Aulas Particulares on-line

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1 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, MTEMÁTI PRÉ-VESTIULR LIVRO O PROFESSOR

2 IESE rasil S.. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. I9 IESE rasil S.. / Pré-vestibular / IESE rasil S.. uritiba : IESE rasil S.., 009. [Livro do Professor] 660 p. ISN: Pré-vestibular.. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título isciplinas Língua Portuguesa Literatura Matemática Física Química iologia História Geografia Produção utores Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago alixto Rita de Fátima ezerra Fábio Ávila anton Pedro dos Santos Feres Fares Haroldo osta Silva Filho Jayme ndrade Neto Renato aldas Madeira Rodrigo Piracicaba osta leber Ribeiro Marco ntonio Noronha Vitor M. Saquette Edson osta P. da ruz Fernanda arbosa Fernando Pimentel Hélio postolo Rogério Fernandes Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa Silva uarte. R. Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer Projeto e esenvolvimento Pedagógico Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/,

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5 Triângulo Triângulo É a figura geométrica determinada por três segmentos de reta consecutivos, isto é, cujos extremos são coincidentes dois a dois. O ângulo externo é igual à soma dos ângulos internos que não lhe são adjacentes. x = α + θ y = β + θ z = α + β x β α y θ z ondição de existência m n Ângulos internos α, β e θ Ângulos externos x, y e z Lados p Para existir um triângulo, é necessário que qualquer lado seja menor que a soma e maior que o módulo da diferença dos outros dois. m n < p < m + n m p < n < m + p p n < m < p + n = m; = n; = p Soma dos ângulos internos α + β + θ = 180 Num triângulo, o maior lado opõe-se ao maior ângulo. Soma dos ângulos externos x + y + z = 360º EM_V_MT_08 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, 1

6 lassificação dos triângulos Quanto aos ângulos Isósceles ois lados iguais e dois ângulos iguais (os ângulos iguais não são formados pelos lados iguais). cutângulo Todos os ângulos internos são agudos. = ^ = ^ Equilátero Retângulo Tem um ângulo interno igual a 90. Três lados com medidas iguais e três ângulos iguais a 60., catetos hipotenusa Obtusângulo = = ^ = ^ = ^ evianas principais do triângulo Tem um ângulo interno obtuso e dois agudos. Quanto aos lados Escalenos Todos os lados e ângulos com medidas diferentes. eviana É qualquer reta que parte de um vértice do triângulo e encontra o lado oposto ou seu prolongamento. s principais cevianas são: ltura (h) segmento da perpendicular traçada de um vértice sobre o lado oposto. b) Mediana (m) segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. c) issetriz interna ( β segmento da bissetriz de um ângulo limitado pelo vértice e pelo ponto de interseção com o lado oposto. d) issetriz externa ( β segmento da bissetriz de um ângulo externo limitado pelo vértice e pelo ponto de interseção com o lado oposto. Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, EM_V_MT_08

7 Ortocentro h a m a s três alturas de um triângulo concorrem em um único ponto denominado ortocentro do triângulo. β a H J M a/ a a/ H 3 h a H H h b h c H 1 H = h a M = m a J = β a J =β a m a ha β a M H J O ortocentro do triângulo retângulo coincide com o vértice do ângulo reto. h c b H h a h b c Incentro Um triângulo possui 3 alturas, 3 medianas, 3 bissetrizes internas e 3 bissetrizes externas. s três bissetrizes internas de um triângulo concorrem, em um único ponto, equidistantes dos três lados do triângulo, denominado incentro. Q R P J Todo triângulo retângulo de ângulos agudos, valendo 30º e 60º, tem a seguinte relação: 3 30º I O incentro é o centro do círculo inscrito no triângulo. / 60º EM_V_MT_08 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, 3

8 aricentro s três medianas de um triângulo concorrem em um único ponto denominado baricentro ou centro de gravidade do triângulo. P N G M M, N e P = Pontos médios de,, respectivamente. No caso: Â = 90 O = ponto médio da hipotenusa circuncentro ongruência de triângulos ois triângulos são congruentes quando superpomos um ao outro e eles coincidem no valor dos lados e dos ângulos. Logo, lados congruentes e ângulos congruentes. Propriedades O baricentro fica situado sobre cada mediana, a /3 do vértice e a 1/3 do seu pé. (ponto médio do lado oposto) GM = x G = x GN = y G = y GP = z G = z ircuncentro s mediatrizes dos lados de um triângulo concorrem em um único ponto denominado circuncentro do triângulo. m m 3 R o R R ^ = ^a ^ = ^b ^ = ^c asos de congruência LL (lado-ângulo-lado) = = = ois triângulos são congruentes, quando possuem dois lados e o ângulo formado entre eles congruentes. ^ ^ m 1 L (ângulo- lado-ângulo) ois triângulos são congruentes, quando possuem dois ângulos e o lado adjacente a eles congruentes. 4 O circuncentro é o centro do círculo circunscrito ao triângulo. O ^ ^ ^ ^ Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, EM_V_MT_08

9 LLL (lado-lado-lado) ois triângulos são congruentes quando possuem os três lados congruentes. asos de semelhança de triângulos 1.º aso: ois triângulos são semelhantes quando possuem dois pares de ângulos respectivamente iguais. θ αθ α Lo (lado-ângulo-ângulo oposto) ois triângulos são congruentes quando possuem um lado, um ângulo e o ângulo oposto ao lado dado congruentes..º aso: ois triângulos são semelhantes quando possuem três lados homólogos proporcionais. c b K.b a k.a k.c ^ ^ ^ ^ 3.º aso: ois triângulos são semelhantes quando possuem dois pares de lados homólogos proporcionais e os ângulos entre eles iguais. Semelhança de triângulos ois triângulos são semelhantes quando possuem três ângulos congruentes, por consequência os lados opostos aos ângulos serão proporcionais, como também as cevianas. b k.b α α a k.a Triângulos retângulos H H ^=^,^ =^,^ =^ H = = = = '' '' '' 'H' K é a razão de semelhança. K m a n EM_V_MT_08 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, 5

10 omo + = 90, podemos observar que na figura temos três triângulos semelhantes. = b cateto = c cateto = a hipotenusa H = h altura H = m projeção de sobre H = n projeção de sobre Principais fórmulas: b = n. a c = m. a h = m. n a. h = b. c a = b + c Importante observarmos que, além dos triângulos pitagóricos citados, existem aqueles que são proporcionais. ssim você pode afirmar que existem infinitos triângulos pitagóricos, dentre os proporcionais e os não-proporcionais. plicações importantes iagonal do quadrado s fórmulas são demonstradas por semelhança de triângulos: (b = n. : b H a = n (Usamos os b lados opostos de 90 e ) d = + d = (c = m. : c H a = m (Usamos os c lados opostos aos ângulos de 90 e ) (h = m. n): h H H n = m (Usamos os n lados opostos aos ângulos e ) (a. h = b. c): b H a = h (Usamos os c lados opostos aos ângulos de 90 e ) (a = b + c ) estacando as duas primeiras fórmulas temos: b = n. a c = m. a d = d = ltura do triângulo equilátero h = h + ; = h ; h= b +c =ma+na b +c =a (m+n) b +c =a Os triângulos retângulos cujos lados têm valores inteiros são conhecidos como pitagóricos. `` Exemplo: 3 = h + ; = h 4 4 h = 3 1. Na figura, = =, calcule y em função de x. y 6 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, EM_V_MT_08

11 `` Solução: y E x x α. y: ângulo externo do Δ, logo: y = β + x y = 3x No triângulo retângulo da figura, reto no vértice, determine o valor do ângulo formado pela altura e a mediana que sai de, dado ^ = 50. `` Solução: ^ - ângulo externo do Δ, logo: ^ +^ = ^. 30º α 50º H M θ α + θ E α + θ θ α `` Solução: mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da hipotenusa. 50º H α 40º 80º M 40º 4. α + α + θ = θ + 30º α = 30º α = 15º ois navios partem de um mesmo ponto com velocidades iguais a V = 15Km/h às 14 horas e V = 60Km/h às 0 horas, formando entre si dimensões cujo ângulo é de 60. Qual a distância que separa os navios às horas do mesmo dia? ^ = 90 o ^ + ^ = 90 o 50 + ^ = 90 o ^ = 40 60º omo: M = M ^M = 80º α+ 90º + 80º = 180º α = 10º 3. Na figura = e E =. alcule o valor do ângulo ^E, se ^ vale 30. `` Solução: ΔS = V. Δt = 15Km/h. (h 14h) = 15km/h. 8h = ΔS = 10Km EM_V_MT_08 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, 7

12 S = V. Δt = 60Km/h. (h 0h) = 60Km. h = ΔS = 10Km Obtemos lados iguais formando um ângulo de 60º, logo o triângulo equilátero é d = 10Km. 7. M e N são pontos médios, logo I é baricentro. omo M = M = 1, temos 3x = 1 x = 4. omo o triângulo é retângulo, o ortocentro é o vértice, assim a distância de até I vale 8cm. alcule o comprimento da circunferência inscrita num triângulo retângulo isósceles, cuja distância do vértice do ângulo ao incentro mede 4cm. 10Km `` Solução: 60º d = 10Km 10Km M I r 5. hipotenusa do triângulo retângulo, reto em  vale 30cm. Sendo M e N pontos médios de e, calcule P. I - Incentro I = 4 N `` Solução: P N M omo M = M = M, tem-se: P x 15 N M x MIN quadrado I - diagonal I = r = πr = 4 4 = r π r = 4 =, o comprimento da circunferência é dado por : Pretende-se construir um posto policial num ponto p, situado à mesma distância de três casas em uma área plana de um condomínio. Em geometria, este ponto p é conhecido com o nome de: b) c) baricentro. ortocentro. circuncentro. 3x = 15 x = 5 P = x P = 10cm d) e) incentro. ex-incentro. 6. `` Num triângulo retângulo de hipotenusa medindo 4cm, calcule a distância entre o ortocentro e o baricentro. Solução: `` Solução: 8 1 x l x M N 1 R R P R, e = asas Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, EM_V_MT_08

13 O ponto de encontro das mediatrizes é o centro do círculo circunscrito, chamado circuncentro. ssim, o posto policial deve ficar neste ponto, pois a distância dele até as casas serão iguais ao raio. 11. No retângulo da figura, M é triângulo equilátero. Sabendo que = 18cm, calcule E. M 9. Na figura,, e medem 45º. Se F = 0cm, calcule. E F `` Solução: `` Solução: E 9 M α θ E θ α 18 F y y E E = E = x E = FE = Y Logo, os triângulos FE e E são côngruos pelo caso lado-ângulo-lado, então F = = 0cm. 10. alcule o segmento da figura, dado: = 9m, = 3m e ^ = ^. `` Solução: α α 9 Os triângulos e são semelhantes, assim: α 1 x θ α α x x 3 θ α x θ 3 = M = 18 omo os triângulos ME e E são semelhantes na 9 1 razão =, temos ME = x e E = x, logo 18 x + x = 18cm x = 6cm. E = x =. 6 = 1cm. 1. cada usuário de energia elétrica é cobrada uma taxa mensal de acordo com o seu consumo no período, desde que esse consumo ultrapasse um determinado nível. aso contrário, o consumidor deve pagar uma taxa mínima referente a custos de manutenção. Em certo mês, o gráfico consumo (em kwh) x preço (em R$) foi o apresentado a seguir. `` R$ kwh etermine entre que valores de consumo, em kwh, é cobrada a taxa mínima. b) etermine o consumo correspondente à taxa de R$1.950,00. Solução: Na parte inicial onde o gráfico é constante de 0 a 50kWh. EM_V_MT_08 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, 9

14 b) R$ x alcule o segmento na figura, se a reta s tangencia as circunferências de raio 9cm e 4cm nos pontos e, respectivamente. O 1 O 100 x kwh x = `` Solução: O 1 e O são centros, logo O 1 O = = 13cm. x 100 = 80 x = 180kWh 13. figura é um quadrado de lado cm e E um triângulo equilátero. alcule a distância entre os vértices e E. = 9 +4 `` Solução: 15. Pelo triângulo retângulo formado: 13 = x + 5, x = 1cm. alcule o raio do círculo, se o quadrado tem 1m de lado. dq = IQ dq = dq = T = t 3 ht =. 3 ht = = 6 x = 6. x = 6 `` Solução: r = (1 r) + (1 r) r = 1 r + r + 1 r + r r 4r + = 0 r = + r 1- r omo r < 1 a resposta será r = ( ). 1- r 10 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, EM_V_MT_08

15 16. (UERJ) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o fragmento abaixo: Às folhas tantas do livro matemático um quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma incógnita. Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar; olhos romboides, boca trapezoide, corpo octogonal, seios esferoides. Fez da sua uma vida paralela à dela, té que se encontraram no infinito. Quem és tu? indagou ele em ânsia radical. Sou a soma do quadrado dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa. (Millôr Fernandes. Trinta anos de mim mesmo.) incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte resposta: Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa. b) Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa. c) Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa. d) Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa Na figura, = e E =. alcule o valor de. 30º Na figura, é equilátero e o triângulo é isósceles. y alcule o valor de x + y. ^ = x ^ = y etermine a medida do ângulo do vértice do triângulo isósceles, sabendo que os segmentos,, E, EF, F são congruentes. ( = ) x E `` Solução: E F 1. No triângulo da figura, calcule y. F y E x 5. Na figura, determine a medida do ângulo em função de m. EM_V_MT_08 = = E Â = 80º ^ = 3m ^ = ^ = m ^ = m Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, 11

16 Na figura abaixo, r é a bissetriz do ângulo. Se = 40º e = 30º, então: y = 0º y r b) y = 5º c) y = 35º d) y = 15º e) os dados são insuficientes para determinação de y. ado o triângulo, abaixo indicado, construímos a poligonal L = b c 60º 60º 60º 60º O comprimento de L é: c b) a + b + c c) (a + b) d) (a + c) a + e) c Na figura abaixo, =, O é o ponto de encontro das bissetrizes do triângulo, e o ângulo Ô é o triplo do ângulo Â. Então, a medida de  é: 18º b) 1º c) 4º d) 36º e) 15º O a 9. (UFJF) No triângulo,  = 80. Qual a medida do ângulo agudo entre as bissetrizes dos ângulos internos em e? 35º b) 40º c) 50º d) 65º e) 100º 10. (UFMG) Observe a figura: x x 36º y Nessa figura, o valor de 3y x, em graus, é: 8 b) 10 c) 1 d) 16 e) (UFF) N figura a seguir, tem-se que: = e P = P =. P O ângulo mede: 0 b) 5 c) 36 d) 40 e) 4 1. (Fuvest) Num triângulo, os ângulos ^e ^ medem 50 e 70, respectivamente. bissetriz relativa ao vértice forma com a reta ângulos proporcionais a: 1 e e 3 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, b) EM_V_MT_08

17 13. c) 3 e 4 d) 4 e 5 e) 5 e 6 soma das distâncias do ponto P aos vértices do triângulo da figura pode ser igual a: 16. Na figura, M é o ponto médio de e MP é paralelo ao. P 6 P 8 O M b) 1 c) 13 d) 9 e) 11,9 14. Pedrinho observou que em seu condomínio, a sua casa, a casa do seu avô e a casa do seu primo, poderiam ser os vértices de um triângulo. Sabendo que a distância da casa de Pedrinho para a do seu avô e a do seu primo são, respectivamente 10m e 15m, ele pretende saber se com um barbante de 4m será possível o avô e o primo segurarem as extremidades, estando cada um em sua casa. 15. lassifique em verdadeiro (V) ou falso (F). ( ) Os pontos notáveis de um triângulo equiláte- ro são coincidentes. b) ( ) Os pontos notáveis de um triângulo isósceles são colineares. c) ( ) ircuncentro de um triângulo é o ponto equi- distante dos três vértices do triângulo. d) ( ) Incentro de um triângulo é um ponto equidistante dos três lados do triângulo. e) ( ) Ortocentro de um triângulo é o ponto de en- contro das três bissetrizes internas. f) ( ) O baricentro de um triângulo retângulo coin- cide com o ponto médio da hipotenusa. g) ( ) O baricentro de um triângulo é um dos pontos que divide cada mediana em três segmentos congruentes. Sabendo que = 4cm, calcule OP. 17. alcule a distância entre o ortocentro e o baricentro de um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 90cm. 18. etermine a distância do circuncentro ao baricentro em um triângulo retângulo de hipotenusa 60cm. 19. etermine a distância do ortocentro ao circuncentro em um triângulo retângulo de hipotenusa 30cm. 0. (UFSE) Na figura, são dados = 8cm e = 4cm. medida de é, em cm: 9 b) 10 c) 1 d) 15 e) (UFP) Na figura, = 15, = 1 e = 4. EM_V_MT_08 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, 13

18 Sendo E paralela à, qual o valor de E? 1 b) c) 3 d) 4 e) 5. (UMG) medida, em metros, do segmento da figura é de: 4. (Fuvest) ados: 3. (F..HGS) Na figura abaixo, são dados: = E, E =,5cm, = 6cm, = 9cm e = 1cm. M = = 3 = = 4 Então M: 3,5 b) c) 1,5 d) 1 e) 0,5 5. (Unesp) Na figura, é um ponto do segmento de reta e os ângulos, E e E são retos. Se os triângulos da figura são semelhantes, o perímetro do triângulo E é, em centímetros: 11,5 b) 11,50 c) 11,75 d) 1,5 e) 1,50 Se = 6dm, = 11dm e E = 3dm, as medidas possíveis de, em dm, são: 4,5 e 6,5 b) 7,5 e 3,5 c) e 9 d) 7 e 4 e) 8 e 3 14 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, EM_V_MT_08

19 6. (Fuvest) Na figura, o triângulo é retângulo em, EF é um quadrado, = 1 e = Quanto mede o lado do quadrado? 0,70 b) 0,75 c) 0,80 d) 0,85 e) 0,90 (UNI-RIO) Numa cidade do interior à noite, surgiu um objeto voador não-identificado em forma de disco, que estacionou a 50m do solo, aproximadamente. Um helicóptero do exército, situado a aproximadamente 30m acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura. distância do chão aos olhos do observador é 1,8m e PQ = 61,6m. O comprimento da parte do para-raios que o observador não consegue avistar é: 16m b) 1m c) 8m d) 6m e) 3m 9. (UFRJ) Um automóvel de 4,5m de comprimento é representado, em escala, por um modelo de 3cm de comprimento. etermine a altura do modelo que representa, na mesma escala, uma casa de 3,75m de altura. 30. onsidere os três quadrados da figura e calcule x. Sendo assim, pode-se afirmar que o raio do disco-voador mede, em m, aproximadamente: 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 e) 5,0 8. (UFF) Um prédio com a forma de um paralelepípedo retângulo tem 48m de altura. No centro da cobertura desse prédio e perpendicularmente a essa cobertura, está instalado um para-raios. No ponto Q sobre a reta r que passa pelo centro da base do prédio e é perpendicular a MN está um observador que avista somente uma parte do para-raios (ver a figur. 31. (UFRJ) cada usuário de energia elétrica é cobrada uma taxa mensal de acordo com o seu consumo no período, desde que esse consumo ultrapasse um determinado nível. aso contrário, o consumidor deve pagar uma taxa mínima referente a custos de manutenção. Em certo mês, o gráfico consumo (em kwh) X preço (em R$) foi o apresentado a seguir. EM_V_MT_08 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, 15

20 d) 3. determine entre que valores de consumo em kwh é cobrada a taxa mínima. b) determine o consumo correspondente à taxa de R$1.950,00. etermine x nas figuras abaixo: Raio = x = 8 = 18 = 33. (UFRJ) Os pontos médios dos lados de um quadrado de perímetro p são vértices de um quadrado de perímetro: b) c) p 4 p p b) = x Raio = 3cm d) p e) 4p 34. (Fuvest) secção transversal de um maço de cigarros é um retângulo que acomoda exatamente os cigarros como na figura. 16 c) = x Raio = cm Raios = 10cm Se o raio dos cigarros é r, as dimensões do retângulo são: 14r e r(1 + 3 ) b) 7r e 3r c) 14r e 6r d) 14r e 3r e) ( + 3 3) r e r (Unirio) s rodas de uma bicicleta, de modelo antigo, têm diâmetro de 110cm e de 30cm e seus centros distam 0cm. distância entre os pontos de contacto das rodas com o chão é igual a: 198cm b) 184cm c) 17cm Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, EM_V_MT_08

21 d) 160cm e) 145cm (esgranrio) 15 toras de madeira de 1,5m de diâmetro são empilhadas segundo a figura a seguir. alcule a altura da pilha. (Unirio) Na figura abaixo, determine o perímetro do triângulo. 39. (Unirio) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo-se que o perímetro mede 57cm, podemos afirmar que o maior cateto mede: 17cm b) 19cm c) 0cm d) 3cm e) 7cm 40. (esgranrio) No retângulo de lados = 4 e = 3,o segmento M é perpendicular à diagonal. 38. (UFF) figura abaixo representa o quadrado MNPQ de lado = 4cm. Sabendo que os retângulos NXYZ e JKLQ são congruentes, o valor da medida do segmento YK é: b) 3 cm 3cm O segmento M mede: 3/ b) 1/5 c) 5/ d) 9/5 e) 41. (UFF) uas réguas de madeira, MN epq, com 8cm cada, estão ligadas em suas extremidades por dois fios, formando o retângulo MNPQ (fig. 1). Mantendo-se fixa a régua MN epq e girando-se 180º a MN régua epq em torno do seu ponto médio, sem alterar os comprimentos dos fios, obtêm-se dois triângulos congruentes, MNO e QPO (fig. ). EM_V_MT_08 c) d) e) cm cm cm alcule a distância entre as duas réguas nessa nova posição. Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, 17

22 4. (PU) hipotenusa de um triângulo retângulo mede 17cm. diferença entre os comprimentos dos dois outros lados é de 7cm. Qual é o perímetro do triângulo? b) c) 38cm ( ) cm 40cm d) ( ) cm e) 47cm 43. (Unificado) Numa circunferência de 16cm de diâmetro, uma corda é projetada ortogonalmente sobre o diâmetro. Sabendo-se que a referida projeção mede 4cm, a medida de, em cm, é igual a: 6 b) 8 c) 10 d) 1 e) (Unificado) Um triângulo tem lados 0, 1 e 9. O raio da circunferência a ele circunscrita vale: 8 b) 8,5 c) 10 d) 1,5 e) 14,5 45. (Unirio) Na figura abaixo, o triângulo é equilátero, e seu lado mede 3m; H é o ortocentro, sendo que os pontos F e G são os pontos médios dos lados e =, respectivamente. c) d) 4 e) (esgranrio) Na figura abaixo, as quatro circunferências internas têm raio R. 1. x. alcule o raio da circunferência maior. etermine o perímetro do triângulo RS da figura abaixo, onde e medem 15cm e 18cm, respectivamente, sendo Q e Q as bissetrizes dos ângulos e e RS paralelo a. R Q Um triângulo é isósceles, com =. Nele está inscrito um triângulo EF equilátero. S b E a F c 18 Quantos rolos de fita adesiva serão necessários, no mínimo, para cobrir todos os segmentos da figura, se cada rolo possui 1m de fita? 18 b) 0 esignado ângulo ^F por a, o ângulo ^E por b, e ângulo F^E por c, temos: b = a+c b) b = a c c) a = b c Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, EM_V_MT_08

23 3. d) c = a+b e) a = b+c Na figura a seguir, determine x em função de, e. x 7. (UFRJ) Na figura abaixo, o triângulo é equilátero de lado igual a K. 4. (EN) ado o triângulo, tal que ^ = 30º e ^ = 80º, marcam-se sobre a reta suporte do lado os pontos e E, tais que = E = e E >. etermine a soma das medidas dos ângulos ^ e ^E º b) 90º c) 105º d) 135º e) 150º Na figura abaixo, são dados = e o quadrado E. E Seja PM, PN e PS paralelas aos lados dos triângulos, determine PM + PN + PS. 8. onsidere todos os triângulos de perímetro 15m. Nenhum deles pode ter um lado igual a: 8m b) 7m c) 5m d) 4m e) 6m 9. Os três menores lados de um quadrilátero convexo medem 1cm, 4cm e 8cm. Qual dos valores abaixo pode representar, em cm, o quarto lado? 1 b) 13 c) 14 d) 15 e) Na figura abaixo, é um triângulo equilátero. Nessas condições, calcular a medida do ângulo. 6. (PU) Na figura a seguir, temos. Se ^ = 44º, qual a medida do ângulo ^J E? EM_V_MT_08 O valor de x é: 5 b) 5,5 c) 6,5 d) 6 e) 7 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, 19

24 11. Na figura abaixo, =, ^ = 0º, ^E = 50º e ^E= 30º. 15. Na figura, I é o incentro do triângulo. Provar que α = β. α β J H 16. Na figura, é um retângulo e M é um triângulo equilátero. M alcule o ângulo E ^. 1. é um triângulo isósceles de base e altura H. Prolonga-se o lado a partir de, de um comprimento = H, e pelos pontos e H traça-se uma reta que intercepta o lado em P. alcule o ângulo  do triangulo, sabendo que o ângulo P^ mede 10º. 13. No triângulo da figura, =. P Sabendo que = 18cm, calcule P. 17. Na figura abaixo, os pontos, e representam as posições de três casas construídas numa área plana de um condomínio. alcule, se  = 0º, = 50º e E = 60º. (E = ) 14. Na figura, tem-se MN //; NP //; MP//. M Um posto policial estará localizado num ponto P, situado à mesma distância das três casas. Em Geometria, o ponto P é conhecido com o nome de: baricentro. b) ortocentro. c) circuncentro. d) incentro. e) ex-incentro. 0 N Prove que as alturas do triângulo são mediatrizes dos lados do triângulo MNP. P Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, EM_V_MT_08

25 18. Se = e  = 80, calcule α. α O valor de x é: b) c) 15/ 9 10 d) 40/3 e) 16. O triângulo da figura é equilátero, M e M = 5 e = (UFRS)onstroem-se sobre os catetos e, de um triângulo retângulo, os quadrados E e FG. Traçam-se, pelos pontos e F, as perpendiculares de e FF ao suporte. Se + FF = 5cm, alcule. 0. (PU) Na figura, sabendo-se que E = 10m, = 40m, = 50m, E =, então, e podem valer: b) c) d) 5m e 5m 3m e 18m 38m e 1m 40m e 10m e) 50m e 0m 1. (FEI-SP) Na figura, //. 3. O valor de E é: b) c) d) e) 11 Na figura, a reta r é tangente ao círculo e paralela ao segmento E. Se E = 6, E = 5 e E = 7, o valor da medida do segmento é: 3,5 b) 4 c) 4,5 d) 5 e) 5,5 EM_V_MT_08 Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, 1

26 4. (UFF) onsidere o triângulo isósceles PQR da figura abaixo, de lados congruentes PQ e PR, cuja altura relativa ao lado QR é h. 7. Na figura abaixo, é um quadrilátero onde =, = 80º e = 40º. Um ponto P é tal que o triângulo P é equilátero. 5. Sabendo-se que M 1 e M, são, respectivamente, pontos médios de PQ e PR, a altura do triângulo KM 1 M, relativa ao lado M 1 M, é: h 3 b) h 6 h 3 c) h 3 d) 3 h 3 e) 6 (UERJ) Num cartão retangular, cujo comprimento é igual ao dobro de sua altura, foram feitos dois vincos, E e F, que formam entre si um ângulo reto. alcule o perímetro do triângulo P, sabendo que = 6cm e = 3cm. 8. No paralelogramo da figura abaixo, temos EF = 3 e GF = 4. alcule E. 9. Na figura a seguir, M é ponto médio de, N ponto médio de e PQ é paralelo a. onsiderando F = 16cm e = 9cm, determine: as dimensões do cartão; b) o comprimento do vinco. 6. (Unicamp) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em rasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que, após caminhar 1,3 metros sobre a rampa, está a 1,5 metro de altura em relação ao solo. Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. b) alcule quantos metros a pessoa ainda deve cami- nhar para atingir o ponto mais alto da rampa. alcule, sabendo que PM = m. 30. Na figura abaixo, as cordas e medem 5cm e 6cm respectivamente, e H = 3cm. alcule o raio do círculo. Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, EM_V_MT_08

27 31. (UERJ) figura abaixo representa um quadrado e dois triângulos equiláteros. 3. Se cada lado desses triângulos mede cm, calcule o lado do quadrado. Os centros de duas circunferências estão separados de 41m. Os raios das circunferências medem 4m e 5m. medida de H, em cm, é: b) c) d) e) O triângulo é retângulo no vértice. s medianas dos catetos são b e c, e a altura relativa à hipotenusa mede h. Prove que a igualdade abaixo é verdadeira = + h b c 36. (UFRJ) Um observador (O), do ponto mais alto de um farol, vê a linha do horizonte (L) a uma distância d. Sejam h e R a altura do farol e o raio da Terra, respectivamente. alcule o comprimento de tangente comum interna. 33. Três goiabas perfeitamente esféricas de centros, 1, 3 e raios cm, 8cm e cm, respectivamente, estão sobre uma mesa tangencionando-se, como sugere a figura a seguir. Um bichinho que está no centro da primeira goiaba quer se dirigir para o centro da terceira goiaba pelo caminho mais curto. Quantos centímetros percorrerá? 34. O triângulo da figura é equilátero, de lado medindo 0cm. H e H são, respectivamente, as alturas dos triângulos e H. 37. omo R é muito maior que h, pode-se admitir que R + h = R. ssim, prove, usando a aproximação indicada, que d = Rh. b) O raio da Terra tem, aproximadamente, 6 300km. Usando a fórmula do item a calcule a distância d do horizonte, quando o observador está a uma altura h = 35m. (UFF) Na figura a seguir, o vértice Q do retângulo PQR foi obtido pela interseção do arco M de centro em e raio, com hipotenusa do triângulo retângulo. EM_V_MT_08 Sabendo que PQ mede 1cm e QR mede 9cm, determine as medidas dos lados do triângulo. Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, 3

28 38. (PU) Seja um retângulo e seja P um ponto no interior desse retângulo, tal que P = 3cm, P = 4cm e P = 5cm. alcule P. 39. (UFF) Uma folha de papel em forma de retângulo é dobrada no segmento EF, de modo que o vértice coincida com o vértice, como nas figuras. 4. (esgranrio) Um quadrado de lado tem cada um de seus lados divididos em 9 partes iguais. Ligando-se com segmentos de reta os pontos de divisão, segundo a direção da diagonal, obtém-se o hachurado mostrado na figura. Sabendo-se que as dimensões do retângulo são = 8cm e = 4cm, determine a medida do segmento EF. 40. (UFF) Na figura abaixo, o triângulo QRS é equilátero e está inscrito no quadrado MNPQ, de lado L. alcule a soma dos comprimentos dos 17 segmentos assim obtidos. 43. O ponto mais baixo de uma roda gigante circular de raio 6m dista 1m do solo. roda está girando com três crianças que estão, duas a duas, à mesma distância. que distância do solo estão duas delas, no momento em que a outra está no ponto mais alto. 44. anos de 50cm de diâmetro externo são empilhados, como mostra a figura, de modo que cada cano está em contato com seus vizinhos imediatos. 9 Pode-se afirmar que o lado do triângulo é: b) c) d) L L 3 3 L 6 L( + 6) e) L( 6 ) 41. (esgranrio) Na figura a seguir, o ângulo XOY é de 45º. h alcule a altura h indicada. 45. (UFF) Na figura abaixo, as circunferências têm raios iguais a R e estão inscritas em um triângulo equilátero de lado igual a cm. 4 Se e 1 1 e 1 3 razão 3 1 são perpendiculares a OX e se, calcule a são perpendiculares a OY. R R = = Esse material é parte integrante do ulas Particulares on-line do IESE RSIL S/, b) cm cm EM_V_MT_08