MATEMÁTICA - 3o ciclo Isometrias (8 o ano) Propostas de resolução

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1 MTMÁT - 3o ciclo sometrias (8 o ano) Propostas de resolução xercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. Temos que: a reflexão do ponto relativamente ao eixo r é o ponto a translação do ponto associada ao vetor é o ponto r ssim, a imagem do ponto pela reflexão deslizante de eixo r e vetor, é o ponto Prova inal 3 o iclo 2017, Época especial 2. Temos que: a reflexão do ponto relativamente ao eixo é o ponto a translação do ponto associada ao vetor é o ponto ssim, a imagem do ponto pela reflexão deslizante de eixo e vetor, é o ponto Resposta: pção Prova inal 3 o iclo 2017, 2 a chamada 3. omo um hexágono regular tem os lados opostos paralelos e com o mesmo comprimento, então as diagonais [QS] e [P T ] também são paralelas e com o mesmo comprimento, pelo que: QS = P T U T assim, vem que: P + QS = P + P T = P u seja, a imagem do ponto P pelo translação associada ao vetor QS é o ponto T (como se pretende ilustrar na figura ao lado). P S Resposta: pção Q R Prova inal 3 o iclo 2017, 1 a chamada Página 1 de 11

2 4. omo a reflexão do ponto e eixo é o ponto a imagem do ponto pela translação associada ao vetor, ou seja, ao vetor, é o ponto então, a reflexão deslizante de eixo e vetor é: o ponto Prova inal 3 o iclo 2016, Época especial omo 1 = 3, então = 3 assim, temos que a imagem do ponto pela translação associada ao vetor 1, ou seja, ao vetor, é: 3 o ponto J K L 5.2. omo podemos observar que: + = + = K + = J + = Logo, o transformado do quadrado [ KJ] pela translação associada ao vetor é o quadrado [ ] Resposta: pção J K L Prova de ferição 8 o ano Página 2 de 11

3 6. omo  =  +  = = 120 (porque os triângulos e são equiláteros), a rotação de centro, que transforma o ponto no ponto tem amplitude 120 (no sentido negativo). Relativamente à rotação de centro no ponto, pela mesma razão a amplitude da rotação também tem amplitude de 120 omo o ponto é o ponto médio do segmento de reta [] a rotação de centro, que transforma o ponto no ponto tem amplitude 180 omo o triângulo [] também é equilátero, a rotação de centro, que transforma o ponto no ponto tem amplitude 60 Resposta: pção Prova inal 3 o iclo 2015, Época especial 7. translação associada ao vetor transforma o ponto no ponto, pelo que, da mesma forma, transforma o ponto no ponto Resposta: pção Prova inal 3 o iclo 2015, 1 a chamada 8. translação do ponto pelo vetor é o ponto Prova inal 3 o iclo 2014, 2 a chamada Página 3 de 11

4 9. s triângulos [] e [ ] são congruentes, porque =, [] é um lado comum, e os ângulos e são iguais (porque são ângulos alternos internos). ssim, temos que os lados [ ] e [] são lados correspondentes, e por isso = = 7 7 cm 7 cm Logo o raio da circunferência de centro em e que contém o ponto tem comprimento 7 cm. Prova inal 3 o iclo 2014, 1 a chamada 10. Uma rotação de 90 (no sentido positivo), de centro em, transforma o ponto no ponto Resposta: pção Teste ntermédio 9 o ano omo o ponto é uma reflexão do ponto relativamente ao eixo x0 tem a mesma abcissa e ordenada simétrica, ou seja, as coordenadas do ponto são (8, 6) y Relativamente ao triângulo [] temos que = = 12 e que =, e podemos determinar recorrendo ao Teorema de Pitágoras, considerando o triângulo retângulo [], em que é a projeção ortogonal do ponto no eixo x: 2 = = = = 100 = 100 = 10 > f g x assim, temos que o perímetro do triângulo [] é: P [] = + 2 = = = 32 6 Teste intermédio 9 o ano Página 4 de 11

5 y 12. onsiderando a rotação de cada ponto, podemos construir o triângulo o transformado do triângulo [] por meio da rotação de centro no ponto e amplitude 180 e verificar que é o triângulo representado na opção () Resposta: pção x Prova inal 3 o iclo 2012, 2 a chamada omo [ ] é um quadrado, uma rotação de 90, de centro no ponto transforma o ponto no c ponto 2 c Prova inal 3 o iclo , 1 a chamada Página 5 de 11

6 dentificando o vetor como o vetor associado à translação que transforma o ponto no ponto, + =, temos que N + = J + = V + = R Logo, o transformado do triângulo [N V ] pela translação associada ao vetor é o triângulo [JR] onsiderando os dois quadrados de lado J, o único que tem como outro vértice um dos pontos assinalados (representado na figura ao lado) é o quadrado com vértice no ponto W Resposta: pção J K L M P Q R N S T U W X V J K L M P Q R N S T U X V W Teste intermédio 8 o ano omo os ângulos internos de um hexágono regular têm 120 de amplitude, o transformado do ponto por uma rotação de centro em e amplitude 120 é o ponto M L K Traçando retas perpendiculares pelo ponto podemos observar que o ângulo é reto, e que o ângulo tem amplitude de 30, pelo que o ângulo tem amplitude de 120, ou seja, o transformado do ponto por uma rotação de centro em e amplitude 120 é o ponto J ssim, o transformado do segmento [] por uma rotação de centro em e amplitude 120 é o segmento [ ] xame Nacional 3 o iclo , Ép. especial 16. esenhando sobre o quadrado as duas diagonais e as duas perpendiculares aos lados pelos pontos médios podemos visualizar os 4 eixos de simetria do quadrado. Resposta: pção Teste ntermédio 9 o ano Página 6 de 11

7 17. omo o polígono 3 pode ser obtido como imagem do polígono 1 por meio da translação associada ao vetor, e temos que + = + = = 0 + = + = Temos que é o translação associada ao vetor + que transforma o polígono 1 no polígono 3 Resposta: pção Teste ntermédio 8 o ano esenhando sobre o retângulo as duas perpendiculares aos lados pelos pontos médios podemos visualizar os 2 eixos de simetria do retângulo (as diagonais não são eixos de simetria). Logo, o retângulo [] tem 2 eixos de simetria xame Nacional 3 o iclo 2010, 1 a chamada 19. omo os ângulos internos de um triângulo equilátero têm amplitude 60, uma rotação de de amplitude 240 corresponde a 4 ângulos internos de triângulos equiláteros (4 60 = 240 ). ssim, temos que o transformado do ponto pela rotação de centro no ponto e de amplitude 240 é o ponto (como se pode observar na figura ao lado). Teste ntermédio 9 o ano Página 7 de 11

8 20. s rotações de centro em e amplitudes 180 ou 180 transformam o quadrado [] no quadrado [ ], assim como a simetria axial de eixo transformado do quadrado [] simetria axial de eixo é o próprio quadrado [], porque a diagonal [] é um eixo de simetria do quadrado. Resposta: pção xame Nacional 3 o iclo 2009, 2 a chamada 21. omo [ ] é um octógono regular, pode ser dividido em 8 triângulos isósceles congruentes, cujos ângulos menores têm amplitude = 45 ssim, como 135 = 3, o transformado do triângulo [] 45 pela rotação de centro no ponto e de amplitude 135 é o triângulo [ ] (como se pode observar na figura ao lado). Resposta: pção xame Nacional 3 o iclo 2009, 1 a chamada 22. onsiderando a figura e a translação da mesma associada, ao vetor v (representada na figura ao lado a sombreado) podemos observar a representação conjunta das duas, ou seja, a figura da primeira opção. Resposta: pção v v Teste ntermédio 9 o ano omo se pretende que o pentágono sombreado seja a imagem do pentágono [] obtida por meio de uma rotação de centro no ponto, o ponto permanece inalterado, pelo que as opções () e () não estão corretas. Traçando semicircunferências de centro no ponto (como na figura ao lado) podemos verificar que na opção () o pentágono sombreado é a imagem do pentágono [] obtida por meio de uma rotação de centro no ponto e amplitude 180 Resposta: pção Teste ntermédio 9 o ano Página 8 de 11

9 24. esenhando sobre o quadrado as duas diagonais e as duas perpendiculares aos lados pelos pontos médios podemos visualizar todos os eixos de simetria do quadrado. Logo, a figura tem quatro eixos de simetria. xame Nacional 3 o iclo 2007, 2 a chamada 25. onstruindo o transformado da figura da esquerda por meio de uma rotação, com centro no ponto de, amplitude 90 (como na figura ao lado), podemos observar que corresponde à figura da direita na opção (). Resposta: pção xame Nacional 3 o iclo 2006, 2 a chamada 26. s opções (), () e () representam translações da figura, segundo um vetor com direção perpendicular à reta r Resposta: pção xame Nacional 3 o iclo 2006, 1 a chamada y 27. onsiderando o transformado do segmento de reta [] obtido por meio de uma rotação de centro em e amplitude 90, obtemos o segmento de reta [ ] paralelo ao eixo dos xx (como se pode observar na figura ao lado). Resposta: pção x xame Nacional 3 o iclo 2005, 2 a chamada Página 9 de 11

10 28. omo [ J] é um decágono regular, pode ser dividido em 10 triângulos isósceles congruentes, cujos ângulos menores têm amplitude = 36 ssim, como 144 = 4, o transformado do ponto pela rotação de 36 centro em e de amplitude 144 é o ponto J (como se pode observar na figura ao lado). xame Nacional 3 o iclo 2005, 1 a chamada 29. o fim de cada volta completa cada cadeira volta à sua posição inicial, pelo que ao fim de duas voltas completas a cadeira da Rita está novamente na posição ssim, após completar os restantes Rita estará na posição assinalada com a 3 4 de volta a cadeira da J letra J K L Prova de ferição 2004 () () 30. Podemos identificar eixos de simetria nas figuras das opções (), () e () (assinalados na figura ao lado), pelo que a figura que não tem qualquer eixos de simetria é a figura da opção (). Resposta: pção () () Prova de ferição 2004 Página 10 de 11

11 31. friso da opção () pode ser obtido por translações sucessivas do azulejo após uma rotação de 90 no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. friso da opção () pode ser obtido por translações sucessivas do azulejo após uma rotação de 90 no sentido dos ponteiros do relógio. friso da opção () pode ser obtido por translações sucessivas do azulejo após uma rotação de 180. Pelo que o friso da opção () é o único que não pode ser construído com 3 destes azulejos. Resposta: pção Prova de ferição 2003 Página 11 de 11

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