Aula 6 Polígonos. Objetivos. Introduzir o conceito de polígono. Estabelecer alguns resultados sobre paralelogramos.

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1 MÓULO 1 - UL 6 ula 6 Polígonos Objetivos Introduzir o conceito de polígono. Estabelecer alguns resultados sobre paralelogramos. Introdução efinição 14 hamamos de polígono uma figura plana formada por um número finito de segmentos de reta tais que: ada extremo de cada segmento é extremo de exatamente dois segmentos; Os segmentos intersectam-se apenas nos extremos; Lados consecutivos não estão contidos na mesma reta. Veja alguns exemplos na figura 96. Fig. 96: Exemplos de polígonos. Na figura 97, você pode ver exemplos de outras figuras planas que não são polígonos (você deve dizer por que cada uma delas não satisfaz à definição de polígono). Fig. 97: Exemplos de figuras planas que não são polígonos. 69 EERJ

2 ada extremo de cada segmento é chamado vértice do polígono, e os segmentos são chamados lados do polígono. Um polígono divide o plano em duas regiões, uma limitada e outra ilimitada. região limitada é chamada interior do polígono. Observe que não faz sentido falarmos de polígonos com somente um lado ou somente dois lados. efinição 15 O perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus lados. efinição 16 Uma diagonal é um segmento que liga dois vértices do polígono que não pertencem a um mesmo lado. efinição 17 Um polígono é dito convexo se, dados dois pontos quaisquer e no interior do polígono, o segmento de reta está contido no interior do polígono. Na figura 98, os polígonos (a) e (b) são convexos, enquanto o polígono (c) não é convexo. (a) (b) (c) Fig. 98: (a) e (b) são convexos e (c) não é convexo. Um triângulo (que é um polígono de três lados) é sempre convexo. O mesmo não acontece com outros polígonos. Observe as figuras 98 e 99. lguns polígonos com mais de três lados também recebem nomes especiais. Quadrilátero - polígono de quatro lados Pentágono - polígono de cinco lados Hexágono - polígono de seis lados Heptágono - polígono de sete lados e assim sucessivamente. EERJ 70

3 MÓULO 1 - UL 6 (a) (b) Você sabia que... O Pentágono (Ministério da efesa dos EU) tem esse nome porque o prédio que o abriga tem esse formato. Fig. 99: a) Quadrilátero convexo. b) Quadrilátero não-convexo. lguns quadriláteros recebem nomes especiais. Um paralelogramo é um quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. Um retângulo é um quadrilátero com todos os ângulos retos. Um trapézio é um quadrilátero que possui um par de lados opostos paralelos, chamados de bases do trapézio. Segue da proposição 9 que todo retângulo é um paralelogramo. Observe a figura 100. (a) (b) (c) Fig. 100: a) Paralelogramo. b) Retângulo. c) Trapézio. Um losango é um paralelogramo que possui todos os seus lados congruentes. Um quadrado é um retângulo que possui todos os lados congruentes. Veja a figura 101. Observe que todo quadrado é losango. (a) (b) Fig. 101: a) Losango. b) Quadrado. 71 EERJ

4 Matemática guarda uma relação com o esteticamente agradável. Um exemplo disto encontra-se no chamado retângulo áureo, utilizado na arquitetura e nas artes, há muito tempo. Um retângulo áureo é aquele no qual, ao se destacar um quadrado de lado igual ao menor lado do retângulo, obtém-se um retângulo menor que guarda proporção com o retângulo original. Para construirmos um retângulo áureo, partimos de um quadrado ( na figura). Localizamos o ponto médio (M) de um lado do quadrado e medimos a distância deste até um de seus vértices mais distantes (comprimento de M). Propriedades dos polígonos Usando os fatos que já conhecemos a respeito de triângulos, podemos mostrar algumas propriedades de outras figuras planas, como veremos a seguir e até o final desta aula. Proposição 11 Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes. Prova: onsidere um paralelogramo. Queremos mostrar que e. Para isso, vamos traçar a diagonal, e considerar os triângulos e. Veja a figura 102. Fig. 102: Proposição 11. M Quadrado e ponto médio M. essa medida somamos metade do lado do quadrado, obtendo, assim, o comprimento do retângulo áureo. M Retângulo áureo. omprimento de M é igual ao comprimento de ME. onsulte: /ilene/4331/geomcuriosidades.htm E F Temos que as retas e são paralelas e que a reta que contém é transversal às duas. e acordo com a proposição 10, os ângulos ˆ e ˆ são congruentes. o mesmo modo, mudando o ponto de vista, como e são paralelas e é transversal às duas, os ângulos ˆ e ˆ são congruentes. O lado é comum aos dois triângulos considerados. Juntando essas informações, concluímos que, de acordo com o caso.l.., os triângulos e são congruentes. Isso nos dá e. Q.E.. Usando os mesmos argumentos utilizados na proposição anterior, podese mostrar que os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes (veja o exercício 9 desta aula). e acordo com a definição, para verificar se um dado quadrilátero é um paralelogramo, seria preciso constatar que os seus lados opostos são paralelos. s proposições a seguir dão outras maneiras de chegar a essa conclusão. Proposição 12 Se um quadrilátero possui os lados opostos congruentes, então ele é um paralelogramo. EERJ 72

5 Prova: Poĺıgonos Seja um quadrilátero tal que e. Queremos mostrar que a reta é paralela à reta e que a reta é paralela à reta. Para isso, vamos traçar o segmento, como na figura 103. Note que, de acordo com o caso L.L.L., os triângulos e são congruentes. MÓULO 1 - UL 6 Simetria num rosto Fig. 103: Proposição 12. aí concluímos que os ângulos ˆ e ˆ são congruentes, como também são congruentes ˆ e ˆ. reta é transversal às retas e, e determina com elas ângulos alternos internos ˆ e ˆ. e acordo com a proposição 9, como esses ângulos são congruentes, podemos concluir que e são paralelas. a mesma forma, como a reta também é transversal às retas e, e forma com elas ângulos alternos internos ˆ e ˆ, pela mesma proposição concluímos que e são paralelas. Isso prova que é de fato um paralelogramo. Q.E.. Simetria num rosto. No desenho de Leonardo da Vinci representando um velho, o artista sobrepôs ao esboço um quadrado dividido em retângulos, alguns dos quais se aproximam do retângulo áureo. O retângulo áureo é considerado a forma geométrica mais agradável à vista. Proposição 13 Se um quadrilátero possui um par de lados opostos paralelos e congruentes, então esse quadrilátero é um paralelogramo. Prova: Seja um tal quadrilátero, com os lados e paralelos e congruentes. Trace a diagonal (figura 104). Queremos provar que os lados e são também paralelos. Observe que a reta é transversal às retas paralelas e. Fig. 104:, e paralelas. 73 EERJ

6 Segue da proposição 10 que os ângulos alternos internos ˆ e ˆ são congruentes. Pelo caso de congruência L..L., os triângulos e são congruentes. omo conseqüência, ˆ e ˆ são congruentes. reta também é transversal às retas e. om essas retas, forma ângulos alternos internos ˆ e ˆ; usando a proposição 9, segue que e são paralelas. om isso, podemos concluir que é um paralelogramo. Q.E.. convexos. Encerraremos esta aula apresentando um resultado sobre quadriláteros Presença do retângulo áureo no Partenon O Partenon de tenas se encaixa quase perfeitamente no retângulo áureo, reconstituindo-se a cúpula retangular de sua fachada. Embora seja dotado de várias proporções geometricamente equilibradas, provavelmente seus construtores, no século V a.., não tinham senão conhecimento intuitivo da proporção áurea. Proposição 14 soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero convexo é 360 o. Prova: Seja um quadrilátero convexo; trace a diagonal (figura 105). Fig. 105: Proposição 14. Note que a soma dos ângulos internos de é a soma dos ângulos internos de mais a soma dos ângulos internos de. Mas a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180 o (veja a lei angular de Tales na ula 5). Logo, a soma dos ângulos internos de é 360 o Lei ngular de Tales também permite calcular a soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo (veja exercício 16 desta aula). EERJ 74

7 MÓULO 1 - UL 6 Resumo Nesta aula você aprendeu... O que é um polígono. s definições de paralelogramo, de retângulo, de trapézio, de losango e de quadrado. Que os lados opostos de um paralelogramo são congruentes. Que um quadrilátero que tem os lados opostos congruentes é um paralelogramo. Que um quadrilátero que tem um par de lados opostos paralelos e congruentes é um paralelogramo. Exercícios 1. iga se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa: a) Todo quadrado é losango. b) Todo losango é quadrado. c) Se dois ângulos opostos de um quadrilátero são congruentes, então esse quadrilátero é um paralelogramo. d) Todo paralelogramo que tem dois lados adjacentes congruentes é losango. 2. Na figura 106, é um paralelogramo, m() = 7 cm, m(p ) = 3 cm e os ângulos destacados são congruentes. etermine o perímetro do paralelogramo. P Fig. 106: Exercício EERJ

8 3. Na figura 107, é um quadrado e P é um triângulo equilátero. etermine ˆP. P Fig. 107: Exercício Na figura 108, é um quadrado. Prove que EF é equilátero. E o 15 15o Fig. 108: Exercício 4. F 5. Prove que as diagonais de um paralelogramo intersectam-se em um ponto que é ponto médio de cada diagonal. 6. Na figura 109, é um paralelogramo, m() = 20 cm, m(q) = 12 cm e F Q. etermine o perímetro desse paralelogramo. Q Fig. 109: Exercício Na figura 110, é retângulo de hipotenusa, N e são paralelos, N e M são paralelos e M M. Prove que MN é um losango. F M N Fig. 110: Exercício 7. EERJ 76

9 MÓULO 1 - UL 6 8. (UFMG-1990) Na figura 111, é equilátero com 8 cm de lado e MN é paralelo a. M N Fig. 111: Exercício 8. medida de MN para o qual o perímetro de MN é igual ao perímetro de MN é: a) 2 cm b) 3 cm c) 4 cm d) 5 cm e) 6 cm 9. Prove que os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes. 10. Prove que as diagonais de um losango são perpendiculares. 11. Um trapézio é chamado isósceles se os lados não paralelos são congruentes. Se é um trapézio isósceles em que é uma base, prove que  e Ĉ ˆ. 12. Prove que as diagonais de um paralelogramo se intersectam em um ponto que é ponto médio das duas diagonais. 13. s diagonais de um quadrilátero convexo são bissetrizes dos ângulos dos vértices. Prove que esse quadrilátero é um losango. 14. Prove que retas paralelas são equidistantes. Mais precisamente, se r e s são retas paralelas, prove que a distância de a s é igual à distância de a s, quaisquer que sejam, r. 15. Prove que as diagonais de um trapézio isósceles são congruentes. 16. Prove que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é (n 2)180 o. Sugestão: ivida o polígono em n 2 triângulos usando as diagonais que partem de um ponto. 17. Prove que o número de diagonais de um polígono de n lados é dado n(n 3) pela fórmula EERJ