AULAS 10 A 12. Triângulos: Existência, Congruência e Semelhança.

Transcrição

1 009 Treinamento para Olimpíadas de Matemática N Í V L ULS 0 Triângulos: xistência, ongruência e Semelhança onceitos Relacionados roposição XISTÊNI UM TRIÂNGULO (SIGUL TRINGULR) Sejam a, b e c números reais positivos. xiste um triângulo com lados, em uma certa unidade, medindo a, b e c, se, e somente se, a b + c, b a + c e c a + b xemplos: Não existe triângulo com lados medindo:, e 4 ois, 4 + Não existe triângulo com lados medindo:, e 4 ois, 4 = + xiste triângulo com lados medindo:, e 4 ois, + 4, + 4 e 4 + = 4 = 4 = 4 Nota: ocorrência simultânea das três desigualdades acima é equivalente a uma só desigualdade em que qualquer dos números a,b,c, fica compreendido entre a soma dos outros dois e o módulo da diferença entres eles. or exemplo, para o número real a 0, teríamos: a b + c, b a + c e c a + b b c a b + c roposição MIOR LO MIOR ÂNGULO Se dois lados de um triângulo têm medidas diferentes, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado, opõe-se o menor ângulo, e reciprocamente ,4 7.0 efinição ONGRUÊNI TRIÂNGULO ois triângulos e são congruentes se, e somente se, existir entre eles uma das combinações abaixo de ângulos congruentes e lados congruentes. ara expressar que o triângulo é congruente ao triângulo usaremos. SISTM NGLO NSINO Treinamento para Olimpíadas de Matemática 009

2 roposição (LLL) TRÊS LOS. roposição 4 (LL) OIS LOS O ÂNGULO OMRNIO NTR LS. roposição 5 (L) OIS ÂNGULOS O LO OMRNIO NTR LS. roposição 6 (L 0 ) OIS ÂNGULOS UM LO OOSTO UM STS ÂNGULOS. roposição 7 OIS LOS UM ÂNGULO NÃO OMRNIO NTR LS RTO (OU OTUSO). Nota: Se o ângulo compreendido entre os lados é agudo, os triângulos podem não ser congruentes. Verifique com exemplos. roposição 8 TORM TLS. Quando duas retas transversais cortam um feixe de retas paralelas, as medidas dos segmentos correspondentes determinados nas transversais são proporcionais. onsiderando-se o exemplo da figura, tem-se: =, = e = SISTM NGLO NSINO Treinamento para Olimpíadas de Matemática 009

3 xemplo 6 4 = = 4 = = 6 Nota : Tales era filósofo, geômetra, astrônomo, físico, político e comerciante, e acredita-se que tenha nascido no ano 65 a.. Nota : Se aplicarmos o Teorema de Tales num triângulo qualquer vamos obter resultados bastante interessantes e reveladores sobre os triângulos. Sendo um triângulo, traçamos por M, ponto médio de, uma reta M N paralela ao lado e encontramos N. ntão: =. Logo, N = N, e N é o ponto médio do segmento. M N nalogamente, traçando uma reta passando por N paralela a, encontramos, ponto médio de : = =. Mas, como MN é um paralelogramo, MN = = =. M N elo mesmo raciocínio temos que N = M = M e M = N = N. roposição 9 S MÉI Se M e N são pontos médios dos lados e respectivamente, então o segmento MN é paralelo ao segmento e MN =. O segmento MN nestas condições é denominado de base média. efinição SMLHNÇ TRIÂNGULOS ois triângulos são semelhantes se, e somente se, existir entre eles uma das seguintes combinações de ângulos congruentes e lados proporcionais: (LLL) três lados, () dois ângulos, (LL) dois lados e o ângulo compreendido entre eles. Ou ainda ois lados e um ângulo não compreendido entre eles reto ou obtuso. ara dizer que o triângulo é semelhante ao triângulo usaremos Nota: Quando ocorrer a seguinte combinação: ois lados e um ângulo não compreendido entre eles reto ou obtuso. Os dois triângulos são sempre semelhantes. ntretanto, quando este ângulo é agudo, os triângulos podem não ser semelhantes. SISTM NGLO NSINO Treinamento para Olimpíadas de Matemática 009

4 roposição 0 TORM UNMNTL (RLL UM LO O TRIÂNGULO) // Se uma reta é traçada paralelamente a um lado de um triângulo, de modo que intercepte o lado em e o lado em, com, então ela determina um triângulo semelhante ao primeiro triângulo e como conseqüência temos: = = xemplo: Qual será o comprimento de uma ponte que vai ser construída sobre um rio, nas condições da figura abaixo? 0 m 9 m x 8 m Sendo 0 9 //, temos que. aí =, ou ainda, = 0 + x 7 onde obtém-se x = 0. ortanto, a ponte deverá ter 0m de comprimento. Nota: Sendo //, a solução deste problema teorema de Tales, seria obtida da igualdade: 9 0 =. onde obteríamos =, e portanto x = 0. 8 x roposição TORM ISSTRIZ INTRN é um ponto interno do lado. é bissetriz interna relativa ao vértice se, e somente se, =. SISTM NGLO NSINO 4 Treinamento para Olimpíadas de Matemática 009

5 roposição OTÊNI UM ONTO M RLÇÃO UM IRUNRÊNI Se e são duas cordas de um círculo que concorrem em (ou seus prolongamentos), então =. Reciprocamente Quatro pontos,,, pertencem a circunferência de um círculo se, =, onde é a intersecção das retas e. Se é um ponto externo a um círculo e T,,, e são pontos pertencentes a circunferência deste círculo tais que T é uma reta tangente e e duas secantes ao círculo quaisquer, então T = = Reciprocamente Se três pontos,, são colineares com não entre os pontos e, e T um ponto não pertencente a reta tais que T =, então T é tangente a circunferência T. O T m lasse. (OLIMÍ ITLIN) é um paralelogramo, M é o ponto médio de, = 65, e M = 0. O maior valor inteiro possível para o comprimento de, é igual a: d) 4 e) 0 M. (OLIMÍ MRIN) é um quadrado de lado l. e Q são pontos sobre os lados e respectivamente, tais que Q = 7º e Q + = l. Se α e β, são medidas em graus, dos ângulos e Q respectivamente, então α + β é igual a: 47º 5º 60º d) 6º e) 90º 7º β. (OLIMÍ OLOMIN) Na figura abaixo é um triângulo retângulo. Inscrito neste triângulo temos o retângulo HIJ de altura h. α Q H I G M L J K SISTM NGLO NSINO 5 Treinamento para Olimpíadas de Matemática 009

6 Se G e JKLM são quadrados de lados a e b respectivamente, construídos segundo a figura dada, podemos afirmar que: ( a + h = d) h = (a + ( a + h = e) h = (a + h = a + b 4. (OLIMÍ HILN) Num triângulo, é ponto médio do lado e ponto do lado tal que =. razão é igual a: d) e) 5. (OLIMÍ ORTUGUS) No trapézio, os lados e são paralelos e medem cm e 6cm, respectivamente. s diagonais Q do trapézio intersectam-se em. reta paralela a que passa por intersecta os lados e em e Q, respectivamente. Qual é o comprimento, em cm, do segmento Q?,5,5 d) 4 e) 4,5 6. (OLIMÍ MRIN) No triângulo, é bissetriz do ângulo, = = 6, = e = x, conforme figura ao lado. Nestas condições, x é igual a: 4 5 d) 6 e) 7. (OLIMÍ ORTUGUS) No quadrado o lado, de comprimento m, está dividido em três segmentos congruentes,, e. Os segmentos e intersectam-se em H. Qual é a área, em m, do triângulo H? 6 d) 54 4 e) (OLIMÍ MXIN) Seja um triângulo retângulo, com ângulo reto, em e seja H o ponto de intersecção do lado com a altura relativa ao vértice. 6 6 x r H r SISTM NGLO NSINO 6 Treinamento para Olimpíadas de Matemática 009

7 enominando por r, r e r os raios das circunferências inscritas nos triângulos, H e H respectivamente, podemos afirmar que: r = r + r d) r = r + r r + r r = e) r = r + r r r r + = m. (OM) Sejam a, b e c números reais positivos cuja soma é. Se a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo, podemos concluir que d) e) asa 0 a b e 0 b c e 0 c a a e b e c a + b e b + c e c + a a e b e c a e b e c. Seja triângulo não isósceles de lados inteiros medindo, em cm, 4, 8 e x. Se S é a soma de todos os valores possíveis de x, então podemos afirmar que S é igual a: 56 d) e) (OM) Na figura ao lado;, e são pontos colineares. e são triângulos retângulos com ângulo reto e respectivamente. Se = 75, = 45, = e = 8, então x + y é igual a: d) e) x y 4. (OLIMÍ SINGUR) Na figura abaixo, é um triângulo e um de seus pontos internos. Se = 8, = +, = 0 e = 60, então é igual a d) 7 e) SISTM NGLO NSINO 7 Treinamento para Olimpíadas de Matemática 009

8 5. (OM) No triângulo, M é o ponto médio do lado, é bissetriz do ângulo, e α =. Se os lados e medem 6 e 0 respectivamente, M mede: sen α 6 0 d) senα e) sen α M 6. (OLIMÍ RUN) Seja um triângulo, com a =, b = e c =. Se um ponto qualquer, no interior deste triângulo, tal que x =, y =, z =, então podemos afirmar: a + b + c x + y + z a + b + c x + y + z x a + b+ c d) x + y a + b + c e) a + b + c ( x + y + z ) 7. (OM) O triângulo pode ser obtido pela rotação do triângulo de 90 no sentido anti-horário ao redor de, conforme mostrado no desenho abaixo. odemos afirmar que α é igual a: d) 45 e) 55 α (OLIMÍ SNHOL) é um quadrado de lado. e são pontos sobre os lados e respectivamente, distintos dos vértices do quadrado e tais que: = 45. ntão, o perímetro do triângulo, é igual a: 5 d) e) 9. (OLIMÍ RGIONL MXIN) Na figura, é um triângulo equilátero de lado e a reta é paralela a reta. Sabendo que Q = QR = RS, então o comprimento do segmento S, é igual a 4 Q 5 R d) e) S SISTM NGLO NSINO 8 Treinamento para Olimpíadas de Matemática 009

9 0. (OLIMÍ RUSS) través de um ponto no interior de um triângulo, três retas paralelas aos lados do triângulo são traçadas. las dividem os lados em segmentos de comprimentos a, a, a, b, b, b, c, c, c, como mostra-se na figura abaixo. a b a b a b c c c Nestas condições, assinale a alternativa correta: a b c = a b c = a b c d) a b c = a b c = a b c a b c = a b c = a b c e) a b c = a b c = a b c a b c = a b c = a b c. (OM) Na figura a seguir, é um triângulo qualquer e e são triângulos equiláteros. Se e G são os pontos médios de e, respectivamente, a razão é: G d) G e) epende das medidas dos lados de.. (OM) Uma mesa de bilhar tem dimensões de metros por 6 metros e tem caçapas nos seus quatro cantos, Q, R e S. Quando uma bola bate na borda da mesa, sua trajetória forma um ângulo igual ao que a trajetória anterior formava. R Q S Uma bola, inicialmente a metro da caçapa, é batida do lado S em direção ao lado Q, como mostra a figura. quantos metros de a bola acerta o lado Q se a bola cai na caçapa S após duas batidas na borda da mesa? d) 6 e) SISTM NGLO NSINO 9 Treinamento para Olimpíadas de Matemática 009

10 . (OM) Na figura a seguir, o pentágono regular e o triângulo G estão inscritos na circunferência 0, e M é ponto médio de. G α H I M 0 ara qual valor de α, em graus, os triângulos G e HIG são semelhantes? 5 d) 45 0 e) (OLIMÍ RNS) é um quadrado de lado l. ado que = x l, = y l, = e = a. O valor de x + y em função de a é y a d) a a e) a a x 5. (OM) Na figura, e são triângulos isósceles ( = = = ), os ângulos Â e ˆ medem 6 e = cm. Nestas condições podemos afirmar que a medida, em graus, do ângulo ˆ e, em cm, do segmento, são respectivamente 0 e 45 e 6 e d) 6 e e) 60 e 6. (TRINMNTO-OM) figura mostra um retângulo KGST e um triângulo KGR. Os ângulos KRT e RGS são congruentes. T R S Se TR = 6 e RS =, qual é a área do triângulo KGR? 6 8 d) 8 e) 4 K G SISTM NGLO NSINO 0 Treinamento para Olimpíadas de Matemática 009

11 7. Se é um ponto interno a um triângulo e pertence aos segmentos,, conforme figura, então podemos afirmar que: = d) = e) = = = 8. (OLIMÍ RGNTIN) Na figura abaixo, é um triângulo retângulo em. =, é um ponto do lado tal que = e =. Se α e β, são medidas em graus, dos ângulos e respectivamente, então α + β é igual a: α β 0º d) 75º 45º e) 90º 60º 9. (Ç TLNTOS INTRNIONL) m um triângulo, = 6, = e =0º. bissetriz interna relativa ao vértice encontra o lado em. ntão, = d) e) SISTM NGLO NSINO oordenação Geral: Nicolau Marmo; oordenação do TOM: Marco ntônio Gabriades; Supervisão de onvênios: Helena Serebrinic; Nível : ntonio arlos ROSSO Junior, GLNN lbert Jacques Van mson, Luís ntonio ON lonso, RORTO Miguel l Jamal; rojeto Gráfico, rte e ditoração letrônica: Gráfica e ditora nglo Ltda; SISTM NGLO NSINO Treinamento para Olimpíadas de Matemática 009