Ortocentro, Reta de Euler e a Circunferência dos 9 pontos

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Ana Luísa Tuschinski Igrejas
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1 Prof. ícero Thiago - cicerothmg@gmail.com rtocentro, Reta de uler e a ircunferência dos 9 pontos Propriedade 1. Seja o centro da circunferência circunscrita ao triângulo acutângulo e seja a projeção de sobre então =. β β Seja um diâmetro. lém disso, =. Portanto, =. Propriedade 2. Seja um triângulo com ortocentro. Seja a o simétrico de em relação ao lado e seja a o simétrico de em relação ao ponto médio de. efina b, b, c e c analogamente. ntão a, a, b, b, c e c pertencem à circunferência circunscrita ao triângulo e a, b e c são diâmetros. Seja a a intersecção da altura com a circunferência circunscrita ao triângulo. Temos que a = a =. Portanto, a pelo caso L e, com isso, = a. lém disso, temos que = e = a, em que a é o simétrico de com relação ao ponto médio de, fazendo com que o quadrilátero a seja um paralelogramo e, com isso, = a. as = = 180. Portanto, o quadrilátero a é inscritível, ou seja, pertence à circunferência circunscrita ao triângulo. gora, é ponto médio de a, é ponto médio de a a e é base média do triângulo a a e, com isso, a a. Portanto, a a a e, dessa forma, a é um diâmetro. 1

2 Prof. ícero Thiago - cicerothmg@gmail.com a a Propriedade 3. ortocentro, o baricentro e o circuncentro de um triângulo, não equilátero, são colineares. reta determinada por esses pontos é chamada de Reta de uler. Sejam e N os pontos médios de e, respectivamente. ntão, N e N=. teorema 1 da 2 aula 4 garante que =. omo é o circuncentro então = e, com isso, =. quadrilátero N é inscritível então = N = N e N= 180. lém disso, o quadrilátero também é inscritível e, com isso, = 180. omo = concluímos que o triângulo é semelhante ao triângulo N e, com isso, N = = 2. Temos que G G= G pois é paralelo a e, como G é o baricentro, = 2. Portanto, o triângulo G é G semelhante ao triângulo G e, com isso, G = G provando então que, G e estão alinhados e G= 2G. N G Propriedade 4. s pés das alturas de um triângulo, os pontos médios do três lados e os pontos médios dos segmentos que ligam os vértices ao ortocentro estão sobre uma circunferência chamada ircunferência dos 2

3 Prof. ícero Thiago - cicerothmg@gmail.com 9 pontos. Queremos provar que, L, P,,,, R, S e T são concíclicos. É suficiente provar que R e estão sobre a circunferência circunscrita ao triângulo LP, pois o restante é análogo. onsidere a circunferência Γ de diâmetro R. É fácil ver que pertence aγ. Por outro lado, R L, L e, o que implica que R L= 90. Portanto, L (e por simetria P ) pertence aγ. R P L N S T Propriedade 5. centro da circunferência dos 9 pontos é o ponto médio do segmento formado pelo ortocentro e pelo circuncentro. Seja R um diâmetro da circunferência dos 9 pontos e seja N a interseção de R e. omo R é ponto médio de então R =. lém disso,. Portanto, R N N, R N = N e N= N. 3

4 Prof. ícero Thiago - cicerothmg@gmail.com R P L S N G T Propriedade 6. Seja um triângulo e seja Γ sua circunferência circunscrita. Prove que as circunferências circunscritas aos triângulos, e possuem o mesmo raio deγ. Seja R a medida do raio da circunferência circunscrita ao triângulo e R 1 o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. plicando lei dos senos nos triângulos e temos que: e sin = 2R, sin = 2R 1. as = = 180 e sin(180 )=sin. Portanto, 2R= 2R 1 R= R 1. 4

5 Prof. ícero Thiago - cicerothmg@gmail.com 1. (Putnam) Um retângulo tem lados = 11 e = 5. Um triângulo tem como ortocentro, como circuncentro, o ponto médio de e o pé da altura relativa ao vértice. etermine o comprimento de. 2. () Seja um triângulo e sejam, e pontos sobre os lados, e, respectivamente, tais que = e =. ostre que o ortocentro do triângulo coincide com o circuncentro do triângulo. 3. (Romênia) Seja um triângulo e seja um ponto em seu interior tal que = e =. Prove que é o ortocentro do triângulo. 4. (Teste I rasil) Seja um quadrilátero inscritível e, N os ortocentros dos triângulos e, respectivamente. Prove que N é um paralelogramo. 5. (alcânica) Seja um quadrilátero inscritível e sejam,, e os ortocentros dos triângulos,, e, respectivamente. Prove que os quadriláteros e são congruentes. 5

6 Prof. ícero Thiago - cicerothmg@gmail.com 6. (alcânica) Seja um triângulo acutângulo e sejam 1, 1 e 1 os pés das alturas. circunferência inscrita no triângulo tangencia seus lados nos pontos 2, 2 e 2. Prove que as retas de uler dos triângulos e coincidem. 7. (one Sul) Sejam o ortocentro do triângulo acutângulo e o ponto médio do lado. Seja X o ponto em que a reta intersecta o arco (que não contém ) da circunferência circunscrita a. Seja Y o ponto de intersecção da reta com a circunferência, distinto de. emonstre que X Y=. 8. (Turquia) Seja um triângulo tal que é seu circuncentro e seu ortocentro. Sejam 1, 1 e 1 os pontos médios dos lados, e, respectivamente. s retas 1, 1 e 1 intersectam a circunferência circunscrita do triângulo nos pontos 0, 0 e 0, respectvamente. Prove que, e 0 são colineares se 0 é o ortocentro do triângulo Seja um triângulo e sejam o ortocentro e o o circuncentro do triângulo. Se = = e = determine a medida do ângulo. 10. (IT) m um triângulo de vértices, e, a altura, a bissetriz e a mediana, relativamente ao vértice, dividem o ângulo em quatro ângulos iguais. Se l é a medida do lado oposto ao vértice, calcule: (a) medida da mediana em função de l. (b) s ângulos, e. 11. (Rússia) Seja um triângulo acutângulo tal que suas alturas 1 e 1 se intersectam em, é seu circuncentro e 0 é o ponto médio do lado. reta intersecta o lado em P, enquanto as retas e 1 1 se intersectam em Q. Prove que as retas 0 e PQ são paralelas. 12. () Pode - se provar que num triângulo, o triângulo com, e sobre os lados, e, respectivamente com perímetro mínimo é obtido quando, e são as interseções das alturas com os lados. Tal triângulo é o triângulo órtico de. Se = 13, = 14 e = 15, o perímetro de seu triângulo órtico pode ser escrito na forma a, com a e b inteiros primos entre si. b etermine o valor de a+ b. 13. (hina Western) Seja um quadrilátero inscrito em uma semicircunferência com diâmetro e centro. Retas tangentes à semicircunferência nos pontos e se intersectam em e as diagonais de se intersectam em. Seja a intersecção de e. Prove que os pontos,, e são concíclicos. 14. () Seja um triângulo acutângulo e seu ortocentro. Sejam, N e R os pontos médios, e, respectivamente. etermine a medida do ângulo N R se o ângulo mede (Itália) Um triângulo acutângulo está inscrito em um círculo de centro. Seja a interseção da bissetriz de com e suponha que a perpendicular a por, corta a reta em um ponto P, interior a. ostre que = P. 6

7 Prof. ícero Thiago - cicerothmg@gmail.com 16. (USTS) Sejaωuma circunferência dada. Pontos, e estão sobreωde tal forma que o triângulo é acutângulo. Pontos X, Y e Z estão também sobreωde tal forma que X em, Y em e Z em. Prove que o valor de não depende da escolha de, e. X + Y + Z 17. Seja um triângulo acutângulo, sejam e os pontos de intersecção da circunferência inscrita com os lados e, respectivamente, e sejam L e os pés das alturas relativas aos vértices e. Prove que o incentro I do triângulo L coincide com o ortocentro do triângulo. 18. (Sharygin) Uma reta passando pelo vértice do triângulo e paralela a intersecta a circunferência circunscrita de pela segunda vez no ponto 1. s pontos 1 e 1 são definidos de maneira similar. Prove que as perpendiculares baixadas a partir de 1, 1 e 1 sobre, e são concorrentes. 19. (Sharygin) Seja 1 e 1 as alturas do triângulo acutângulo e 0 o ponto médio de. s retas 0 1 e 0 1 intersectam uma reta passando por e paralela a em P e Q. Prove que o incentro do triângulo P 0 Q está sobre a altura do triângulo. 20. (Sharygin) Sejam a e b as alturas do triângulo. s pontos P e Q são as projeções de a sobre e. Prove que a reta PQ bissecta o segmento a b. 21. Seja o ortocentro de um triângulo tal que = p, = q e = r. Prove que a q r+ b r p+ c p q= a b c. 22. (Rússia) Seja um triângulo e I o seu incentro. Seja 1 o ponto médio de e a o ponto médio do arco que contém o vértice. Prove que I 1 = I a. 23. (Sérvia) Sejam, N e P os pontos médios dos lados, e respctivamente, e o circuncentro de um triângulo acutângulo. s círculos circunscritos aos triângulos e N P se intersectam em pontos distintos X e Y no interior do triângulo. Prove que X = Y. 7

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