AV1 - MA UMA SOLUÇÃO. b x

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1 Questão 1. figura abaixo mostra uma sequência de circunferências de centros 1,,..., n com raios r 1, r,..., r n, respectivamente, todas tangentes às retas s e t, e cada circunferência, a partir da segunda, tangente à anterior. s 1 3 t onsidere r 1 = a e r = b. (1,0) (a) alcule r 3 em função de a e b. (1,0) (b) alcule r n em função de a e b. s 1 a b b x 3 t (a) Todos os centros estão a igual distância das duas retas, portanto estão na bissetriz das retas s e t. Seja o ponto de intersecção entre a paralela à reta t passando por e a perpendicular à reta t passando por 1, e seja o ponto de intersecção entre a paralela à reta t passando por 3 e a perpendicular à reta t passando por. Seja x = r 3. 1

2 omo os triângulos-retângulos 1 e 3 são semelhantes, temos 1 1 = 3, isto é, o que implica x = b a. a b a + b = b x b + x, (b) relação obtida pode ser reformulada como r 3 = r r 1 r 3 r = r r 1 = b a, o que mostra que os três raios formam uma progressão geométrica de razão b a. omo a mesma situação ocorre para quaisquer três circunferências consecutivas, a sequência r 1, r,..., r n,... é uma progressão geométrica de razão b a e termo inicial a. ssim para n = 1,, 3,.... r n = a ( ) b n 1 = bn 1 a a n,

3 Questão. Na figura abaixo, a circunferência de centro I é tangente em ao lado do triângulo e é tangente em E e F aos prolongamentos dos lados e, respectivamente. F I E (1,0) (a) Mostre que E é igual ao semiperímetro do triângulo. (1,0) (b) Mostre que o ângulo Î é a metade do ângulo Ĉ. (a) Seja p o perímetro do triângulo. Tem-se Logo E = p. p = + + = = + E + F + = E + F = E. (b) No triângulo, sejam  =  e Ĉ = Ĉ. O ângulo externo de vértice é E =  + Ĉ. Seja Î = θ. omo I e I são bissetrizes dos ângulos  e E então, no triângulo I, o ângulo externo I E é tal que Logo  + Ĉ = E = I E = I + Î =  + θ. θ = Ĉ. 3

4 Questão 3. (,0) ado um paralelogramo construa no seu exterior os triângulos equiláteros E e F. Mostre que o triângulo EF é equilátero. α F E Primeiro, vemos que = F = F. segunda igualdade é consequência de F ser equilátero, enquanto a primeira segue de que = (pois é paralelogramo) e = F (pois F é equilátero). epois, vemos que = E = E. segunda desigualdade segue de E ser equilátero. primeira segue de que = (pois é paralelogramo) e = E (pois E é equilátero). Finalmente, vamos mostrar que os ângulos E, EĈF e F são iguais. Para isso vamos mostrar que todos são iguais a α + 60 o, em que α é o ângulo. e fato, isso é evidente para E, pois E equilátero implica E = 60 o. O mesmo para F, pois = α (ângulos opostos do paralelogramos são iguais) e F = 60 o (F é equilátero). Finalmente, em torno do ponto tem-se Ĉ + ĈF + FĈE + EĈE = 360 o, logo (180 o α) + 60 o + EĈF + 60 o = 360 o e, portanto, EĈF = α + 60 o, como queríamos demonstrar. Portanto os triângulos E, FE e F são congruentes, de onde concluímos que E = EF = F, isto é, EF é equilátero. 4

5 Questão 4. (,0) No triângulo, = 68 o e Ĉ = 40 o, e E são alturas, M é médio de e N é médio de. alcule os ângulos NM e E N. E N M ( figura não foi desenhada com os ângulos prescritos no enunciado) (a) Primeiro, Â = 180 o 68 o 40 o = 7 o. Segundo, como N é o ponto médio de, então é equidistante de e. Logo N é isósceles e N = N. Pela mesma razão N = N, de onde resulta que N é isósceles. isso resulta que N = Ĉ = 40 o e que N = 180 o 40 o 40 o = 100 o. Terceiro, MN é paralelo a, logo MN é semelhante a e, por conseguinte, M N é igual a Â, isto é, 7 o. Portanto, NM = N M N = 100 o 7 o = 8 o. (b) N é isósceles e N = 180 o N = 80 o, logo N = 50 o. omo = 90 o = Ê, então E e pertencem à circunferência cujo diâmetro é. Logo, os ângulos E e E inscritos nessa circunferência são iguais. Então E = E = 90 o 7 o = 18 o. Portanto E N = N E = 50 o 18 o = 3 o. 5

6 Questão 5. (,0) O triângulo equilátero está inscrito em uma circunferência e P é um ponto qualquer do menor arco. Prove que P = P + P (isto é, que a distância de P ao ponto é igual à soma das distâncias de P aos pontos e ). Sugestão: onsidere um ponto sobre P tal que P = P. P Seja o ponto do segmento P tal que P = P. Precisamos mostrar que = P. omo o arco mede 10 o, então P = 60 o. Então P = 60 o (é o mesmo ângulo) e, como P = P, então P é equilátero, resultando que = P. Também por P ser equilátero tem-se P = 60 o e, por conseguinte, = 10 o. omo o arco mede 40 o, então P = 40o = 10 o, logo P =. Juntando essa informação com a igualdade ÂP = ĈP, que é evidente da simetria da construção, concluímos que = P. Por LL os triângulos e P são congruentes, resultando que = P, como queríamos demonstrar. 6

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