GAD = 180º 75º 60º = 45º

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1 009 Treinamento para Olimpíadas de Matemática NÍVL 3 Resoluções ULS 4 a 6 m lasse. omo e são triângulos eqüiláteros, cada um de seus ângulos internos mede 60º. No triângulo G temos G = 80º 75º 60º = 45º e G = 80º 65º 60º = 55º Logo, G = 80º 45º 55º = 800. Portanto, no triângulo GH, temos + 80º + 60º = 80º, ou seja, = 40º. Resposta:. Seja medida, em graus, do ângulo. esde que =, o triângulo é isósceles de base ; logo = =, e daí, + 36º = 80º, ou seja, = 7º. esde que =, o triângulo é isósceles de base ; logo = = = 7º, e então 7º + = 80º, ou seja, = 36º. Nestas condições, = = 7º 36º = 36º. ssim, = = 36º. onsequentemente, o triângulo é isósceles de base, e portanto = =. Resposta: 3. Sejam, e β, a medida em graus, dos ângulos e respectivamente. esde que os triângulos, e são isósceles de bases, e, respectivamente, segue-se de cada um destes triângulos, que: = = 48º; = = ; e = = β. 48º 48º β β Nestas condições, os ângulos, e, internos do triângulo, são dados por: = + = β (ângulo eterno do ); = + = (ângulo eterno do ); = + = 96º (ângulo eterno do ). aí, + β + 96º = 80º, donde segue + β = 4º. Portanto, = + β = 4º. Resposta: β SISTM NGLO NSINO Treinamento para Olimpíadas de Matemática 009

2 4. esde que = = 60º ( eqüilátero) e = = 90º ( quadrado), tem-se: = = 90º 60º = 30º e = = 90º 60º = 30º. Sendo = 60º ( eqüilátero), = + = 30º + 60º = 90º. omo = = =, então os triângulos e são isósceles de bases e respectivamente, e portanto: 80º 80º 30º 80º 80º 90º = = = 75º e = = = 45º Portanto, desde que = 60º ( eqüilátero), + + = 75º + 60º + 45º = 80º. onde conclui-se que os pontos, e são colineares. Resposta: 5. Note que os triângulos PT,,, e PQ são todos isósceles. omo STP = 08, PT = PT = 7. ssim, temos que TP = 36 e = = 8. lém disso, = 44 e = 66. omo QP = 6, temos que QP = 7 e = 57. Logo, Q = 74. Resposta: 6. Usando sucessivamente a propriedade entre o ângulo central e inscrito, em uma circunferência, temos: = G = I= I = 80º. Portanto, I = 0º Resposta: 7. esde que é a medida do lado de um heágono regular inscrito em λ, então a medida do menor arco é 360º igual a, ou seja, 60º. 6 esde que é a medida do lado de um eneágono regular inscrito em λ, então a medida do menor arco é 360º igual a, ou seja, 40º; consequentemente = 0º. 9 90º esde que M é ponto médio do arco, MN = M = = 45º. Nestas condições, de =, resulta que a medida do menor arco = medida do menor arco = 40º, e portanto = = 0º energam a mesma corda) 60º + 40º e MP = M = = = 50º (energam a mesma corda ). onsequentemente, = = 40º 80º 60º 40º 40º = = 0º. ( é diâmetro de λ) Por outro lado, MP = M = M + + = 45º + 0º + 40º = 05º e MN = N = β (o.p.v). inalmente, com os resultados encontrados acima, conclui-se: = = = 4, pois = = = 0º; = 80º ( M + MP) = 80º (50º + 05º) = 5º ( MP). β = 80º ( MN + MP) = 80º (45º + 50º) = 85º ( NM); γ = = 50º Resposta: SISTM NGLO NSINO Treinamento para Olimpíadas de Matemática 009

3 m asa. as paralelas traçadas aos bastões pelos pontos,,, e (ver figura) e da propriedade dos ângulos alternos e internos, resulta dos dados do enunciado a figura: r onde obtém-se = 39. Resposta:. (Solução Oficial) omo o triângulo é eqüilátero, o ângulo interno Â mede. Se G é paralelo a, então o ângulo entre G e é ou 80 = 0. Sendo o maior ângulo entre esses dois segmentos, = 0. Resposta: 3. Sejam TSM =, SKT = y, KLS = e KTS = β O triângulo KLM é isósceles porque tem dois lados iguais; conseqüentemente seus ângulos da base são medidas iguais, isto é, KLS = KMS =. nalogamente, o triângulo KST também é isósceles e portanto KST = KTS = β. a soma dos ângulos internos de um triângulo, temos: No triângulo STM: β = 80 = β No triângulo KLM: y = 80 y = 50. Logo, β + β +50 =80 β =5. Portanto, = 5. Resposta: 4. soma dos ângulos eternos do Pentágono Regular é 3. ssim, a medida, em graus, do ângulo eterno relativo ao vértice, é igual a, isto é, 7. onseqüentemente, a medida, em graus, do ângulo interno relativo a, 3 5 é igual a 80 7, isto é, = 08. esde que o triângulo P é eqüilátero, = P = P e P =. Nestas condições, temos no triângulo P, P = =, o que implica dizer que este triângulo é isósceles de base e como conseqüência P = P. Por outro lado, P = P = 08 = 48. Portanto, do triângulo isósceles P, obtemos 80 P 3 P = = = 66. Resposta: L S β K y β T 80 β M SISTM NGLO NSINO 3 Treinamento para Olimpíadas de Matemática 009

4 5. medida, em graus, do menor arco deste círculo é = 35 = 70. esde que é um de seus diâmetros, a medida, em graus, do arco é 80. Nestas condições, a medida, em graus, do arco é dada por: = = 0. medida do arco 0 O Portanto, = = = 55. Resposta: a intersecção dos dois quadrados, obtém-se o pentágono conveo (figura). Onde = = = 90 (vértices dos quadrados sobrepostos) = e = y (opostos pelo vértice). Por outro lado, a soma das medidas, em graus, dos ângulos internos do pentágono é 3 80, ou seja, 540. Nestas condições, temos + y + 90º + 90º + 90º = 540º. Portanto, + y = 70º. Resposta: 7. esde que = 30 e = 0, temos no triângulo, = 80, ou seja, = 40. Por outro lado, sendo //, então = = 40 (alternos e internos). esde que =, o triângulo é isósceles. Logo, = = 40. Portanto, da soma dos ângulos internos do triângulo, = 00. Resposta: 8. Sejam u, v e w medidas em graus. v I w u Sejam,,,,, e I pontos como indicados na figura ao lado. Nestas condições, decorre dos quadriláteros inscritíveis I, I e I (cíclicos): I = 80 u; I = 80 v e I = 80 w aí: 80 u + 80 v + 80 w = 3 Portanto, u + v + w = 80. Resposta: 9. Sejam e pontos sobre os segmentos e respectivamente, tais que: = = = esta construção e dos dados do enunciado, temos sucessivamente: O triângulo é isósceles de base. aí, = = = 30. [] O triângulo é eqüilátero. aí, = = = =. [] O triângulo é isósceles de base. aí, = = = = 30 [3] como mostra na figura a seguir. SISTM NGLO NSINO 4 Treinamento para Olimpíadas de Matemática 009

5 45 5 Por outro lado, desde que = 45, tem-se de []: = 30 e = 5 omo conseqüência deste resultado, [] e [3]: = + = 30 + = 90. é isósceles onde = = 5 e =. é isósceles onde = = 30 e =. 80 Nestas condições, o triângulo é isósceles e = = = 45. Portanto, = + = = 75. Resposta: o enunciado, tem-se no triângulo : Â + ˆ + Ĉ = Ĉ = 80 Ĉ = 40 [] Por outro lado, seja M simétrico de em relação a reta suporte de Q. omo Q = Q = 0, então M pertence ao segmento. Marcando este ponto sobre e ligando-o a Q e a por segmentos de reta obtém-se a figura: omo conseqüência desta simetria, resulta: = M, Q = QM [] e QM = Q = 0 [3] e [], segue-se que os triângulos: M e QM são isósceles. [4] esde que = = 0 e = Q + Q = = 0, conclui-se de [3]: = = M M ( 80 0 ) = 80. como conseqüência M = M = 0 80 = 40 [5] ssim, de [4], QM = QM = 80 0 =. Logo, o triângulo QM é eqüilátero, o que implica Q = QM = M [6] Portanto, de [], [5] e [6], conclui-se que QM = M = M. Nestas condições, o triângulo QM é isósceles e QM = 0 (medida do ângulo eterno relativo ao vértice M do triângulo QM), conseqüentemente = QM 0 Q = = 0. Resposta: 0 0 Q 0 M SISTM NGLO NSINO 5 Treinamento para Olimpíadas de Matemática 009

6 . esde que a soma dos ângulos eternos de um polígono é 3, ou seja, πrad e ˆ um dos ângulos internos do heptágono, ˆ π 5π = π = rad. Por outro lado, com respeito aos ângulos de vértice, ˆ π 7 7 = rad e ˆ + Xˆ + ˆ = π, conseqüentemente X ˆ π = ˆ π π = rad. Portanto, como X =, o X é 4 π X isósceles, então X ˆ π π π = = 4 3 = radianos. 8 Resposta: Y G X. (Solução Oficial) Temos 5 = , sendo o ângulo central do pentágono igual a 5 7 = 7. 5 O 7 O 80 Resposta: 3. Usando a propriedade do ângulo eterno, temos a figura Por outro lado, a soma dos ângulos eternos do triângulo é 3, conseqüentemente (80º 5) = 3, ou seja, = 8. Resposta: 4. omo a reta PQ é tangente à circunferência, os ângulos LNP e LMN são congruentes, ou seja, LMN = (onde é uma medida em graus). Sendo o triângulo LMN isósceles com LM = LN, os ângulos LNM e LMN são congruentes, e, portanto, MLN = 80 LNM LMN = 80. O ângulo LNP é eterno do triângulo LNR, logo LNP = NLR + LRN. ssim, = 80 + LRP. Portanto, LRP = Resposta: P L 80 N M R Q SISTM NGLO NSINO 6 Treinamento para Olimpíadas de Matemática 009

7 3 5. esde que o pentágono é regular, então cada um de seus ângulos eternos medem, em graus, = 7, 5 portanto cada um de seus ângulos internos medem, em graus, 80 7, ou seja, 08. Nestas condições, obtemos do enunciado a figura abaio P 66 4 o quadrilátero (conveo) P, P = 3, o que implica P = 6. Por outro lado, construindo uma circunferência λ, de centro e raio (figura), temos que o maior arco sobre esta circunferência λ mede 3 08, ou seja, P omo P = 5, segue-se que a medida do arco maior é o dobro da medida do ângulo P, o que implica dizer que P pertence a circunferência λ e portanto P = =. inda mais, como P =, conclui-se o triângulo P é eqüilátero e o triângulo P é isósceles de base P. stes resultados levam-nos a concluir que P = P = no P e P = 66 e P = 48 no P, e ainda, como conseqüência a construção da figura auiliar abaio P 4 gora, do triângulo eqüilátero P, tem-se que P =. omo, = (lados do pentágono regular), concluise que o triângulo P é isósceles de base P, portanto P = = inalmente, dos ângulos da figura acima, com vértice em P, podemos escrever: P = 3, donde conclui-se que P = 68. Resposta: SISTM NGLO NSINO 7 Treinamento para Olimpíadas de Matemática 009

8 6. os dados do enunciado podemos concluir que os triângulos e são isósceles de bases e respectivamente, então = y e =. y y Nestas condições, temos do vértice : = = = (80 y) Portanto, do triângulo, retângulo em, segue-se + [ (80 y)] = 90, o que implica + y = 70, ou melhor ainda, + y = 35. Resposta: 7. O ângulo é eterno do triângulo relativo ao vértice. omo = ( eqüilátero), segue-se que β + = + 46, donde obtém-se β = 4. Resposta: 8. Recordemos que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 3. ssim, dos quadriláteros da figura ao lado, obtidos ao ligar os vértices, dos ângulos de medidas Ê e ˆ, temos: Â + ˆ + Ê + ˆ = Ĉ + ˆ + Ê + ˆ = 3. Por outro lado, do vértice do ângulo de medida Ê, podemos escrever: Ê + Ê = 380 Ê, e de modo análogo para o vértice do ângulo de medida ˆ, temos ˆ + ˆ = 380 ˆ. inalmente, dos ângulos destes dois quadriláteros, segue-se que: 70 = Â + ˆ + Ĉ + ˆ + Ê + Ê + ˆ + ˆ = Â + ˆ + Ĉ + ˆ + 70 onde encontramos: Ê + ˆ = Â + ˆ + Ĉ + ˆ. Resposta: 9. afirmação que divide o ângulo é falsa, pois caso contrário teríamos = 45 e conseqüentemente = = 45 (determinam o mesmo arco ) o que implicaria o triângulo ser isósceles; contradizendo o enunciado, que diz que o triângulo é não isósceles. eio a cargo do leitor a verificação que as demais alternativas são verdadeiras. Resposta: 0. Sejam G = G =, = = β e G =. esde que é bissetriz, tem-se que = G, logo o triângulo G é isósceles de base G. Portanto, a medida do ângulo G, eterno a este triângulo, é. Raciocinando de modo análogo para a bissetriz, concluiremos que o triângulo é isósceles de base e que a medida do ângulo eterno deste triângulo é β (ver figura). β β β G Nestas condições resulta dos triângulos retângulos e G, = 90 β e G = 90. SISTM NGLO NSINO 8 Treinamento para Olimpíadas de Matemática 009

9 Portanto, dos ângulos agudos Â e Ĉ do triângulo retângulo, segue + G = 90 (90 β) + (90 ) = 90. β + = 45 conseqüentemente do vértice (ângulo reto) do triângulo, podemos escrever com os resultados obtidos anteriormente + β + = = 90 = 45. Resposta:. Seja λ uma circunferência, construída com centro em e raio. omo = =, pertence à λ. Nestas condições, a medida do arco maior é 3 80, isto é, 80, que corresponde ao dobro da medida do ângulo. λ Portanto, nestas condições, conclui-se que também pertence à λ conseqüentemente = = =. Resposta:. M Inicialmente, observemos que // ; pois ambos os segmentos são perpendiculares a. ntão, = = 8º (alternos e internos). enominando de M o ponto médio de, a mediana M do triângulo, retângulo em é a metade da hipotenusa, isto é, M = = M (figura). Nestas condições, o triângulo M é isósceles de base e M = M = = 8º; portanto M = 8º = 36º (ângulo eterno). Por outro lado, desde que = (enunciado) segue-se que = M =, isto é, M =, o que implica dizer que o triângulo M é isósceles de base M, e como conseqüência = M = M = 36º. Resposta: SISTM NGLO NSINO oordenação Geral: Nicolau Marmo; oordenação do TOM: Marco ntônio Gabriades; Supervisão de onvênios: Helena Serebrinic; Nível 3: ntonio arlos ROSSO Junior, GLNN lbert Jacques Van mson, Luís ntonio PON lonso, RORTO Miguel l Jamal; Projeto Gráfico, rte e ditoração letrônica: Gráfica e ditora nglo Ltda; SISTM NGLO NSINO 9 Treinamento para Olimpíadas de Matemática 009