Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 13. Curso de Geometria - Nível 3. Prof. Cícero Thiago

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1 Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível 3 Prof. ícero Thiago ula 13 Revisão I Problema 1. Em um triângulo, = 100 e =. Seja D a bissetriz de, com D sobre o lado. Prove que D +D =. É fácil ver que D = D = 20. Seja E um ponto sobre tal que D = E. asta provar que E = D. Veja que DE = ED = 80. omo ED = 80 e D = 40, então ED = 40, ou seja, ED = E. Por outro lado, ED é um quadrilátero inscritível pois D + ED = 180, assim ED = ED = 20 e ED = D = 20. Portanto, D = ED = E e, dessa forma, = D +D. D E Problema 2. (Inglaterra) No triângulo acutângulo, F é altura, com F em e M é mediana, com M em. Se M = F e M = F, prove que o triângulo é equilátero.

2 POT Geometria - Nível 3 - ula 13 - Prof. ícero Thiago F M Temos que FM = M = M e, com isso, MF = FM, ou seja, o quadrilátero FM é inscritível. Dessa forma, FM = FM e M = F = 90. É fácil ver que M M, pelo caso.l., então =. Veja também que M F, pelo caso cateto - hipotenusa, então M = F e, portanto, =. Finalmente, = =. Problema 3. Seja M um ponto no interior de um quadrilátero convexo D tal que MD é um paralelogramo. Prove que se M = DM, então D = M. 2

3 POT Geometria - Nível 3 - ula 13 - Prof. ícero Thiago N D M Seja N um ponto tal que N M e N M. Então N D, N = M = DM = N, ou seja, os pontos,, N e são concíclicos. Então, D = N = M. Problema 4. (Seletiva do rasil para a one Sul) Prove que as distâncias entre um ponto sobre uma circunferência e os quatro vértices de um quadrado nesta inscrita não podem ser todas números racionais. 3

4 POT Geometria - Nível 3 - ula 13 - Prof. ícero Thiago D P omo D é um quadrado então = = D = D = a. Pelo toerema de Pitágoras no triângulo temos que 2 = = a 2 +a 2 = 2 a 2 = 2 a. plicando o teorema de Ptolomeu no quadrilátero P, temos P = P +P 2 a P = P a+p a P +P 2 =. P Se todas as medidas fossem números racionais estaríamos afirmando, de maneira falsa, que P 2 Q. Se P coincidir com um dos vértices, ou seja, P D, então P = 2. ssim, as medidas não podem ser todas racionais. Problema 5. (Irã) Seja um triângulo com > >. Seja D um ponto sobre o lado e seja E o ponto no prolongamento de, com entre E e, tal que D = E =. Seja P o ponto sobre tal que E,, D e P são concíclicos e seja Q o segundo ponto de interseção de P com o círculo circunscrito ao triângulo. Prove que Q+Q = P. 4

5 POT Geometria - Nível 3 - ula 13 - Prof. ícero Thiago E P Q D Veja que Q EPD, pois Q = Q = DEP e Q = 180 D = EPD. Por outro lado, pelo teorema de Ptolomeu, temos Então, P DE = E DP +D EP. P = E DP DE Problemas propostos +D EP DE Q Q = + = Q+Q. 1. (one Sul) Seja D um quadrilátero convexo tal que suas diagonais e D são perpendiculares. Seja P a intersecção de e D e seja M o ponto médio de. Mostre que o quadrilátero D é inscritível se, e somente se, as retas PM e D são perpendiculares. 2. Prove que as bissetrizes internas dos quatro ângulos de um quadrilátero convexo determinam um quadrilátero inscritível. 3. (OM) s diagonais de um quadrilátero inscritível D se intersectam em O. Os círculos circunscritos aos triângulos O e OD intersectam as retas e D, 5

6 POT Geometria - Nível 3 - ula 13 - Prof. ícero Thiago pela segunda vez, nos pontos M, N, O e Q. Prove que o quadrilátero MNPQ está inscrito em um círculo de centro O. 4. Um quadrilátero convexo está inscrito em um círculo de centro O. s diagonais e D intersectam - se em P. Os círculos circunscritos aos triângulos P e DP intersectam - se novamente em Q. Se O, P e Q são três pontos distintos, prove que OQ é perpendicular a PQ. 5. (Ibero) Num triângulo escaleno traça-se a bissetriz interna D, com D sobre. Sejam E e F, respectivamente, os pés das perpendiculares traçadas desde e até à reta D, e seja M o ponto sobre o lado tal que DM é perpendicular a. Prove que EMD = DMF. 6. Seja M o ponto de interseção das diagonais de um quadrilátero inscritível D, em que M é agudo. O triângulo isósceles K é construído exteriormente ao quadrilátero, com base a base sendo, tal que K+ M = 90. Prove que KM é perpendicular a D. 7. Seja D um quadrilátero convexo tal que Prove que D é inscritível. D = D +D. 8. Seja D um quadrado. Determine o lugar geométrico dos pontos P, no mesmo plano do quadrado D, tais que máx{p,p} = 1 2 (P +PD). 9. Uma circunferência passa pelo vértice de um paralelogramo D intersectando os lados e D nos pontos P e R, respectivamente. lém disso intersecta a diagonal no ponto Q. Prove que Q = P +R D. 10. UmpontoP éescolhidoointerior doparalelogramo D detal formaque P+ PD = 180. Prove que D = P DP +P P. 6