2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é:

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1 Aluno(a) Nº. Ano: º do Ensino Médio Exercícios para a Recuperação de MATEMÁTICA - Professores: Escossi e Luciano NÚMEROS COMPLEXOS 1) Calculando-se corretamente as raízes da função f(x) = x + 4x + 5, encontram-se valores complexos de x iguais a: a) + i e i b) + i e i c) 1 + i e 1 i d) 1 + i e 1 i e) + i e i ) Se z = ( + i).(1 + i).i, então a) i b) 1 i c) i d) + i e) + i ) O valor da expressão a) (i + 1) b)- (i 1) c) d) e) i 1 i 1 i 1 x x 1 1 z,será dado por: quando x = i é: 7 7 4) A forma algébrica do complexo z = cos i. sen é: 6 6 a) z = b) z = c) z = i i i d) z = i e) z = i 5) Dados os números complexos z e z, é correto afirmar que z + z é um número: a) natural. b) inteiro. c) racional. d) real. e) imaginário puro.

2 6) O inverso do número complexo z = + i é: a) b) c) 1 i 5 1 i 1 i 5 d) + i e) 1 i 5 5 7) O número complexo z tal que a) 14i b) 8i c) 1 4i d) 9 +i e) 9 i 8) Considerando = 1 i, de módulo a) o afixo de pertence ao º quadrante. b). = c) =. + d) = 8 e) tg = 1 z z z z z z z = i 97 + i i 18 é: 9) A forma trigonométrica (ou polar) do número complexo a) 45 b) 90 c) 15 d) 5 e) 15 e argumento, é falso dizer que: 1 i 1 i tem argumento igual a: 10) Considere os complexos u = 4 + i, v = + i e w = 6 + 4i, cujos afixos,em relação a um sistema de eixos perpendiculares, são, respectivamente, P, Q e R. Sendo O a origem do sistema, a área do quadrilátero OPRQ é: a) 8 b) 9 c) 15 d) 1 e) 10 11) Se i é a unidade imaginária, a soma + 4. i + 6. i i 98 é um número: a) primo. b) divisível por 4. c) múltiplo de 6. d) negativo. e) quadrado perfeito.

3 1) A área do polígono cujos vértices são as representações geométricas das raízes do polinômio p(x) = x 6 1 é: a) b) c) d) e) 4 1) Se z = cos 40 + i. sen 40, então z 15 é igual a: a) 1 b) 1 c) d) e) 1 i 1 i 1 i 14) Calcule o produto a) 0 b) 0 c) 0 d) 0i e) 0i : 15) O número complexo a) cos + i sen 6 6 b) cos 6 i sen 6 c) (sen 6 + i cos 6 d) (sen 6 i cos 6 ) e) (cos 6 i sen 6 ) ) i é igual a: 16) Se x = i, então a) b) i c) + i d) + i e) i x x é: x 1

4 17) Se m(cos + i sen ) = 1 + i, e 0 a) e b) 1 e c) 4 e d) e 4, então os valores respectivos de m e são: e) e 0 18) O quociente a) i b) i 1 1 c) i 1 1 d) i e) 1 1 i 1 é igual a: i ) Se m = 4 + i e n = 5 i, então mn é: a) 0 6i b) i c) 6 i d) 14 7i e) 6 + 7i 0) Qual o valor de a para que o produto ( + ai)( + i) seja um imaginário puro? a) 5 b) 6 c) 7 d)8 e)10 1) Sejam os números complexos m = 1 + i e n = 1 i. Calcule o valor de m 5.n 51. a) n b) m c) n d) m e) 1 ) Se z = 4 + i, então o valor de a) 6 + i b) 1 + 8i c) 8 + 8i d) 1 8i e) 1 + 6i z z é?

5 ) O produto de bi pelo seu conjugado é 1, com b R. Os possíveis valores de b são: a) 0 b) c) d) e) 1 1 4) O inverso do complexo i, é: a) b) c) i 1 i 1 i d) e) i 5) Sendo z = + i, então o inverso de z, é: a) b) c) d) e) 5 4i 41 i 5 4 i i i 5 5 6) O conjugado do número complexo 1 7i a) 5 1 i b) 5 1 i c) 7 d) 1 7i 5 1 i i 1 i e) ( i).( i) 7) Simplificando, obtém-se: ( i).( i) a) 1 b) + i c) i d) 5 e) 5 5, é:

6 8) O módulo de um número complexo é igual a forma algébrica desse número complexo é: a) 1 + i b) i c) 1 i d) i e) 1 i 9) O módulo de um número complexo é igual a forma algébrica desse número complexo é: a) 4 + 4i b) + i c) i d) e) i i 0) Se z = ( a) 4 e 0 b) 1 e 80 c) e 90 d) 6 e 90 e) 6 e 0 6 i ). (1 i) e seu argumento é igual a 5 4, a e seu argumento é igual a 4, a então o módulo e o argumento de z são, respectivamente: 1) M e N são reais que satisfazem a igualdade 5i (M Ni) + i(m + Ni) = 0. Calcule M + N. a) 6 b) 5 c) 1 d) 1 e) 5 ) Resolva a equação z = 5zi, onde z C: a) 5i b) 0 e 5i c) 0 e 5i d) 5i e 5i e) 5 e 5 1 i ) Determine a forma trigonométrica de z =. 5 i a) (cos 15 + i sen 15 ) b) (cos 45 + i sen 45 ) c) cos 10 + i sen 10 d) (cos 15 + i sen 15 ) e) (cos 5 + i sen 5 ) 4) Considere as seguintes afirmações:

7 I) O produto de dois números complexos conjugados é um número real; II) O módulo de um número complexo é um número real não negativo; III) O argumento de qualquer número complexo na forma z = bi (b 0) vale Quais afirmações estão corretas? a) II b) II e III c) I e II d) I e III e) I, II e III 5) A razão entre o módulo de um número complexo não nulo e o módulo de seu conjugado é: a) b) 1 c) 1 d) 1 e) 6) A igualdade ( + i) n = ( i) n se verifica se e somente se: a) n = 4k, k Z b) n = 0 c) n é ímpar d) n é par e) n é primo. 7) Observando a figura, z é igual a: a) b) i c) i d) i e) i i

8 8) A expressão a) 0 b) 1 c) i d) e) i i i i é igual a: 9) O valor de ( a) 64 64i b) 64i c) 64i d) 64 e) 64 + i) 6 é: 40) Se (m + ni)( i) = 0, então m + n é igual a: a) 8 b)10 c) 1 d) 18 e) 0 41) A raiz x da equação m x n = 0, para m = 1 + i e n = i, é: a) 1 i 1 b) i c) d) 1 i 1 i e) 1 i 4) Dados os números complexos z1 =, z = 1 + é: a) z1 e z têm mesmo conjugado; b) a parte real de z1 é menor que a parte real de z; c) a soma de z1 com z é um número real; d) a parte imaginária de z é zero; e) z1, z e z têm módulos iguais. 7 i i e z = i. A alternativa correta 4) O número complexo z e seu conjugado O módulo do número complexo z é igual a: a) b) c) 9 d) 41 e) 41 z satisfazem a igualdade iz+ z = 6 + i.

9 44) A representação gráfica no plano de Argand-Gauss, do conjunto dos números complexos z tais que z < 5 é: 45) O número z = (a ) + (a 9)i será um número real não nulo para: a) a = b) a < ou a > c) < a < d) a = e) a > 0 46) Considere z1 = + i e z = 4 + i. A representação polar de z1 + cos i sen 4 4 a) b) c) cos i sen cos i sen 4 4 cos i sen 4 4 d) e) 7 7 cos i sen 4 4 z é:

10 47) Os vértices do retângulo hachurado da figura abaixo representam os números complexos p, q, r e s. Pode-se afirmar que p + q + r + s é o número complexo: a) i b) i c) 1 d) 0 e) 1 + i 48) Se w = cos 0 + i sen 0 e z = cos 10 + i sen 10, então a) w + z = 0 b) w + z = 0 c) w z = 0 d) w z = 0 e) w 4 + z 4 = 0 49)Considere a figura, onde u e v são números complexos. Se v = u + a) 1 + i b) 1 1 i 1 u c) i d) i 1 e) i, então u vale:

11 50) Os vértices de um triângulo são pontos do plano que representam as raízes complexas de 7. O perímetro desse triângulo é: a) b) c) 9 d) 9 e) ) (1 + i) 15 é igual a; a) 64(1 + i) b) 18(1 i) c) 18( 1 i) d) 56( 1 + i) e) 56(1 + i) 5) Se u é um número complexo, as representações gráficas de u e ui podem ser:

12 Respostas dos testes: 1.A.A.B 4.C 5.D 6.B 7.E 8.D 9.D 10.E 11.D 1.A 1.D 14.B 15.E 16.B 17.D 18.D 19.E 0.B 1.A.C.C 4.E 5.D 6.A 7.D 8.E 9.B 0.D 1.C.B.A 4.C 5.D 6.A 7.D 8.E 9.D 40.C 41.A 4.E 4.D 44.A 45.A 46.B 47.D 48.A 49.E 50.D 51.B 5.A

13 POLINÔMIOS 1. O resto da divisão do polinômio p(x) = x 17x + 7 por q(x) = x 4 é: a) 4 b) 7 c) x d) 5 e) 5x 0 ) A divisão do polinômio p(x) = x 5 x 4 x + m por q(x) = x 1 é exata. O valor de m é: a) b) 1 c) 0 d) 1 e) ) O valor de k para que o resto da divisão do polinômio p(x) = x kx + 1 por x + seja 7 é: a) 7 b) 9 c) 11 d) 9 e) 11 4) Considere os polinômios p(x) = x x + 1, q(x)=x +x e r(x) = x 5 +x 4 x +x x + 1. O grau do polinômio p(x).q(x) + r(x) é: a) 5 b) 4 c) d) e) 1 5) O resto da divisão de x + 4x 1 por x + 1 é igual a: a) 1 b) 5x 1 c) 5x + 1 d) x + 1 e) x 1 6) As soluções da equação q(x) = 0 onde q(x) é o quociente do polinômio x 4 1x + 4x + 1x 5 por x 6x + 5 é: a) 1 e 5 b) 1 e 7 c) 1 e 7 d) 1 e 5 e) 1 e 6

14 7) O resto da divisão de P(x) = ax x + 1 por Q(x) = x é 4. Nessas condições, o valor de a é: a) b) c) d) 1 1 e) 1 8) Sejam os polinômios f = x + px + q e g = (x p).(x + q), com p e q reais não-nulos. Se f é idêntico a g, então o valor de p + q é igual a: a) 4 b) c) d) 0 e) 1 9) Se o polinômio x 4 + px + q é divisível pelo polinômio x 6x + 5, então p + q vale: a) 1 b) c) 5 d) 4 e) 10 10) Dividindo-se p(x) = x x + 8x + por s(x), obtém-se um quociente q(x) = x 1 e um resto r(x) = x + 5. Então s(x) é igual a: a) x + x + 1 b) x x + 1 c) x +x 5 d) x + x e) x x + 11) Os respectivos graus dos polinômios f, g e h são três números naturais consecutivos. Se o grau do produto f.g.h é 15, então o grau da soma f + g + h é igual a: a) b) c) 4 d) 5 e) 6 1) O polinômio p(x) = x + ax bx + 5 é divisível por x 1. Dividido por x + 1, deixa resto. Então, o valor de a + b é: a) 6 b) 10 c) d) e) 4

15 1) Para que sejam idênticos os polinômios p(x) = valor de a + b + c deve ser igual a: a) 1 b) c) d) 4 e) 5 x b a cx x e g(x) = x 4x + x + 4, o 14) Sabe-se que na divisão de um polinômio f por x 1 obtém-se quociente x e resto 4x 1. O resto da divisão de f por x é: a) 4x 1 b) 1 4x c) 7 d) 8 e) 11 15) Sabe-se que o polinõmio f = x 4x + x + m, no qual m é uma constante real, é divisível por x. Qual é o quociente da divisão de f por x + 1? a) x 5x + 1 b) x + 5x + 1 c) x 5x 6 d) x + 5x + 6 e) x 5x ) A igualdade x 1 A B 1 x x x x condições, pode-se afirmar que o valor de A + B é: a) b) 5 c) 8 d) 11 e) 1 é verdadeira para todo número real x. Nessas 17) O valor de m para o qual x + é fator de x x + mx 1 é: a) 0 b) 0 c) 16 d) 16 e) 0 18) O resto da divisão x 5 ax 4 + por x + 1 é. O valor de a é: a) 4 b) c) 0 d) e) 4

16 19) Os valores de m e n tais que: a) e 1 b) e c) 1 e d) e e) 1 e x 1 m n x x x 1x, são respectivamente: 0) Se f e g são polinômios de graus4 e 5 respectivamente, então o grau de: a) f + g é 5 b) f.g é 0 c) f + g é 9 d) f.g é 10 e) g p é 4 1) Se g(x) é um polinômio de grau 4, então o grau de [g(x)] + [g(x)] + g(x) é: a) 4 b) 8 c) 1 d) 16 e) 4 ) A divisão de f(x) por x + 1 tem quociente x e resto 1. O polinômio f(x) é: a) x + x 1 b) x + x + 1 c) x + x d) x x + x e) x x + x 1 ) Se a divisão do polinõmio f(x) = x + mx nx + por g(x) = x x + 1, for exata, então os valores de m e n são, respectivamente: a) e 1 b) 1 e c) e d) 1 e 1 e) e 4) O resto da divisão do polinômio x 100 por x + 1 é: a) x 1 b) x c) 1 d) 0 e) 1 5) Para que x 4 mx + 5x + 5x ( m + 1) seja divisível por x 1, m deve ser igual a: a) 5 b) 1 5 c) 1 5 d) 1 e) 5

17 6) O resto da divisão de g(x) = x + mx x + m por x 1 é 4. O valor de m é: a) 0 b) 1 c) d) 4 e) 6 7) O valor de a de modo que 1 seja raiz de x + (a + )x + (1 a)x = 0 é igual a: a) 0 b) 1 c) 1 d) e) 8) Seja P(x) um polinômio de 1º grau. Se P(1) = 5 e P(- 1) = 1, então P(x) é: a) 10x b) 5x 1 c) x + 4 d) 5x + 1 e) x + 9) Se f(x) e g(x) são polinômios de graus respectivamente iguais a a e a b, então o grau de 5(x 1).f(x).g 4 (x) é? a) 1ab b) 1ab 4 c) ab 4 d) + a + 4b e) + a + b 4 0) O valor de k para que o polinômio (k + k 6k)x kx +7 = 0 seja de grau é? a) ou 0 b) ou c) ou 1 d) ou 0 e) ou 1) O resto da divisão de P(x) = x 5 x 4 + x + 1 por d(x) = x 1 é: a) 1 b) 1 c) d) e) 9 7 ) Se q(x) é o quociente da divisão de p(x) = x 1x + 41x 0 por d(x) = x 7x + 6, então q() é igual a? a) 8 b) c) d) e) 8

18 ) Na divisão de p(x) = 4x 7x + 5 por d(x), o quociente é q(x) = x e o é resto r(x) =. O valor de d( a) 1 b) 6 c) 9 d) 1 e) 0 ) é: 4) Considere as afirmações: I) Se f(x) e g(x) são polinômios de grau k, então f(x) + g(x) é um polinômio de grau k; II) O resto da divisão de f(x) = kx + x x por d(x) = x 1 é igual a k; III) O produto de um polinômio de grau k por (x m) é um polinômio de grau k + 1. Estão corretas as afirmações: a) I b) I e II c) III d) II e III e) I, II e III Respostas dos testes de vestibulares 1.B.E.E 4.C 5.E 6.C 7.A 8.A 9.A 10.E 11.E 1.C 1.E 14.E 15.E 16.A 17.D 18.A 19.C 0.A 1.C.E.C 4.E 5.E 6.C 7.C 8.E 9.D 0.B 1.E.B.B 4.D XXX

19 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 1. Se x 4 x + x + x 4 = 0 admite a raiz complexa 1 i, então a soma das duas raízes reais dessa. equação é: a) b) 1 c) 1 d) e) 8. Uma das raízes do polinômio x + x 9x 18 é. A soma das outras duas raízes é: a) b) 1 c) 0 d) 1 e). Se é raiz dupla da equação x mx + n = 0, então m e n são, respectivamente: a) e 4 b) e c) e d) e 4 e) 4 e 4. Um polinômio p(x) de grau tem as seguintes propriedades: É divisível por x + O resto da divisão por x 1 é Zero é uma raiz de multiplicidade O polinômio p(x) tem equação: a) p (x) = x + x b) p(x) = x + x c) p(x) = x + x + 1 d) p(x) = x + x e) p(x) = x 5. O polinômio p(x) está representado pela curva da figura. A expressão que pode representar o polinômio p(x) é: a) x(x 1) 4 b) x(x 1) c) x(x 1) d) x (x 1) e) x (x 1) 6. O gráfico representa a função y = p(x). Sabendo-se que p(x) é um polinômio com raízes reais, todas elas apresentadas no gráfico, assinale a afirmativa incorreta: a) o polinômio tem uma raiz múltipla; b) o polinômio tem três raízes distintas; c) o grau do polinômio é par; d) o termo independente do polinômio é zero; e) o número total de raízes do polinômio é.

20 7. O gráfico representa a função y = f(x). O conjunto {x R f(x) < 0} é igual a: a) ]1,[ b) ], 1[ U ]1, [ c) ], 1[ U ]1, + [ d) ], 0[ e) ], 0[ 8. O polinômio p(x) tem coeficientes reais, é divisível por x + 4 e p(1 i) = 0. Com esses dados pode-se afirmar que o menor grau que p(x) pode ter é: a) b) c) 4 d) 5 e) 6 9. A equação x x + 7x 5 = 0 tem raízes a, b e c. Dentre os números dados por a, b e c, o maior é: a) 1 b) c) d) 5 e) Um fator de p(x) = x 1 é: a) x + x + 1 b) x x + 1 c) x 1 d) x + 1 e) (x 1) 11. A função polinomial que melhor se identifica com a figura é definida por: a) p(x) = x + x + b) p(x) = x + x c) p(x) = (x 1)(x ) d) p(x) = x 4x + 5x + e) p(x) = x + 4x 5x + 1. A equação algébrica de raízes, 0 e 1 é: a) x x = 0 b) x x = 0 c) x + x x = 0 d) x x x = 0 e) x + = 0

21 1. O quadrado da soma das raízes da equação x + 4x x = 0 é: a) b) 1 19 c) 15 d) 16 e) Sendo uma raiz da função polinomial f(x) = x 4x 18x + 6, a soma das demais raízes é: a) 1 b) c) d) 4 e) Se, 1 e são raízes de p(x) = x + mx +nx + p, então o quociente de p(x) por (x 1) é: a) x + x + 6 b) x + x 6 c) x x 6 d) x + 5x + 6 e) x + 5x Se a e b são as raízes da equação 7x + 9x + 1 = 0, então (a + 7)(b + 7) vale: a) 49 b) 4 c) 7 d) 0 e) Se os números, m e n são as raízes da equação x + 5x x 4 = 0, então o valor de m + n é: a) 6 b) c) 1 d) e) A multiplicidade da raiz 1 da equação x 4 x x + 5x = 0 é: a) 1 b) c) d) 4 e) Seja p(x) = x + 6x x 0. Se p() = 0, então, o conjunto solução de p(x) = 0 é: a) {,, 5} b) {,, 5} c) {,, } d) {,, 5} e) {, 6, 0}

22 0. Um polinômio p(x) de terceiro grau tem raízes 1 e. S e p( 1) = 4, a terceira raiz de p(x) é: a) b) c) 5 5 d) e) 1. O número de raízes reais do polinômio p(x) = (x + 1)(x 1)(x + 1) é: a) 0 b) 1 c) d) e) 4. A equação que admite as raízes 1, a) x 5 x 4 x + x + x 1 b) x 5 5x 4 + 5x x = 0 c) x 5 5x 4 + 4x 5x + = 0 d) x 4 x 5 4x + x + = 0 e) x 5 x 4 4x + x + x = 0 = 0 1. Uma raiz da equação z 4 z 1 + i = 0 é: a) i b) i c) 1 d) 1 e) 0, 0, 1 e é: 4. Dado que n é um número par, o número de raízes reais da equação x n + 1 = 0 é: a) 0 b) 1 c) d) n e) infinito 5. A soma das raízes da equação x + x x = 0 é: a) b) 1 c) 0 d) 1 e) 6. O menor grau que pode ter uma equação algébrica de coeficientes reais com raízes, i e 1 + i é: a) 6 b) 5 c) 4 d) e)

23 7. O polinômio do º grau cujo gráfico está representado na figura a seguir é: a) b) c) 4 1 x 6x + x x x x + 6x x + 4x d) x 4x + 5x e) x 5x + 8x 4 8. O valor de m que torna iguais as raízes da equação x + x + m = 0 é: a) 1 b) 1 c) d) e) não existe 9. Os reais 1, a e b são soluções distintas de x 6x + 11x 6 = 0. O valor de a + b é: a) 6 b) 5 c) 5 d) 6 e) Considere o gráfico abaixo. Esse gráfico pode representar a função definida por: a) f(x) = x + 5x 0x b) f(x) = x + 5x 4x 0 c) f(x) = x 4 + 5x 0x 4 d) f(x) = x 4 + 5x 4x 0 e) f(x) = x 4 + 5x 4x 0x 1. Considerando as raízes do polinômio p(x) = x , pode-se afirmar que p(x): a) não tem raízes no conjunto dos números complexos b) tem uma raiz de multiplicidade 4 c) tem quatro raízes complexas distintas d) teem duas raízes duplas e) tem por gráfico uma curva que troca de concavidade

24 . Considere o gráfico abaixo, que representa uma função polinomial f, de terceiro grau e domínio R. Sendo g(x) = f(x) 5, o número de raízes da equação g(x) = 0 é: a) 0 b) 1 c) d) e) 4. O polinômio p(x) = x 4 + 4x + 6x + 4x + 1 tem : a) apenas duas raízes reais distintas b) apenas duas raízes positivas c) todas as raízes positivas d) quatro raízes iguais e) quatro raízes distintas Respostas dos testes 1- C - C - D 4- D 5- A 6- E 7- B 8- C 9- C 10- A 11- E 1- C 1- D 14- E 15- B 16- B 17- B 18- C 19- B 0- C 1- C - E - A 4- A 5- A 6- B 7- A 8- A 9- C 0- E 1- C - B - D xxx xxx xxx

25 GEOMETRIA ANALÍTICA DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 1. A distância do ponto A ( -1, ) ao ponto B (, 6 ) é: a. b. 4 c. 5 d. 6 e.. A distância do ponto A ( a, a ) ao ponto B ( 6 a, 1 a ) é: a. 10 b. 1 c. 1 a d. 1 a e. 17 a. O valor de y, para qual e distância do ponto A ( 1, 0 ) ao ponto B ( 5, y ) seja 5 é: a. b. 4 c. d. e Os pontos pertencentes ao eixo das abscissas que distam 1 unidades do ponto A ( -, 5 ) têm abscissas cuja soma é: a. 4 b. -4 c. 4 d. 14 e O ponto do eixo das ordenadas equidistantes dos pontos A( 1, ) e B ( -, ) tem ordenadas igual a : a. 4 b. -4 c. d. 5 e A somas das coordenadas do ponto da reta suporte das bissetrizes dos quadrantes impares equidistantes dos ponto A ( 1, ) e B ( -, ) é: a. 4 b. -4 c. -10 d. 10 e. 0

26 8. O perímetro do triângulo ABC dados A ( -1, 1 ), B ( 4, 1 ) e C ( -1, 1 ) é: a. 0 b. 15 c. 17 d. 5 e. 9. O valor real de x para que o triângulo formado pelos pontos A ( -1, 1 ), B (, 5 ) e C ( x, ) seja retângulo em B é: a. b. 4 c. 5 d. 6 e ( CESCEA - SP ) O ponto do eixo Ox eqüidistante dos pontos ( 0, -1 ) e ( 4, ) é: a. ( -1, 0 ) b. ( 1, 0 ) c. (, 0 ) d. (, 0 ) e. ( 8, 0 ) 11. ( PUC - SP ) Sendo A (, 1 ) B ( 4, -4 ) e C ( -, ) vértices de um triângulo, então esse triângulo é: a. retângulo e não isósceles b. retângulo e isósceles c. equilátero d. isósceles e não retângulo e. escaleno e não retângulo PONTO MÉDIO 1. A soma das coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades ( -1, 4 ) e (, 10 ) é: a. 16 b. 18 c. 10 d. 8 e. 6. A soma das coordenadas dos dois pontos, que dividem o segmento de extremidades ( 0, ) e ( 6, 11 ), em três segmentos congruentes, é: a. b. 19 c. 1 d. 15 e A soma das coordenadas do baricentro do triângulo ABC, sendo A ( 0, 0 ), B ( 4, 1 ) e C (, 8 ) é: a. -1 b. 1 c. 5 d. 15

27 e Um triângulo ABC é tal que o seu baricentro é o ponto (, 1 ). Sendo A ( -1, ) e B (, ) podemos afirmar que a ordenada de C é : a. 4 b. - c. -4 d. -1 e A soma das coordenadas do ponto simétrico de A ( 1, ) em relação ao ponto P ( 4, 1 ) é : a. 7 b. 6 c. 1 d. 11 e O comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC sendo A (-1, ), B (, ) e C ( 4, 7 ) a. 4 b. c. 5 d. 6 e. 8. O comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC, sendo A (, 1 ) e G ( -4, 9 ), onde G é o baricentro, é: a.10 b.1 c.8 d.15 e.5 COEFICIENTE ANGULAR EQUAÇÃO DA RETA 1. A equação da reta que contém as bissetrizes do 1º e º quadrantes é: a. y = x b. y = -x c. y = x d. y = x/ e. x = y. A equação da reta que contém as bissetrizes do º e 4º quadrantes é : a. y = x b. y = -x c. y = x d. y = x/

28 e. x = y. A equação da reta que passa pela origem e pelo ponto A (, 5 ) é : a. y = x b. y = 5x/ c. y = x/ d. y = x/5 e. y + x = 0 4. O coeficiente angular da reta que forma com o eixo das abscissas um ângulo de 0º é: a. / b. c. - d. - / e. / 5. A reta que passa pelos pontos A ( 1, ) e B ( -1, 6 ) intercepta o eixo das abscissas no ponto: a. ( 1, 0 ) b. (, 0 ) c. ( 0, ) d. ( -, 0 ) e. ( -1, 0 ) 6. A reta que passa pelos pontos A (, -1 ) e B (, 5 ) intercepta o eixo das ordenadas no ponto: a. ( 0, 17 ) b. ( 0, -17 ) c. ( 0, 1 ) d. ( 0, -1 ) e. ( 0, -1 ) 7. A reta que passa pela origem do sistema cartesiano e pelo ponto P (, ) é: a. x - y = 0 b. x - y = 0 c. y = x d. y = x e. y = / x 8. Uma equação da reta que intercepta os eixos coordenados nos pontos ( 0, ) e ( -1, 0 ) é : a. y = - x b. y = - x + c. y = - x - 1 d. y = x + e. y = x Uma equação de reta que intercepta a bissetriz do primeiro quadrante, num ponto cuja abscissa é e tem uma inclinação de 15º é: a. x - y - 4 = 0 b. x + y - 4 = 0

29 c. x - y + 4 = 0 d. x + y + 4 = 0 e. x + y = Uma equação de reta que passa pelos pontos (, 4 ) e (, 7 ) é: a. x = b. y = c. y - x = d. y = - x e. y = x 1. A equação da reta que é paralela à reta suporte das bissetrizes dos quadrantes impares e passa pelo ponto (, ) é: a. x + y + 1 = 0 b. x - y -1 = 0 c. x + y - 1 = 0 d. x - y + 1 = 0 e. x - y - = 0 1. Sejam as retas r: y = 6 e s: a reta que passa pela origem do sistema cartesiano e pelo ponto (, 9 ). A área do triângulo formado por essas retas e pelo eixo das ordenadas é: a. 1 b. 10 c. 8 d. 6 e A equação da reta que passa pela origem e pelo vértice da parábola y = x - 6x + 4 é a. x + 5y = 0 b. 5x + y = 0 c. 5x - y = 0 d. x - 5y = 0 e. x + y - 15 = O valor de m para que a reta de equação m.x + y - = 0 passe pelo ponto A ( 1, -8 ) é: a. 10 b. -10 c. 6 d. -6 e. -1/8 16. Os pontos ( a, 1 ) e (, b ) estão sobre a reta x + y = 0. A distância entre eles vale: a. b. c. d. e. nda

30 17. ( PUC - SP ) As retas x + y = 11 e x - y = 1 passam pelo ponto ( a, b ). Então a + b vale: a. 4 b. 5 c. 6 d. -4 e. 18. ( FGV - SP ) A equação da reta na figura é: a. x + y = 6 b. x - y = 6 c. x + y = 6 d. -x + y = 6 e. -x + y = ( UEL - PR ) Seja a função y = mx + t representada no gráfico a seguir, os valores de m e t são respectivamente: a. -/ e - b. -/ e c. / e d. e -6 e. e 6 0. ( FM ITAJUBA-MG ) O valor de m de modo que a reta de equação mx - 5y + 1 = 0 tenha coeficiente angular igual a 4 é: a. 0 b. 5 c. -10 d. 10 e ( FGV - SP ) Considere o gráfico: A equação da reta r é: a. y = x + 1 b. y = x+1 c. y - x = d. y + x = 1 e. y + x = 1

31 . ( UFPR ) O ponto P ( -4, ) é o ponto médio do segmento da reta AB, cujas extremidades estão sobre os eixos coordenados. Qual será a equação da reta AB? a. x + y + 1 = 0 b. x - y + 7 = 0 c. x - 4 y + 4 = 0 d. x + y - 1 = 0 e. x + y + 6 = 0. O ponto de intersecção das retas ( r ) x+y-5=0 e (s) x - y - 7 = 0 é: a. ( 1, 4 ) b. ( 4, 1 ) c. ( 1, 7 ) d. ( -4, 9 ) e. ( -1, 6 ) 4. A equação da reta que passa pela intersecção das retas x + y - = 0 e x - y + 5 = 0 e tem coeficiente angular igual a /4 é: a. 1x + 9y - 50 = 0 b. 1y - 9x = 0 c. 1y + 9x + 50 = 0 d. 1y - 9x - 50 = 0 e. nda 5. O valor de K, para a reta kx - 4y + k = 0 passe no ponto de intersecção das retas x - y + = 0 e x + y - 9 = 0 é: a. 7 b. c. 9 d. 5 e (AMAM ) Qual a equação da reta que passa pelo ponto P ( 1, ) e forma um ângulo de 45º com o sentido positivo do eixo x? a. y = x -1 b. y = x + 1 c. y = 1 - x d. y = x + 1 e. y = 1 - x 7. ( FUVEST - SP ) Sejam os pontos A ( 1, 1 ), B (, ) e C (, 1 ). A altura do triângulo ABC pelo vértice A tem equação: a. y = x b. y = x + 1 c. y = x - 1 d. y = x + 1 e. 10y = 9x + 1

32 8. ( CESCEM. SP ) As retas x - y + = 0 e x - y + 6 = 0 interceptam-se : a. sobre o eixo das ordenadas; b. no ponto ( -6, 0 ) c. sobre o eixo das abscissas d. na origem dos eixos coordenados. e. no ponto ( 1, 5 ) POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS 1. (UEPG - PR) - Para que as retas.x + m.y - 10 = O e m.x + 8.y + 5 = 0 sejam paralelas, o valor de m deve ser: a. 4 b. - 4 c. 4 ou -4 d. -1 e. nda. (CEFET) - A reta 7.x - y + 7 = 0 determina um segmento sobre os eixos coordenados. Qual a mediatriz desse segmento? a. x + y - 5 = 0 b. 7y + x = 0 c. x + 7y - 4 = 0 d. 7x + y + 7 = 0 e. x + 7 y = 0. (CESCEA) - As retas e são paralelas se: a. p + m = 0 b. m = - p c. p = m d. p/m = 1 e. p.m = 1 4. ( PUC - SP ) As retas ( m- )x + y -1 = 0 e x + my + = 0 são paralelas, somente se: a. m = b. m = -1 c. m = 1 d. m = e. m = ou m = (UEPG-PR) A equação da mediatriz do segmento cujas extremidades são as intersecções da reta x - y - 6 = 0 com os eixos coordenados é: a. x - y - 8 = 0 b. x - y + 8 = 0 c. x + y + 8 = 0 d. x + y - 8 = 0 e. nda

33 6. ( UFPR ) As equações das retas que passam pelo ponto (, -5 ) e são uma paralela e outra perpendicular à reta x - y + = 0 são : a. x-y - 11 = 0 e x + y + 7 = 0 b. x + y - 11 = 0 e x + y + 7 = 0 c. x + y + 11 = 0 e x + y + 7 = 0 d. x + y - 11 = 0 e x - y - 7 = 0 e. nda 7. ( CESCEM - SP ) Para que a reta x - y + 15 = 0 seja paralela a reta determinada pelos pontos A(a, b) e B ( -1, ), o valor de a é: a. -b + 5 b. b - 5 c. b - 7 d. -b + 7 e. ( b/ ) - ( 7/ ) 9. A equação da reta suporte da altura relativa ao lado BC do triângulo ABC, de vértices A ( 1, 1 ), B ( -1, ) e C (, 6 ) é: a. x + y = 0 b. x + y - = 0 c. x - y + = 0 d. x + y e. x - y - = ( ITA - SP ) Dadas as retas r 1 : x + y - 5 = 0, r : x - y - = 0 e r : x - y -1 = 0 podemos afirmar que: a. são a paralelas b. r 1 e r são paralelas c. r 1 é perpendicular a r d. r perpendicular a r e. as três retas são concorrentes num mesmo ponto 1 ( CEFET ) Qual é o ponto simétrico do ponto P (, ) em relação a reta x - y - = 0? a. ( 4, - ) b. ( 6, -1 ) e ( 4, - ) c. ( 6, -1 ) d. (, - ) e. ( 0, 1 ) 1. ( CEFET ) O valor de m para a qual a reta x + y/m = 0 e x - y + 1 = 0 são perpendiculares é: a. -1/ b. -1 c. 1 d. 1/ e. -

34 14. ( FUVEST - SP ) São dados os pontos A ( 1, 1 ) e B ( 9, ). A mediatriz do segmento AB encontra o eixo dos y no ponto de ordenada igual a : a. 0 b. 1 c. d. e ( CEFET ) Determine a equação da reta que passa pelo ponto ( 0, -1 ) e é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares: a. x + y = -1 b. x - y = c. x + y = - d. x - y = 1 e. x - y = -1 ÁREA DE POLÍGONO 1. ( UEL - PR ) Os pontos ( -, 4 ) e ( 6, - 4 ) são os vértices de um triângulo equilátero. A área desse triângulo, em unidades de superfície é: a. 16 b. 4 c. 48 d. 7 e. 96. ( PUC - BA ) Considere o triângulo de vértices A ( 0, 0 ),B ( 1, 4 ) e C ( 4, 1 ). Sua altura em relação à base BC mede : a. b. c. 4 d. 4 e. 5. Dado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, considere os pontos A (, ), B (4, -1) e C (m, 0). Para que AC + CB seja mínimo, o valor de m deve ser: a. 7/ b. 8/9 c. 10/ d.,5 e. 11/

35 4. ( UFPR ) Em um sistema de cartesiano ortogonal, qual é a área do triângulo determinado pelas retas de equações x - y - 1 = 0, x = 5 e pelo eixo das abscissas? a. 8 b. 1 c. 16 d. 6 e A área do triângulo formado pela reta que passa pelos pontos A ( 1, - ) e B (, ), pelos eixos coordenados, é: a. 8 b. 4 c. 16 d. 5 e. 10 DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA 1. ( CEFET ) A distância da reta x + y - 4 = 0 à origem do sistema cartesiano é : a. 1 b. c. d. 4 e.. Qual é a distância entre as retas x + 4y - 1 = 0 e x + 4y + 8 = 0? a. 4 b. 5 c. d. e. 6. ( UFRS ) A distância do ponto (, m ) à reta x - y = 0 é. O valor de m é: a. -1 ou 6 b. -6 c. d. - ou 6 e. ou ( PUC ) A distância do ponto P (, 1 ) a reta r de equação x + 5y -1 = 0 é: a. b. c.

36 d. e. 5 ( CESCEA - SP ) A distância de P ( 1, -1 ) à reta de equação y + x + 8 = 0 é: a. b. c. d. e. nda 6. ( CESCEA - SP ) Seja r a reta que passa pelo ponto (, ) e é paralela a reta x - y + = 0. Então, a distância do ponto ( -, 0 ) à reta r é: a. b. 4 c. / d. e. nda 7. A medida da altura do triângulo ABC relativa ao lado BC sendo A (, 5 ), B ( 0, -1 ) e C ( 4, ) é: a. b. 4 c. 5 d. 6 e. 5/ 8. Qual é o raio de uma circunferência de centro (, 0 ) e tangente à reta t de equação x + 4y + 9 = 0? a. 1 b. c. d. 4 e A distância do centro C (, ) da circunferência à reta 5x + 1 y + 6 = 0 é: a. b. 4 c. 5 d. e O raio da circunferência de centro (, 1 ) que tangência a reta de equação 8x - 15 y + 8 = 0 é: a. 1

37 b. c. 1/17 d. e. / 11. ( CESCEM - SP ) As retas x + y - = 0 e x + y + 5 = 0 são paralelas. A equação da reta paralela e eqüidistante dessas retas é: a. x + y + 1 = 0 b. x + y - 1 = 0 c. x + y - = 0 d. x + y + = 0 e. x + y - 5/ = 0 CIRCUNFERÊNCIA 1. A equação da circunferência de diâmetro AB, dados A ( -1, 5 ) e B (, ) é: a. x + y = 5 b. ( x - 1 ) + ( y - 4 ) = 5 c. ( x - 1 ) + ( y - 4 ) = d. ( x + 1 ) + ( y - 4 ) = 5 e. ( x - 1 ) + ( y + 4 ) =. Uma equação da circunferência de raio 1, localizada no º quadrante e tangente aos eixos coordenados é: a. ( x + 1 ) + ( y - 1 ) = 1 b. ( x - 1 ) + ( y - 1 ) = 1 c. ( x + 1 ) + ( y + 1 ) = 1 d. ( x - 1 ) + ( y + 1 ) = 1 e. ( x + 1 ) + ( y - 1 ) = 4. A soma das coordenadas do centro de uma circunferência de raio 5, e que passa pelo ponto P ( 1, 0 ) e tem esse centro na reta suporte da bissetriz dos quadrantes impares é: a. 8 ou 6 b. 8 ou -6 c. -8 ou 6 d. 4 ou - e. 10 ou Uma equação reduzida da circunferência que passa pelos pontos ( 0, 0 ), ( 0, ) e (, 0 ) é: a. ( x - 1 ) + ( y + 1 ) = b. ( x - 1 ) + ( y - 1 ) = c. ( x - 1 ) + ( y - 1 ) = 1 d. ( x - 1 ) + ( y + 1 ) = 1 e. ( x + 1 ) + ( y + 1 ) = 1 5. O raio da circunferência de centro (, 1 ), e tangente à reta 5x + 1 y + 4 = 0 é: a. b. 1 c. 6 d. e.

38 6. (UEPG-PR) A reta t: 4x + y + 1 = 0 tangência a circunferência x + y - 6x - 8y + k = 0 (k R). O raio dessa circunferência mede: a. 5 b. 7/10 c. 7 d. é impossível de calcular e. 7. ( UEL - PR ) Seja P um ponto do eixo das ordenadas pertencentes à reta de equação x - y - 6 = 0. A equação da circunferência de centro em P e tangente ao eixo das abscissas é: a. x + y = 4 b. x + y + 4x = 0 c. x + y + 4y = 0 d. x + y - 4x = 0 e. x + y - 4y = 0 8. (FESP-SP) A reta r passa pelo centro da circunferência x + (y+1) = 4 e é paralela à reta x - y + 7 = 0. A equação da reta é: a. y = x + 1 b. y = x + c. y = x - 1 d. y = -x + e. y = -x ( UFPR ) A circunferência x + y - 6x + 8y -1 = 0. a. tem centro no ponto (, -4 ) b. tem centro no ponto ( 4, - ) c. tem raio d. tem raio igual a / e. tem centro no ponto ( - /, ) 11. ( UFPR ) O raio da circunferência de equação x + y - 8x + 6y = 0 a. a b. c. 4 d. 5 e A distância do ponto P ( 1, 1 ) a circunferência de equação x + y -x + 4y - 0 = 0 é: a. 8 b. c. 5 d. 4 e. 9

39 14. A soma das coordenadas do ponto da circunferência x + y - 4x - 6y = 0 mais afastado da origem é: a. 1 b. 9 c. 5 d. 10 e. 5/ 15. ( UNIUBE ) A área da região delimitada pela circunferência x + y + 6x - 8y + 7 = 0 é: a. 18 b. 4 c. 6 d. 49 e ( EFOA ) A área do quadrado inscrito na circunferência x + y + 4x - 6y - = 0 é: a. 8 b. 1,5 c. 16 d. 0 e. 17. ( UEPG - PR ) A equação da circunferência tangente aos eixos coordenados e tangentes à reta x = 6 é: a. x + y - x - y + = 0 b. x + y - 6x - 6y + 9 = 0 c. x + y - x + y + = 0 d. x + y - 6x - 6y + = 0 e. x + y - x + y + 9 = ( FUVEST-SP ) Uma circunferência de raio, localizada no primeiro quadrante, tangência o eixo x e a reta de equação 4x - y = 0. Então, a abscissa do centro dessa circunferência é: a. 1 b. c. d. 4 e ( UFSE ) Considere as circunferências 1 : x + y = 1 e : x + y - 4x - 4y + 4 = 0. A distância entre os seus centros é: a. b. c. d. / e.

40 POSIÇÕES ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA 1. Para que o ponto P (, k ) seja externo a circunferência ( x + 1 ) + ( y -1) = 5, devemos ter a. k < - ou k > 5 b. - < k < 5 c. k = - d. k > - e. k > 4. O número de retas tangentes à circunferência x + y = 1, passando pelo ponto P ( 1, ) é: a. 0 b. 1 c. d. e. infinitas 4. A distância do ponto P (, -1 ) à circunferência x + ( y - ) = 16 vale: a. 0 b. 1 c. d. e A área da coroa, determinada pelas circunferências x + y - x - 4y + = 0 e x + y - x - 4y + 1= 0 é: a. b. 4 c. 6 d. 8 e ( FUVEST - SP ) O segmento AB é o diâmetro da circunferência x + y = 10y. Se A é o ponto (, 1 ) então B é o ponto: a. ( -, 9 ) b. (, 9 ) c. ( 0, 10 ) d. ( -, 1 ) e. ( 1, ) 8. ( UNAERP - SP ) As circunferências de equações x + y = 90 e x + y - 10 x - 10 y + 46 = 0. a. interceptam-se num único ponto, localizado no primeiro quadrante. b. interceptam-se num único ponto, localizado no quarto quadrante c. não tem pontos em comum d. interceptam-se em dois pontos, localizados no primeiro quadrante e. interceptam-se em dois pontos,,localizados no quarto quadrante

41 POSIÇÕES ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA 1. O valor positivo de K, para que a reta x + 4y + k = 0 seja tangente a circunferência x + y - x - 4y - 4 = 0 é: a. 6 b. 6 c. d. 4 e.. O raio da circunferência de centro C ( 0, ) tangente a 5x - 1y + 10 = 0 é: a. 1 b. c. d. 4 e. /. A distância da reta x + 4y+ = 0 até a circunferência x + y - 6x - y + 6 = 0 é: a. 1 b. c. d. 4 e. / 4.A soma das abscissas dos pontos de intersecção de (r) x - y - = 0 e circunferência x + y - x - y - = 0 é: a. b. c. 4 d. 5 e. 6 5.A soma das coordenadas do ponto de tangência entre a reta x + y = 0 e a circunferência x + y - 4y + = 0 a. 0 b. 1 c. d. -1 e A equação da reta tangente à circunferência x + y = 5 que passa pelo ponto (, 4 ) é: a. x + 4y - 5 = 0 b. x + 4y + 5 = 0 c. 4x + y - 5 = 0 d. x + 4y - 16 = 0 e. nda

42 7. (PUC-PR) Considere a circunferência de equação x + y + x + y - 7 = 0 e as retas y - x + k = 0. Uma dessas retas é tangente à circunferência se o valor de k for igual a: a. b. c. - d. - e ( UFRGS ) O eixo das abscissas determina na circunferência x + y - 6x + 4y - 7 = 0 uma corda de comprimento: a. b. 5 c. 6 d. 7 e ( PUC - PR ) A equação da circunferência concêntrica com a circunferência x + y - 8x + 1 y = 0 e tangente a reta r: 5x + 1y = 0 é: a. ( x - 4 ) + ( y + 6 ) = 9 b. ( x - 4 ) + ( y + 6 ) = 16 c. ( x + 4 ) + ( y - 6 ) = 16 d. ( x + 4 ) + ( y - 6 ) = 9 e. x + y - 8x + 6y - 1 = 0 1. ( PUC - MG ) Um valor de b para que a reta y = x + b seja tangente à circunferência x + y = 1 é igual a: a. 1 b. c. d. e. 14. A equação da reta tangente à circunferência x + y - 6y = 0 que passa pela origem do sistema cartesiano é": a. x + y = 0 b. y = 0 c. x = 0 d. x - y = 0 e. x - y = 15. ( PUC - SP ) A equação da circunferência de centro C ( -, k ) e tangente ao eixo das ordenadas é: a. x + y - 4x + ky + k = 0 b. x + y + 4x - ky + k = 0 c. x + y - ky + k = 0 d. x + y - ky - k = 0

43 e. x + y - k = ( MACK - SP ) A reta que passa pelo ponto P (, ) e é tangente à circunferência de centro C ( 0, 0 ) e raio pode ser: a. y = b. x = c. y = x d. y = -x e. x = RESPOSTAS: Distância entre dois pontos 1C - D -A - 4B -5A - 6B - 8A - 9D - 10D - 11D Ponto Médio 1D B 4C 5B 6A 7C 8D Coeficiente angular Equação da reta 1C B B 4E 5B 6D 7B 8D 9B 10A 1D 1D 14B 15A 16A 17B 18D 19C 0D 1C C B 4D 5A 6D 7A 8 A Posições relativas de duas retas 1C C E 4E 5D 6A 7C 9B 11E 1A 1C 14C 15D Área de polígono 1C B C 4A 5B Distância de um ponto a uma reta 1B A D 4D 5D 6D 7A 8C 9B 10A 11ª Circunferência 1B A B 4B 5D 6A 7C 8C 10C 11D 1B 14D 15A 16E 17B 18D 19B Posições entre ponto e circunferência 1A A 4B 6A 7A 8C Posições entre reta e circunferência 1D B A 4C 5A 6A 7A 8E 9B 1D 14B 15B 16A

44 LISTA DE EXERCÍCIOS: GEOMETRIA ESPACIAL

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