TRMINO PLOS PONTOS MÉIOS OIS LOS UM TRIÂNGULO É PRLLO O TRIRO LO TM MI- ORRSPONNT À SU MT xercício resolvido : Mostrar o Teorema acima enunciado. onsideremos as figuras a seguir : FIGUR 1 FIGUR 2

12 12 figura 1 mostra o triângulo e o segmento MN, onde M e N são, respectivamente, os pontos médios de e. Prolonguemos a S MÉI MN e pelo ponto tracemos a paralela ao lado, até que esta intercepte o prolongamento de MN em, conforme figura 2. Os triângulos MN e N são congruentes pelo caso.l.., pois a) os ângulos indicados pelas medidas r e s são congruentes (O.P.V.); b) N = N ( N é ponto médio de ) ; c) os ângulos indicados pelas medidas a e t são congruentes ( alternos internos ). ntão, os lados correspondentes nos dois triângulos são congruentes, ou seja MN = N, = M e, por hipótese, M = M. m conseqüência disto, temos que = M. ssim temos que M é um paralelogramo. esse modo, fica demonstrado que MN //. omo MN = N, conclui-se que N é ponto médio de M. ntão : MN = 2 IV. 6) TORM S MÉI O TRPÉZIO : M TOO TRPÉZIO, S MÉI É PR- LL ÀS OUTRS SS SU MI É - PL SMI-SOM S MIS S OU- TRS SS. xercício resolvido : Mostrar o Teorema da ase Média do trapézio. onsideremos a figura que se segue, onde P e O são, respectivamente, os pontos médios de e. P O

13 13 Tracemos O, prolongando-o até que encontre o prolongamento de em : P O Os triângulos O e O são congruentes pelo caso L.. o, pois : a) O = O ( O é o ponto médio de ) ; b) Ô = Ô ( opostos pelo vértice ) ; c) ÂO = ÊO (alternos internos ) ntão, = e O = O ; logo, O é ponto médio de e, pelo Teorema da ase Média do Triângulo, aplicado ao triângulo, temos que 1 o ) PO // // ; 2 o ) PO = ()/2 = ( + )/2 = ( + )/2. ntão, como queríamos demonstrar PO = + 2 IV. 7) TORM O TRPÉZIO ISÓSLS : M TOO TRPÉZIO ISÓSLS, OS ÂNGU LOS JNTS UM MSM S SÃO ONGRUNTS. xercício resolvido : Mostrar que no trapézio isósceles, os ângulos adjacentes a uma mes ma base são congruentes.

14 14 onsideremos o trapézio IO da figura abaixo, onde O = I : a e o u i O U I Traçando, pelo vértice, a paralela U a I, temos : a) IU é um paralelogramo (lados opostos paralelos) ; então I = U = O ; então o triângulo UO é isósceles e o = u ; b) i = u ( ângulos correspondentes ) ; então i = o. c) como o + a = 180 o e i + e = 180 o (colaterais internos), temos também que a = e. xercícios de Fixação : 1) Marque V (verdadeiro) ou F (falso) a cada proposição a seguir : a) ( ) Toda propriedade dos retângulos vale para os paralelogramos. b) ( ) Toda propriedade dos paralelogramos vale para os retângulos. c) ( ) Toda propriedade dos retângulos vale para os losangos. d) ( ) Toda propriedade dos losangos vale para os retângulos. e) ( ) Toda propriedade dos quadrados vale para os losangos. f) ( ) Toda propriedade dos losangos vale para os quadrados. g) ( ) Um losango pode ter quatro ângulos congruentes. h) ( ) soma dos ângulos internos de um losango é a mesma de um trapézio. 2) etermine : a) em um retângulo, a medida de, sabendo-se que = 5 cm. b) em um losango, a medida do ângulo formado por suas diagonais. c) em um trapézio retângulo, as medidas dos ângulos internos de vértices e, sendo 90 o e 30 o as respectivas medidas dos ângulos internos de vértices e. d) a medida da base média de um trapézio isósceles, sabendo que seu perímetro é 28 cm e um dos lados transversais mede 4 cm.

15 15 3) alcule x em cada quadrilátero a seguir : a) x 110 o 70 o 80 o b) x + 30 o x 10 o 120 o 80 o 4) s medidas dos ângulos internos de um quadrilátero são expressas x + 10 o, 2x, x + 20 o e x + 30 o. alcule essas medidas. 5) figura a seguir representa o paralelogramo OIU. alcule : O I n m x y U a) IU, sendo O = 3 cm. b) U, sendo OI = 4 cm. c) med(ôi), sendo med(ûi) = 120 o. d), sendo I = 12 cm. e) med(iêo), sendo x = 30 o e y = 40 o. f) m, sendo med(êo) = 70 o e n = 30 o. g) med(ûi), sendo n = 40 o e y = 20 o.

16 16 6) Se num paralelogramo um dos ângulos agudos mede 65 o, quanto medem os outros ângulos internos? 7) Se num paralelogramo um dos ângulos externos mede 35 o, quanto medem os ângulos internos? 8) diagonal de um paralelogramos forma, com o lado, um ângulo de 30 o e com o lado, um ângulo de 40 o. alcule os ângulos internos desse paralelogramo. 9) Se uma das diagonais de um losango forma,com um dos lados, um ângulo de 50 o, calcule os ângulos internos do losango. 10) s diagonais de um retângulo formam um ângulo de 108 o. alcule os ângulos que as diagonais formam com os lados. 11) alcule os ângulos internos de um trapézio, sabendo-se que um dos ângulos mede 120 o e um outro vale a terça parte desse valor. 12) ado um trapézio retângulo, com os ângulos internos de vértices e retos, calcule os ângulos internos de vértices e, sabendo-se que as bissetrizes dos ângulos internos de vértices e formam um ângulo de 95 o. 13) base média de um trapézio mede 11 cm. alcule as bases desse trapézio, sabendo-se que a sua diferença é de 8 cm. 14) diferença entre as medidas de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo é 28 o. alcule as medidas dos ângulos do paralelogramo. 15) Um dos ângulos obtusos de um paralelogramo é o quíntuplo de um dos ângulos agudos. alcule as medidas desses ângulos. 16) Num trapézio isósceles, a base menor é congruente aos lados não paralelos. Prove que as diagonais são bissetrizes dos ângulos de vértices e do trapézio. 17) Na figura a seguir, prolongando-se a diagonal do quadrado de um segmento =, obtém-se o triângulo. Quanto medem os ângulos internos do triângulo?

17 17 Respostas : 1) F, V, F, F, V, V, V 2) a) 5 cm b) 90 o c) 90 o e 150 o resp. 3) a) 100 o b) 70 o 4) 70 o, 120 o, 80 o e 90 o 5) a) 3 cm b) 4 cm c) 120 o d) 6 cm e) 110 o f) 80 o g) 60 o 6) 65 o, 115 o e 115 o 7) 145 o, 35 o, 145 o e 35 o 8) 70 o, 110 o, 70 o e 110 o 9) 100 o, 100 o, 80 o e 80 o 10) 36 o e 54 o 11) 120 o, 60 o, 40 o e 140 o 12) 80 o e 100 o 13) 7 cm e 15 cm 14) 76 o, 104 o, 76 o e 104 o 15) 30 o e 150 o 17) 22 o 30, 135 o e 22 o 30. xercícios omplementares : 1) No trapézio da figura, M e N são, respectivamente, os pontos médios dos lados e. Se as bases têm medidas a e b, calcule a medida do segmento PQ, contido em MN e compreendido entre as diagonais e do trapézio. b M P Q N a 2) Prove que os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer são vértices de uma paralelogramo.

18 18 3) Na figura, IOU é um quadrado e I é um triângulo eqüilatero. alcule as medidas dos ângulos IÊO e UÔ. I U O 4) Na figura seguinte, e MN são quadrados e é um triângulo eqüilátero. alcule as medidas de vértices e N assinalados. 5) Prove que, num triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa mede a sua metade. 6) Na figura seguinte, é um quadrado e é um triângulo eqüilátero. alcule a medida do ângulo de vértice assinalado. 7) Provar que as bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo se cortam em ângulo reto.

19 19 8) Na figura, é um retângulo e M é um triângulo eqüilátero. alcule as medidas dos ângulos  e ÊM. M 30 o 9) Na figura seguinte, e F são triângulos eqüiláteros e é um quadrado. Prove que os pontos, e F estão alinhados,isto é, pertencem a uma mesma reta. (SUGSTÃO: basta provar que ÊF= = 180 o ) F 10) (U.F. Uberlândia MG) Num quadrilátero, o ângulo de vértice é a terça parte do ângulo de vértice, o ângulo de vérti mede o quíntuplo do de vértice e o ângulo de vértice mede 45 o. alcule a diferença entre os ângulos de vértices e. 11) (esgranrio RJ) s bases MQ e NP de um trapézio medem 42 cm e 112 cm, respectivamente. Se o ângulo interno de vértice Q é o dobro do ângulo interno de vértice N, quanto mede o lado PQ? M Q N P

20 20 12) (IT SP) onsidere um quadrilátero cujas diagonais e medem, respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos lados do quadrilátero dado, calcule o perímetro do quadrilátero RSTU. 13) (UFMG ) - Na figura, é um quadrado e é um triângu lo eqüilátero. Qual é, em graus, a medida do ângulo Ê? 14) Na figura, é um quadrado, onde + =. Sendo F o ponto médio de, mostre que  é o dobro de FÂ. F Respostas : 1) PQ = a - 2 b 3) IÊO = 75 o e UÔ = 15 o 4) 45 o ambos 6) 30 o 8)  = 30 o e ÊM = 60 o 10) 70 o 11) 70 cm 12) 11 cm 13) 75 o