Aula 10 Semelhança de triângulos

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1 MÓULO 1 - UL 10 ula 10 Semelhança de triângulos Objetivos Introduzir a noção de semelhança de triângulos eterminar as condições mínimas que permitem dizer que dois triângulos são semelhantes. Introdução Vimos na aula 3 a noção de congruência de triângulos. Intuitivamente falando, dois triângulos são congruentes quando apresentam o mesmo tamanho e a mesma forma. Veremos, nesta aula, a noção de semelhança entre dois triângulos que, intuitivamente falando, significará que os mesmos têm a mesma forma. efinição 30 izemos que dois triângulos são semelhantes se existe uma correspondência entre seus vértices de modo que ângulos correspondentes sejam congruentes e lados correspondentes sejam proporcionais. O que a definição anterior quer dizer é que e são semelhantes (segundo a correspondência, e ) se Â, Ê, Ĉ e m() m() = m() m( ) = m() m( ). Usaremos a notação para indicar que e são semelhantes segundo a correspondência, e. omo na congruência de triângulos, a ordem em que as letras estão escritas é importante (veja figura 185). ig. 185:. 121 RJ

2 razão comum entre os lados é chamada razão de semelhança. É claro que dois triângulos congruentes são semelhantes, com razão de semelhança igual a 1. Mas existem triângulos semelhantes que não são congruentes: considere dois triângulos equiláteros em que a medida do lado de um deles seja o dobro da medida do lado do outro. omo os três ângulos dos dois triângulos medem 60 o, conclui-se que eles são semelhantes com razão de semelhança 1/2 (ou 2). Obviamente os dois triângulos não são congruentes. Veja figura 186. ig. 186: Triângulos equiláteros semelhantes, mas não congruentes. É claro que todo triângulo é semelhante a si mesmo (propriedade reflexiva) e que se então (propriedade simétrica). lém disso, se e GHI então GHI (propriedade transitiva). nalogamente à congruência de triângulos, em que determinamos condições mínimas (casos de congruência) para garantir a congruência entre dois triângulos, existem também condições mínimas que garantem que dois triângulos são semelhantes. ssas condições mínimas são os casos de semelhança de triângulos. omeçaremos com a seguinte proposição: Proposição 23 Se um triângulo tem dois de seus ângulos correspondentemente congruentes a dois ângulos de outro triângulo, então os dois triângulos são semelhantes. ig. 187: Proposição 23. Prova: Sejam e triângulos tais que Ê e Ĉ (figura 187). Queremos provar que Â e m() m() = m() m( ) = m() m( ). RJ 122

3 MÓULO 1 - UL 10 omo a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180 o, segue da hipótese que também se tem Â. Se os segmentos e forem congruentes, segue que pelo caso de congruência.l... Logo, e são semelhantes (com razão de semelhança igual a 1). Suponha agora que os segmentos e não sejam congruentes. exemplo, suponha que <. Marque um ponto G no segmento de modo que G e por G trace uma reta paralela à reta. Seja H o ponto em que essa reta corta o segmento (igura 188). Por H G ig. 188: Proposição 23. Segue da proposição 10, da aula 5 que HĜ. Mas os ângulos Ĉ e são congruentes por hipótese. ntão HĜ Ĉ e obtemos do caso de congruência.l.. que HG. onseqüentemente, os segmentos e H são também congruentes. Usando o Teorema de Tales, conclui-se que m(h) m() = m(g). Mas m(g) = m() e m(h) = m( ) m(). Logo, m() m() = m() m( ). Para completar a prova, considere um ponto I tal que I e, por I, trace uma reta paralela a. Seja J o ponto em que essa reta corta (figura 189). (I) J I ig. 189: Proposição 23. Raciocinando como antes, obtém-se JÎ Ê e JI. Segue que J e m() m( ) = m(j ) m( ) = m(i ) m( ) = m() m( ) (II) 123 RJ

4 Juntando (I) e (II) concluímos finalmente que Você seria capaz de descobrir como Tales determinou a altura da pirâmide? (Veja a primeira nota lateral da aula 9.) Portanto,. Q... m() m() = m() m( ) = m() m( ) próxima proposição traz mais um caso de semelhança de triângulos. Proposição 24 Se dois triângulos e são tais que Ê e m() m() = m(), então e são semelhantes. m( ) Prova: Se e forem congruentes, então m() = m() e m() m( ) = m() m() = 1. Segue que e também são congruentes. omo Ê por hipótese, conclui-se por L..L. que e são triângulos congruentes. ssim, e são semelhantes (com razão de semelhança igual a 1). Suponha agora que e não sejam congruentes. Por exemplo, suponha que <. Nesse caso tem-se também < (pela nossa hipótese). Marque um ponto G no segmento de modo que G. Pelo ponto G trace uma reta paralela à reta e seja H o ponto em que essa reta corta o segmento (figura 190). G ig. 190: Proposição 24. H Usando o Teorema de Tales obtém-se que m(g) m() = m(h) m( ). Mas m() = m(g) por construção do ponto G. ssim, m() m() = m(h) m( ). RJ 124

5 MÓULO 1 - UL 10 omo m() m() = m() m( ) por hipótese, segue que m(h) = m(), ou seja, e H são também congruentes. omo já temos que G e Ê, segue do caso L..L. de congruência de triângulos que e GH são triângulos congruentes. m particular tem-se GĤ Ĉ. Mas GĤ pois GH//, donde se conclui que Ĉ. ntão os triângulos e são tais que Ê e Ĉ. semelhança entre os triângulos e segue agora da proposição 23. Q... hipótese da proposição anterior significa que os lados e do triângulo são proporcionais aos lados e do triângulo. O que a proposição 24 diz então é que, se dois lados de um triângulo são proporcionais a dois lados de outro triângulo e os ângulos inclusos a esses lados são congruentes, então esses triângulos são semelhantes. ncerraremos os casos de semelhança com a seguinte proposição: Podemos relacionar semelhança com a redução ou ampliação de fotos ou imagens. Proposição 25 Se dois triângulos e são tais que m() m() = m() m( ) = m() m( ), então e são semelhantes. Prova: Se Â, Ê ou Ĉ, obtemos a semelhança entre os triângulos e a partir da proposição 24. aso contrário, teremos dois ângulos de um dos triângulos menores que os seus correspondentes do outro triângulo. Suponha, por exemplo, que tenhamos < Ê e Ĉ <. Nesse caso, traçamos semi- retas G e H de forma que GÊ e Ĉ H. Sejam I o ponto em que a semi-reta G intersecta o segmento, J o ponto em que a semi-reta H intersecta o segmento e K o ponto de interseção entre as semi-retas G e H. Trace o segmento K (figura 191). 125 RJ

6 H J I G K ig. 191: Proposição 24. Os triângulos e K são semelhantes pela Proposição 23. Temse portanto que m() m(k) = m() m(k ) = m() m( ). Mas m() m() = m() m( ) = m() m( ) por hipótese. Portanto, m(k) = m() e m(k ) = m( ), ou seja, K e K. Mas o exercício 8 da aula 2 diz que essa situação não pode ocorrer (compare com a prova do caso L.L.L. de congruência de triângulos). ssa contradição prova que devemos ter Â, Ê ou Ĉ, o que implica, como vimos no início desta prova, que é semelhante a. Q... O que a proposição 25 diz é que, se os três lados de um triângulo são proporcionais aos três lados de outro triângulo, então esses triângulos são semelhantes. Resumo Nesta aula você aprendeu... O que significa dizer que dois triângulos são semelhantes. Que, se dois ângulos de um triângulo são congruentes a dois ângulos de outro triângulo, então esses triângulos são semelhantes. Que, se dois lados de um triângulo são porporcionais a dois lados de outro triângulo e os ângulos inclusos a esses lados são congruentes, então esses triângulos são semelhantes. Que, se os três lados de um triângulo são proporcionais aos três lados de outro triângulo, então esses triângulos são semelhantes. RJ 126

7 MÓULO 1 - UL 10 xercícios 1. etermine os valores de x e de y na figura y x 6 ig. 192: xercício etermine o valor de x na figura x 6 8 ig. 193: xercício Na figura 194,, G e HIJG são quadrados. etermine o valor de x. H I 9 6 G x J ig. 194: xercício Na figura 195, é um retângulo, m() = 12 e M é o ponto médio de. etermine m( ). M ig. 195: xercício RJ

8 5. (U..S ) Na figura 196, m() = 8 cm e m() = 4 cm. ig. 196: xercício 5. medida de, em cm, é: (a) 9 (b) 10 (c) 12 (d) 15 (e) (Potência de um ponto em relação a um círculo.) m qualquer uma das figuras 197, prove que m(p ).m(p ) = m(p ).m(p ). P P Γ ig. 197: xercício 6. Γ O valor comum do produto m(p ).m(p ) é chamado de potência do ponto P em relação ao círculo Γ. 7. etermine o valor de x na figura x 4 ig. 198: xercício Na figura 199, P é tangente ao círculo. P ig. 199: xercício 8. Prove que m(p ) 2 = m(p )m(p ). RJ 128

9 MÓULO 1 - UL Na figura 200, m() = 4, m() = 6, m() = 8 e o perímetro de vale 27. ig. 200: xercício 9. etermine as medidas dos lados de. 10. alcule o raio do círculo da figura 201, sabendo que é tangente ao círculo O ig. 201: xercício (T-1978) ado o triângulo na figura 202, construímos a poligonal L = n 1 60 o m 2 60 o 3 60 o 60 o p ig. 202: xercício 11. O comprimento de L é: (a) 2p (b) m + n + p (c) 2(m + n) (d) 2(m + p) (e) m + n 2 + p 129 RJ

10 12. (U, 1994) O hexágono regular da figura 203 possui lado medindo L. M 1 N 1 M 2 N 2 M 3 N 3 M 4 N 4 M 5 N 5 M 6 N 6 M 7 N 7 M 8 N 8 M 9 N 9 ig. 203: xercício 12. Sabendo que os 9 segmentos M 1 N 1, M 2 N 2,..., M 9 N 9 são todos paralelos e dividem o segmento M 1 M 9 em 8 partes iguais, pode-se afirmar que a soma m(m 1 N 1 ) + m(m 2 N 2 ) m(m 9 N 9 ) é igual a: (a) 11 L (b) 12 L (c) 13 L (d) 14 L (e) 15 L 13. etermine o raio do círculo circunscrito ao triângulo da figura 204, sabendo que m() = 4, m() = 6 e m(h) = 3. H ig. 204: xercício (U, 1996) O quadrilátero MNP Q, está inscrito no círculo de centro O e raio 10 cm, conforme a figura 205. M Q O N P ig. 205: xercício 14. Sabendo que a diagonal MP passa por O, QM = 8 cm e MN = 12 cm, pode-se afirmar que o valor do segmento MH, em cm, é: (a) 4, 0 (b) 4, 5 (c) 4, 8 (d)5, 0 (e) 5, 3 RJ 130

11 MÓULO 1 - UL (UVST ) Na figura 206, é um triângulo retângulo em, é um quadrado, m() = 1 e m() = 3. ig. 206: xercício 15. Pode-se afirmar que o lado do quadrado mede: (a) 0,70 (b) 0,75 (c) 0,80 (d) 0,85 (e) 0, (U, 1993) onsidere o triângulo isósceles P QR da figura 207, de lados congruentes P Q e P R, cuja altura relativa ao lado QR é h. P M M 1 2 K Q R ig. 207: xercício 16. Sabendo que M 1 e M 2 são, respectivamente, os pontos médios de P Q e P R, a altura do triângulo KM 1 M 2, relativa ao lado M 1 M 2 é: (a) 2h 3 (b) h 6 (c) h 3 2 (d) h 3 3 (e) h RJ