Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 16. Curso de Geometria - Nível 2. Pontos Notáveis 2: Incentro. Prof. Cícero Thiago

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1 Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível Prof. ícero Thiago ula 16 Pontos Notáveis : ncentro Teorema 1. Seja XOY umângulodadoep umpontoemseuinterior. Então, adistância de P a XO é igual à distância de P a YO se, e somente se, o ponto P pertence à bissetriz. X O P N Y Suponhamos inicialmente que o ponto P pertence à bissetriz. Então XOP = YOP. Sejam e N os pés das perpendiculares baixadas desde P sobre OX e OY, respectivamente. Podemos concluir, que OP NOP, pelo caso L..., pois OP é lado comum, OP = NOP e OP = ONP = 90. Portanto, P = PN. Reciprocamente, suponhamos agora que P = PN. Pelo caso especial de congruência de triângulos, cateto-hipotenusa, os triângulos OP e N OP são congruentes. Portanto, OP = NOP, e assim, P pertence à bissetriz. Provemos agora que as três bissetrizes de um triângulo se intersectam num ponto chamado incentro, que é equidistante dos lados do triângulo.

2 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 16 - Prof. ícero Thiago N 1 P 1 P N 1 Sejam N e P as bissetrizes relativas aos vértices e, respectivamente, e o seu ponto de interseção. omo o ponto pertence às bissetrizes N e P, então 1 = P 1 e 1 = N 1, em que 1, N 1, P 1 são os pés das perpendiculares baixadas desde sobre os lados, e, respectivamente. omo P 1 = N 1, então, pela proposição anterior, pertence à bissetriz do ângulo. Portanto, as três bissetrizes passam por um mesmo ponto chamado incentro que será o centro da circunferência inscrita no triângulo pois equidista dos lados do triângulo. lém disso, 1, N 1 e P 1 são os pontos de tangência do círculo com os lados, e, respectivamente. N 1 P 1 P N 1 Teorema. Seja um triângulo tal que = a, = b e = c. Sejam 1, N 1 e P 1 os pontos de tangência com os lados, e, respectivamente. Então, N 1 = P 1 = p a, 1 = P 1 = p b e 1 = N 1 = p c, em que p = a+b+c.

3 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 16 - Prof. ícero Thiago x x N 1 P 1 y z y 1 z Temos que y+z = a, x+z = b e x+y = c. Resolvendo o sistema encontramos x = p a, y = p b e z = p c. Teorema 3. (issetriz interna) bissetriz interna L do ângulo de um triângulo divide internamente o lado oposto na razão, ou seja, L L = em que L é o ponto de intersecção da bissetriz interna com o lado. R L 3

4 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 16 - Prof. ícero Thiago Seja R a intersecção da paralela à bissetriz L traçada pelo ponto. É fácil ver que L = L = R = R, com isso, R =. Pelo teorema de Tales temos que R = L L. omo R =, então = L L. Teorema 4. Seja um triângulo tal que = a, = b, = c e seja a bissetriz relativa ao ângulo, com em. Então, = a c b+c. c b m a m Usando o teorema da bissetriz interna temos que = c m = b a m m = a c b+c. Teorema 5. Seja um triângulo tal que = a, = b, = c, a bissetriz relativa ao ângulo, com em, e seja o incentro. Então, = b+c a. plicando o teorema da bissetriz interna no triângulo temos que = = b+c a. 4

5 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 16 - Prof. ícero Thiago c b a c b+c Teorema 6. Seja um triângulo e seu incentro. Seja E o ponto de interseção de com a circunferência circunscrita ao triângulo. Então E = =. +β β β D E É fácil ver que E = E = E = E e, portanto, E = E. lém disso, pelapropriedadedoânguloexterno, E = +β. Portanto, E = E ee = E. 5

6 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 16 - Prof. ícero Thiago Observe agora uma parte da figura acima. a E Temos que cos = E E = a = E = E. cos Teorema 7. Seja um triângulo tal que = a, = b, = c e seja a bissetriz relativa ao ângulo, com em. lém disso, = =. Então = b c cos. b+c c b É fácil ver que [] = []+[]. Então, b c sin = c sin + = b c cos. b+c b sin Teorema 8. (Área de um triângulo em função do raio da circunferência inscrita.) Sejam a, b e c as medidas dos lados, e do triângulo, respectivamente, e seja r a medida do raio da circunferência inscrita. Então, a área do triângulo pode 6

7 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 16 - Prof. ícero Thiago ser calculada por em que p = a+b+c. [ ] = p r, F r r r E D [ ] = [ ]+[ ]+[ ] [ ] = a r + b r + c r ( ) a+b+c [ ] = r [ ] = p r. Problema 1. (O) O triângulo é retângulo em. Sejam o centro da circunferência inscrita em e O o ponto médio do lado. Se O = 45, quanto mede, em graus, o ângulo? Solução. omo é um triângulo retângulo, então O = O = O. Se = O = 45 e = O, então O (L). om isso, = O = O e, portanto, triângulo O é equilátero. ssim, = 30. 7

8 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 16 - Prof. ícero Thiago O Problema. Em um triângulo não equilátero, a reta que passa pelo baricentro e pelo incentro é paralela a um dos lados do triângulo. Demonstre que os lados do triângulo estão em progressão aritmética. Solução. omo G é paralelo a então podemos aplicar o teorema de Tales. ssim, E = G GD b+c = b+c = a. a 1 G E D Exercícios propostos 8

9 POT 01 - Geometria - Nível 3 - ula 16 - Prof. ícero Thiago 1.. (O Shortlist) Seja um triângulo tal que + = 3. Sejam o seu incentro e D e E os pontos de tangência da circunferência inscrita com os lados e, respectivamente. lém disso, sejam K e L os simétricos de D e E com relação ao incentro. Prove que o quadrilátero KL é inscritível. 3. (Teste de seleção do rasil para O) Seja o incentro do triângulo e D o ponto de interseção de com o círculo circunscrito de. Sejam E e F os pés das perpendiculares baixadas a partir de sobre D e D, respectivamente. SE E +F = D, determine o ângulo. 4. (O) O prolongamento da bissetriz L do triângulo acutângulo encontra o círculo circunscrito em N. Por L traçam - se perpendiculares LK e L aos lados e, respectivamente. Prove que a área do triângulo é igual à área do quadrilátero KN. 5. Num triângulo tem - se =, e D é um ponto sobre a base tal que o raio do círculo inscrito no triângulo D é igual ao raio do círculo tangente ao segmento D e aos prolongamentos das retas D e. Prove que o raio deste círculo é igual a 1 4 da medida h de uma das alturas iguais do triângulo. 6. Seja um quadrilátero D inscrito num círculo de tal forma que os prolongamentos dos lados D e se encontram em Q e os prolongamentos de e D, em P. Prove que as bissetrizes dos ângulos DQ = P D são perpendiculares. 7. Do incentro de um triângulo retângulo, avista - se a metade da hipotenusa, isto é, o segmento que une um vértice ao ponto médio da hipotenusa, segundo um ângulo reto. Se m é a fração irredutível que expressa a razão entre as medidas dos catetos n deste triângulo, então m+n é igual a: (a) 7 (b) 17 (c) 3 (d) 31 (e) O círculo, de centro O, inscrito no triângulo é cortado pela mediana D nos pontos X e Y. Sabendo que = +D, determine a medida do ângulo XOY. 9. (O) Seja um triângulo cuja medida dos lados são números inteiros e consecutivos. lém disso, o maior ângulo é o dobro do menor ângulo. Determine a medida dos lados deste triângulo. 9