Preparar o Exame Matemática A

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1 07. { {. 07. Como o polinómio tem coeficientes reais e é uma das suas raízes, então também é raiz de. Recorrendo à regra de Ruffini vem,. Utilizando a fórmula resolvente na equação, vem: ssim, as restantes raízes de são, e Fazendo z cis, com z 0 vem: z z z 4i z z 4cis cis cis 4cis cis 3 cis k, k 4 k, k 3 4 cis 3 cis( ) k, k k 8, k 8 Se 0 então z 0, mas z 0 Se então: z cis 8 para k 0, 3 z cis para k, 8 7 z cis para k e 8 z cis para k conjunto solução da equação 4z z z é cis, cis, cis, cis ssim e portanto o argumento positivo mínimo de é Tem-se. é um número real se o seu argumento for da forma. ssim: Como ] [, vem. Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta berta III - Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos Página

2 08.4. Fazendo, vem: { { { Se então é uma solução da equação. Se e substituindo por valores pertencentes ao conjunto { }, obtém-se as restantes soluções da equação, que são,,, e Tem-se ( ). imagem geométrica de ( ) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares se o seu argumento for da forma. ssim: Logo Perímetro: { } 0.3 Tem-se Por outro lado ) ( ( ) ) ssim: ( ) ( ) ( ) Portanto: ( ) i) ( ) ( Nota: Utilizando um raciocínio análogo mostrava-se que ) z z z R (z) Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta berta III - Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos Página

3 . Pela regra do paralelogramo tem-se, assim vem, além disso Portanto: Portanto. [ ]...3 a) Tem-se e portanto. não pertence ao intervalo ] ], pois ] [,. Portanto ( )..3 b) { { { { { Logo e... a), portanto, isto é e são números complexos simétricos.. b) h 4 h C Re(z) B ; [ ] 3. ;, logo é raiz cúbica de. s restantes raízes cúbicas de são e 3. { } Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta berta III - Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos Página 3

4 3.3 Tem-se ( ) ( ) imagem geométrica de pertence à bissetriz do segundo quadrante se o seu argumento for da forma. ssim: Como ] [, vem , com { }. s raízes cúbicas de são, e. 4.3 Fazendo, vem: ( ) { { { { s soluções da equação ( ) são e. 4.4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Portanto ( ) IR, I. 5. a) Recorrendo à regra de Ruffini vem: s soluções da equação são, e. Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta berta III - Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos Página 4

5 5. b) Na figura, e são as imagens geométricas de, e, respetivamente. 5. Tem-se, com IR, pois pertence ao primeiro quadrante e R. ssim e. representação do triângulo [ ] é: C b B C R (z) [ ] Re(z) [ ] b B Logo. Pelo teorema de Pitágoras vem e portanto [ ]. 6. { } ( ) ( ) 7. tendendo à regra do paralelogramo tem-se. 7. Tem-se ( ). número complexo ( se o seu argumento for da forma. ssim: ) é um imaginário puro Logo ponto é a imagem geométrica do número complexo 4 C 4 D B 4 4 Re(z) ( ) ( ) 8.. Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta berta III - Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos Página 5

6 8. a) Tem-se, portanto. amplitude do ângulo é. Logo o triângulo [ ] é equilátero porque a medida do comprimentos dos lados [ ] e [ ] é igual e o ângulo formado por eles é. perímetro do triângulo [ ] é. 8. b) Como tem-se que e são raízes sextas de um número complexo se a diferença entre os seus argumentos for da forma. ssim, e portanto a afirmação é verdadeira. 8.3 a) Escrevendo na forma trigonométrica vem, assim e. triângulo [ ] é isósceles, visto que, portanto. triângulo [ ] é retângulo em, portanto.. Sendo o ponto médio do segmento de reta [ ] e tendo em conta que, vem: [ ] 8.3 b) Tem-se que é a imagem geométrica de e. ssim uma condição que define o segmento de reta [ ] pode ser: ( ) ( ) e 9.3 é um argumento de, portanto, assim 9.4 Tem-se,, e, portanto,, e.. Portanto. Como ] [, então. C B E 3 D Re(z) área do trapézio [ ] é igual a. Pelo teorema de Pitágoras vem, portanto o perímetro do trapézio [ ] é igual a. 0. e ( rad). ssim: ( ) comprimento do arco é. Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta berta III - Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos Página 6

7 . ; { } { }. s raízes quartas de são,, e. [ ], assim.. ponto é a imagem geométrica de e o ponto é a imagem geométrica de, assim e ( ). Sendo o simétrico de em relação à reta, tem-se: ( ) ( ) ( ) Logo é a imagem geométrica de ( ). Como a reta é a mediatriz do segmento de reta [ ], então uma condição que define a região do plano de rgand colorido a encarnada (incluindo a fronteira) é: ( ).3 ) e. ssim e portanto não é inverso de. ( é inverso de, pois. e é um argumento de, portanto. ssim: ( ). Tem-se. Fazendo, vem:. solução da equação é..3 ; ( ) ; Im Im. Na figura é a imagem geométrica do número complexo. (z ( i)) π (z ( i)) π R (z) 3. Sejam a amplitude do ângulo e o ponto de interseção da reta com a reta que contém o ponto é é perpendicular a. Tem-se, e, assim: [ ] Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta berta III - Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos Página 7

8 3. Tem-se ( ). Pretende-se que R ( ) Im( ), isto é, que seja um imaginário puro, com o coeficiente da parte imaginária negativo. Logo o seu argumento tem de ser da forma. ssim: Logo. Como, vem. 3.3 a) [ [, então.. Como 3.3 b) ( ) ( ) ( ). ssim: ( ( ) ) 3.3 c) ; é raiz quarta de se, assim: { { { { { 3.3 d) a) { } { } s soluções da equação são 0, e. 4. b) Tem-se. Fazendo, vem: ( ) { { { Substituindo por valores pertencentes ao conjunto { } obtém-se as soluções da equação ( ), que são, e. Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta berta III - Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos Página 8

9 Preparar o Exame Matemática 4. c) ( ) Portanto a solução da equação é. 4.3 Na figura o ponto é a imagem geométrica de. s soluções da equação são as raízes quintas de 3, portanto o polígono é um pentágono regular centrado na origem em que um dos vértices pertence ao eixo real (na figura o ponto é a imagem geométrica de ) Im R Tem-se. Logo o perímetro do pentágono é. 5. { } { } s soluções da equação são,,,,, e. 5. Sejam e, com IR. 5. a). Logo R ( ) e portanto R ( ). 5. b) Tem-se que, logo, ssim ( ) ( ) 5. c) Tem-se que, ssim: R R R Im Im Como número complexo é real se a sua parte imaginária for nula, então R R R se e só se IR ou IR. Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta berta III - Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos Página 9

10 Preparar o Exame Matemática 5. d) Tem-se que e. ssim: Logo. Como vem e portanto Tem-se, assim: { R Im Im Im { { { { { 6. ( ) ( ) ) ( ) i) função cosseno é par e a função seno é ímpar, isto é, e, IR 6. a) ) i) 6. b) Tem-se que: ( ) Como, tem-se. ssim:. Como ] [então Portanto: 6. c). ( ). imagem geométrica de pertence à bissetriz dos ímpares se o seu argumento for da forma. ssim: Como ] [, vem. 7. a) 7. b) 7. a) ; ;. 7. b) Tem-se que [ ] [ ]. Seja o ponto de interseção da reta perpendicular a [ ] que contém o ponto, assim, tendo em conta que a amplitude do ângulo é e que, vem: [ ] [ ] Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta berta III - Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos Página 0

11 7. c) ;. 8.. número complexo é um imaginário puro se R Im, assim: Logo. 8. a) Para tem-se e. ssim: ( ) ( ) ( ) ( ) Logo o módulo é ( ) e o argumento mínimo positivo é. 8. b). Seja o módulo de, assim: ( ) ( ). 8. c). Fazendo, vem: ( ) { { { { Se então, que não é solução da equação em { }. Se e substituindo por valores pertencentes ao conjunto { }, obtém-se as soluções da equação, que são, e. Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta berta III - Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos Página

12 8.3 Para tem-se, portanto e. B R (z) C [ ]. Tem-se (também se podia determinar usando o teorema de Pitágoras), assim [ ]. 9. Tem-se, logo ( ), assim: ( ) Logo o número complexo é solução da condição pois e. 9. ( ) (z) π B R (z) (z) π 9.3 Na figura anterior o ponto é a imagem geométrica do número complexo e o ponto é a imagem geométrica do número complexo. ssim, outra condição que define pode ser: R ( ) Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta berta III - Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos Página

13 30. R (z) (z) π Comprimento da linha: 30.. Seja o argumento positivo mínimo de. Tem-se e. ssim, como a função é crescente em ] [ e como, então e portanto, pois. Logo Seja o argumento de.. Logo:. Tem-se que, pois e que. ssim, como ( ) a imagem geométrica de pertence ao quarto quadrante a) s raízes quartas de um número complexo dividem uma circunferência centrada na origem em quatro arcos de amplitude. Portanto, a partir da imagem geométrica de uma dessas raízes, podemos obter as restantes através de rotações centradas na origem e amplitude. Logo pode-se obter as restantes raízes quartas de através de multiplicações sucessivas por. ssim as restantes raízes quartas de são, e. utra resolução: Seja um argumento de. Tem-se, portanto. Sejam, e as restantes raízes quartas de, assim: ; ; b) Na figura,,, e são as imagens geométricas das raízes quartas de. B R (z) D C Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta berta III - Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos Página 3

14 [ ] ( ) ( )., logo [ ]. 3. é raiz quadrada de, então { { { Logo. é a outra raiz quadrada de, portanto é simétrico de, tem-se então. 3. a) Tem-se e sendo um argumento de, vem. Como, o triângulo [ ] é isósceles e visto que então o segmento de reta [ ] é uma altura do triângulo e portanto o ângulo é reto. B π R (z) C Tem-se, portanto, assim: [ ] Portanto. 3. b) Tem-se, logo. ssim:, { } Portanto, as raízes sextas de são,,,, e. Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta berta III - Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos Página 4

15 3.3 Seja : Im( ) R Im R Im( ) Na figura o ponto é a imagem geométrica do número complexo e é a imagem geométrica do número complexo. y B R (z) y z z z 3. ( ) Logo Im ( ) R e portanto a imagem geométrica de pertence à bissetriz dos quadrantes pares. 3. Tem-se que. e são raízes cúbicas do mesmo número complexo se ssim: Então. Para vem e ] [, para vem e ] [ e para vem e ] [. Logo, para qualquer valor inteiro de não existe ] [ tal que e portanto e não podem ser raízes cúbicas do mesmo número complexo. 3.3 a) Como e são raízes consecutivas de índice doze do mesmo número complexo vem: ssim ( ) e ( ). Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta berta III - Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos Página 5

16 3.3 b) ( ) ( ) ( ) 3.3 c) e representa a distância entre as imagens geométricas de e e. Na figura o ponto é a imagem geométrica de e ponto é a imagem geométrica de. (z) (z ) (z) π (z) π B R (z) 33. Seja o ponto de interseção da reta com o eixo imaginário. Como, vem e portanto, como [ ] é um losango tem-se. ssim: Como o ponto pertence ao eixo imaginário e é a imagem geométrica de então. utra resolução: Tem-se e. Seja o número complexo cuja imagem geométrica é o ponto. Pela regra do paralelogramo vem, portanto: Como os pontos e pertencem ao eixo imaginário e, vem. 33. Tem-se. Como ] [, vem. 33.3, com { }. Portanto, as raízes quintas de são,,, e Tem-se que, portanto, e. ssim: Como, vem. Fazendo, tem-se:. Como, então. ssim:, visto que ] [. Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta berta III - Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos Página 6

17 Conclui-se então que e. Portanto ( ) e como, vem ( ) a) Como, vem. ssim,, pois, portanto: Tem-se que. ( ) ( ) ( ) ( ) Logo e são raízes sextas de que é um número real b) ( ). Seja : Im Esta condição define o exterior de uma circunferência centrada no ponto de coordenadas ( ) e raio (incluindo a fronteira), portanto R Na figura o ponto ( ) é a imagem geométrica de e o ponto ( ) é a imagem geométrica de. D R (z) y Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta berta III - Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos Página 7

18 Tem-se que w w w cis cis( ) z cis( ) cis( ) z w w w w cis( ) cis w cos( ) isen( ) cos( ) isen( ) cos( ) isen( ) cos( ) isen( ) cos( ) isen( ) cos( ) isen( ) isen( ) cos cos sen sen ssim, z isen( ), logo é um imaginário puro. z z isen 0 sen sen sen sen z,0 sen Seja w x yi, com x e y números reais. Como Rew Imw, vem x y x y x y ssim: w 3 i i w ww (3 i) i wi i wi w i w w w 3i wi wi w w w 3i wi wi w w w 3i wi wi w w w 3i w wi w wxyi x iy x iy 3i x iy x iy i x iy 3 x iy i x iy x iy i 3 x y i x iy x y i Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta berta III - Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos Página 8

19 x y 3i x iy x i y i x y x 3i iy x i y i 0 x y x 3 y x y i 0 x y x 0 x y x 3 y x y 0 3 y x y 3 y x Como x y x y, vem: se x y então 3 x x 3 condição impossível se x y então 3 y y y y. Portanto, x ssim, w i cis 4. Logo, e (,0 4 4 ) Se w pertence à região do plano definida pela condição z i, então: w w w w w i i i Tem-se: sen w icos cos isen 6 6 w 6 6 w w cis cos isen cis cos isen cis Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta berta III - Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos Página 9

20 cis cis cis cis Como cis 3 0 k, k. é a raiz quarta um número real positivo, o argumento de cis 3 4 tem de ser da forma 4 4 Tem-se, cis cis 4 cis Logo: k, 3 4 k 4 k, 3 k k, 3 4 k k, k 3 Logo, como,0, vem ( k ). 6 w cis w cis cis cis cos isen i i w Tem-se, z w cis 4 cis cis i. cis a) Para n e n 3 tem-se: z z z z z z i z z i z i z i z z i n n 3 n n 3 n 3 3 n 3 0 n n z i z i z 0 z i 0 z i z z i 0 C z i C z i C z i C z i z 0 3 z i z 3iz 3z i z 3 0 z i 3iz 3z i 0 Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta berta III - Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos Página 0

21 i i i 3 9 i z i z z i z 3 6i i z i z z i z 6i 6i 3 3i i 3 3i i 3 3i 3 3i z i z z z i z z 6i i 6i i z i z i z i 6 6 Portanto, na forma trigonométrica, as soluções da equação são cis, 3 3 cis e cis * * Para escrever um argumento de ssim 3 6 i na forma trigonométrica, vem: i i 3 3 i cis , tem-se tg º quadrante, pelo que Sendo * Para escrever Sendo um argumento de. ssim i na forma trigonométrica, vem: i i, tem-se tg i cis e.º quadrante, pelo que z z z i b) z z z i zi z i z i 4 z i z i 5 z i 0 z i 0 0 z i 4 z i 5 z i 0 z i Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta berta III - Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos Página

22 Fazendo w z i, vem: w 4w 0 w w w w s soluções da equação são i e w w z i z i z i z i 5 wzi i. c) Tem-se que 0 4 n 0 4 i i i i. ssim: 04n z i 3i z 3i z i z 3i i z z 0 z z z iz 3i i z z i 5i z 5i 5i i z z z z i i i i 5i 5i 4 6i i z z z z z 3i z solução da equação é 3i. d) z z z i cis 4. Fazendo w z i 4, vem: k w w cis0 w cis0 w cis 4, k 0,,,3 Se k 0 w cis0 ; se k w cis i ; se k w cis ; se 3 k 3 w cis i Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta berta III - Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos Página

23 Portanto, como w z i 4, vem: z i 4 z i 4 i z i 4 z i 4 i 3 4 i 5 4 i z z z z i i i i 3 i 4 i i 5 i 4 i i z z z z i i i i i i i i 3 3i 3 5i 5 5i 5 3i z z z z z i z i z i z i s soluções da equação são 3 3 i, 3 5 i, 5 5 i e 5 3 i. Proposta de Resolução dos Exercícios Globais de Resposta berta III - Preparar o Exame Trigonometria e Números Complexos Página 3