Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 18. Curso de Geometria - Nível 3. Transformações geométricas II - Simetria e rotação. Prof.

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1 olos límpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível 3 rof. ícero Thiago ula 18 Transformações geométricas II - Simetria e rotação. 1. Simetria com relação a um ponto. Dizemos que o ponto é o simétrico de com relação a um ponto fixo se, e somente se, o ponto for o ponto médio do segmento. Sejam F e F duas figuras simétricas com relação ao ponto e sejam e os segmentos correspondentes nessas duas figuras. É fácil ver que é um paralelogramo pois as diagonais cortam - se em seus pontos médios. 2. Simetria com relação a uma reta. Dizemos que o ponto é o simétrico de com relação à reta r se, e somente se, a reta r é a mediatriz do segmento. r M

2 T Geometria - Nível 3 - ula 18 - rof. ícero Thiago roblema 1. (roblema de Fagnano) Determine o triângulo de perímetro mínimo inscrito em um triângulo acutângulo. Solução. Seja um triângulo acutângulo. Queremos achar pontos M, N e sobre os lados, e, respectivamente, tais que o perímetro do triângulo MN seja mínimo. Inicialmente vamos considerar uma versão mais simples do problema. Fixe o ponto sobre o lado. Vamos achar os pontos M e N sobre e, respectivamente, tais que o triângulo MN tenha perímetro mínimo. ( mínimo irá depender da escolha do ponto.) Seja o simétrico de com relação à reta e o simétrico de com relação à reta. Então = =, = e =. Se = γ, então = 2γ. Mas, 2γ < 180, pois γ < 90. onsequetemente, a reta intersecta os lados e do triângulo nos pontos M e N, respectivamente, e o perímetro do triângulo MN é igual à. De maneira semelhante, se X é um ponto sobre e Y um ponto sobre, o perímetro do triângulo XY é igual ao comprimento da poligonal XY, que é maior ou igual a. omo isso, o perímetro do triângulo XY é maior ou igual ao perímetro do triângulo MN e a igualdade ocorre se, e somente se, X = M e Y = N. gora, precisamos encontrar o ponto sobre o lado tal que o segmento tenha comprimento mínimo. Veja que é a base do triângulo isósceles com ângulo = 2γ constante e lados = =. Então, basta escolher sobre tal que = seja mínimo, mas isso acontece quando é o pé da altura relativa ao vértice. Se é o pé da altura relativa ao vértice então M e N serão os pés das outras duas alturas. ara provar isso, sejam M 1 e N 1 os pés das alturas do triângulo relativas aos vértices e, respectivamente. Então M 1 = M 1 = = M 1 N 1, mostrando que o ponto está sobre a reta M 1 N 1. De maneira análoga, está sobre a reta M 1 N 1 e, portanto, M = M 1 e N = N 1. Dessa forma, de todos os triângulos inscritos no triângulo o triângulo órtico é o que tem o menor perímetro. N Y X M 2

3 T Geometria - Nível 3 - ula 18 - rof. ícero Thiago N 1 M 1 roblema 2. (one Sul) Seja um triângulo e sejam N, M e as alturas relativas aos lados, e, respectivamente. Sejam R, S as projeções de N sobre os lados,, respectivamente, e Q, W as projeções de N sobre as alturas M e, respectivamente. (a) rove que R, Q, W, S são colineares; (b) rove que M = RS QW. 3. Rotação. Seja um ponto fixo de um plano orientado e um ângulo α dizemos que é a imagem de por uma rotação de centro e ângulo α se = e = α. α Teorema 1. Seja um ponto fixo de um plano orientado e um ângulo α. lém disso, sejam e Q pontos do plano distintos de e suas imagens e Q pela rotação de centro e ângulo α. Então Q = Q e a medida do ângulo formado pelas retas Q e Q é α. Demonstração. É fácil ver que os triângulos Q e Q são congruentes pois Q = Q = QQ Q = Q, = e Q = Q. rolongue Q até 3

4 T Geometria - Nível 3 - ula 18 - rof. ícero Thiago intersectar Q no ponto M. quadrilátero MQQ é inscritível pois Q = Q e, com isso, QMQ = QQ = α. M α θ Q β α β β θ Q roblema 3. (M) Na figura, o quadrado D foi obtido a partir de uma rotação no sentido horário do quadrado D de 25 graus em torno do ponto médio de. Qual é o ângulo agudo, em graus, entre as retas e D? (a) 5 (b) 25 (c) 45 (d) 65 (e) 85 D D Solução. 4

5 T Geometria - Nível 3 - ula 18 - rof. ícero Thiago D D F E elo teorema 1 temos que o ângulo agudo entre e é E = 25. omo e D são as diagonais do quadrado então o ângulo entre eles é D = 90. ortanto, o ângulo desejado será EF = 65. roblema 4. (onto de Fermat) Seja um triângulo acutângulo. Encontrar o ponto interior que minimiza a soma + +. roblema 5. (USM) Dois triângulos e QR como mostra a figura abaixo são tais que D = D = D = 120. rove que X = u+v +w. R X c X b w u D a v c Q b X a 5

6 T Geometria - Nível 3 - ula 18 - rof. ícero Thiago roblema 6. Seja um ponto no interior do quadrado D. rove que as perpendiculares baixadas desde,, e D sobre,, D e, respectivamente, são concorrentes. roblema 7. (one Sul) Seja um triângulo isósceles com =. Uma reta l passando pelo incentro I de intersecta e em D e E, respectivamente. F e G são pontos sobre tais que F = E e G = D. Mostre que o ângulo FIG é constante. roblema 8. rove que composição de duas rotações de ângulos α e β, respectivamente, é uma rotação de ângulo de medida α+β. Se os centros das duas rotações forem diferentes determine o centro da nova rotação. roblema 9. (Teorema de Napoleão) Seja um triângulo escaleno. Se exteriormente são construídos triângulos equiláteros M, N e, prove que os baricentros desses triângulos são vértices de um triângulo equilátero. 6