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1 Nome: N.º: endereço: data: Telefone: Colégio PARA QUEM CURSA A 1 ạ SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 201 Disciplina: MaTeMÁTiCa Prova: desafio nota: QUESTÃO 16 Em um paralelogramo, as medidas de dois ângulos internos consecutivos estão na razão 1 :. O ângulo menor desse paralelogramo mede: a) 6 b) 60 c) d) 0 e) Sejam k e k (pois estão na razão 1 : ) as medidas dos dois ângulos internos con - secutivos do paralelogramo abaixo. Como a soma de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo é 180, temos: k + k = 180 k = Resposta: E QUESTÃO 17 A medida do raio de uma circunferência, em metros, corresponde à solução da equação: 2 + x = 1 1 x O diâmetro dessa circunferência, em metros, mede: a) b) c) d) e). 10 Resolvendo a equação, teremos que: 2 + x = 1 + x = 1. x + x = + x = 1 1 x x x = 1 (medida do raio) 1

2 1 2 Portanto, o diâmetro mede, em metros,. 2 = = 0, = Resposta: B QUESTÃO 18 A temperatura T de um forno (em graus celsius) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão: T (t) = t , com t em minutos. Por motivo de segurança, a trava do forno só é liberada para a abertura quando o forno atinge a temperatura de 9 C. Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta seja aberta? a) 9,0 b) 8,0 c) 20,0 d) 19,8 e) 19,0 O tempo mínimo de espera, em minutos, ocorre quando a temperatura atinge 9 C, ou seja: t 2 t 2 T = = + 00 = 00 9 t 2 = 61. t = t 2 t = 8, pois t > 0 Resposta: B QUESTÃO 19 Os triângulos de um logotipo são semelhantes entre si. Se AB = 1 cm, BC = 18 cm, DE = 7cm, DF = 10 cm, HI =, cm e GI = cm, podemos afirmar que (HG : AC). EF é igual a: a) 0,7 cm b) 0,61 cm c) 1,20 cm d)1,7 cm e) 1,61 cm 2

3 Se os triângulos são semelhantes, os lados correspondentes possuem medidas proporcionais. Assim, em cm, temos que: AB AC = DE DF 1 AC Æ = Æ AC = AB AC = HG GI ED EF = HG HI 1 20 Æ = Æ HG =, HG 7 EF Æ = Æ EF = 9,, Assim: (HG : AC). EF = (, : 20). 9 = 1,7 cm QUESTÃO 20 Um aluno do 9 ọ ano partiu da seguinte hipótese: sejam a e b dois números não nulos, reais e iguais; usou alguns procedimentos e encontrou um resultado falso. Analise os procedimentos do aluno: Se a = b, então: Etapa I multiplico os dois membros da igualdade por a e obtenho: a 2 = ab. Etapa II subtraio b 2 nos dois membros da igualdade: a 2 b 2 = ab b 2. Etapa III fatoro ambos os membros: (a + b) (a b) = b (a b). Etapa IV divido os dois membros por (a b): (a + b) (a b) a b = b (a b) Æ a + b = b a b Etapa V como a = b, tenho 2b = b, então, divido por b, obtendo 2 = 1. Esse aluno cometeu um erro na etapa: a) I b) II c) III d)iv e) V

4 O erro foi cometido na etapa IV, pois se a = b, então, a b = 0. Ao dividir os dois membros da equação por a b, o aluno está dividindo por zero e a divisão por zero não existe. QUESTÃO 21 (OBM) Os resultados de uma pesquisa sobre as cores de cabelos de pessoas são mostradas no gráfico abaixo: Quantas dessas pessoas possuem o cabelo loiro? a) Menos de 100 pessoas. b) Mais de 100 e menos de 200. c) Entre 200 e 00 pessoas. d) Mais de 00 e menos de 70. e) Exatamente 00 pessoas. Somando-se todas as porcentagens indicadas e chamando a porcentagem de pessoas de cabelo loiro de, temos: 0% + 2% + 16% + = 100% 70% + = 100% = 0% Então, 0% de pessoas têm cabelo loiro. Assim, 0% de = 0, = 60 pes soas.

5 QUESTÃO 22 A área de um terreno quadrado é numericamente igual ao dobro do valor de seu perímetro. Então, 0% da área desse terreno é: a) 6 b) c) 9 d) 6 e) 2 Chamando o lado do quadrado de x, temos que: Sua área é x 2 e seu perímetro x. O dobro de seu perímetro é igual a 8x. Assim, teremos que: x 2 = 8x x 2 8x = 0 x (x 8) = 0 x = 0 ou x = 8 x = 8, pois x > 0 Assim, a área do quadrado é igual a: A = A = 6 e 0% de 6 =. 6 = Resposta: E QUESTÃO 2 A razão entre dois números naturais é de 1 :. Se o quadrado do menor é igual ao maior mais 10 unidades, a soma desses números é igual a: a) 2. b) 2. 2 c) 2. 2 d) e) 2 2. Chamando de x (o menor número) e y (o maior) os números procurados, temos: x 1 = y x 2 = y + 10 x = y x 2 y 10 = 0 Se y = x, então: x 2 x 10 = 0 D = ( ) ( 10) D = 9 ± 9 ± 7 x = = 2 2 x = x = 2 (não convém, pois é natural)

6 Assim, o maior número é: y = x y =. = 1 Os números procurados são e 1, cuja soma é 20 = Resposta: E QUESTÃO 2 As medidas dos catetos de um triângulo retângulo são (2 + 2 ) cm e (2 2) cm. Em centímetros, a medida da hipotenusa desse triângulo retângulo está compreendida entre: a) 2 e. b) e. c) e. d) e 6. e) 7 e 8. Sendo x a medida, em cm, da hipotenusa, pelo Teorema de Pitágoras, temos que: x 2 = (2 + 2) 2 + (2 2) 2 x 2 = x 2 = 2 x = 2, pois x > 0 Como 2 < 2 < 6, tem-se < x < 6. QUESTÃO 2 Elevei um número não nulo ao quadrado, subtraí do resultado o mesmo número e o que restou dividi ainda pelo mesmo número. O resultado que achei foi igual a) ao próprio número. b) ao dobro do número. c) ao número mais 1. d) à raiz quadrada do número. e) ao número menos 1. Chamando o número de x, temos: x 2 x x, fatorando-se o numerador, resulta: x (x 1) = x 1, ou seja, o número menos 1. x Resposta: E 6

7 QUESTÃO 26 (OBM-200) Na figura, os dois triângulos são equiláteros. x 7º 6º Qual o valor do ângulo x? MAT bpb a) 0 b) 0 c) 0 d) 60 e) 70 Como ABC e DEF são triângulos equiláteros, seus ângulos medem 60. Analisando o triângulo AGD, podemos escrever: m (G ^AD) = = e m (G ^DA) = = B E F x 60 C G x A D Assim: + = x + 60 x = x = 0 Resposta: B MAT bpb 7

8 QUESTÃO 27 Para medir o lado AB de uma sala de aula, um aluno utilizou o maior lado de um esquadro de madeira (que tem a forma de um triângulo retângulo), cujo ângulo P é reto, conforme mostra a figura. P 0 cm 0 cm x Sabendo que a sala é um retângulo cujo perímetro é 28 metros e que a largura AB mede 2 me - tros a menos que o comprimento, então, o número de vezes que o lado maior do esquadro coube no lado AB da sala foi: MAT bpb a) 12 b) 16 c) 20 d) 2 e) 28 Sendo x a medida da hipotenusa do triângulo retângulo com catetos de medida 0 cm e 0 cm, temos que: x 2 = x 2 = 200 x = 0 cm, pois x > 0 Se a sala tem 28 metros de perímetro e a largura mede 2 metros a menos que o comprimento, então, em metros, para um comprimento y teremos uma largura (y 2). A y y - 2 y - 2 B y O perímetro da sala é y + (y 2) + y + (y 2) = y. Assim, 28 = y 2 = y y = 8. MAT bpb Assim, a largura AB da sala é de (8 2) m = 6 m = 600 cm. Portanto, o esquadro foi usado: 600 cm : 0 cm = 12 vezes. Resposta: A 8

9 QUESTÃO 28 Resolvendo a equação 2 2x 1 = 1, é representado por um número a) negativo. b) par. c) ímpar. d) par e primo ao mesmo tempo. e) ímpar e primo ao mesmo tempo. no conjunto dos, podemos afirmar que o valor de x 2 2x 1 = 1 2 2x 1 = 1 2 2x 1 = 1 2x 1 = 1 2x 1 = 1 2x 1 = 1 x = 1 Não há necessidade de verificação, pois são raízes de índice ímpar, no entanto, verifi - can do, temos: = = 1 2 1= 1 1 = 1 1 = 1, que é verdadeiro. Logo, x = 1 é solução e 1 é ímpar. Resposta: C QUESTÃO 29 Um professor de matemática apresentou um exemplo de dois números irracionais que, multiplicados, resultam em um número racional. O exemplo apresentado está em um dos seguintes itens: I) = 0 II) 6. 2 = 8 III) 8. 1 = 2 IV) = 2 V) = 2 Em qual dos itens está o exemplo do professor? a) I b) II c) III d) IV e) V 9

10 Analisando as alternativas, temos: I) =. 6 2 e 12 é racional. II) 6. 2 = ( ). ( 2) = 8 e 6 e 2 são racionais. III) 8. 1 = ( 2). ( 1) = 2 e 8 e 1 são racionais. IV) = 176 = 2 e 28 e 6 são irracionais. V) =. 6 = 2 e 16 e 6 são racionais. A única alternativa na qual os dois números multiplicados são irracionais e dão como resultado um número racional é a alternativa IV. QUESTÃO 0 Em um escritório, para passar de uma sala para outra, foi colocada uma porta (OP) com molas, que abre para os dois lados. Essa porta, porém, não abre completamente, sendo os pontos A e C os extremos de sua abertura, observe: Sabendo que as salas são retangulares e que os ângulos AO^B e CO^D medem, respectivamente, 10 e 160, então, o ângulo de abertura máximo dessa porta é: a) 100 b) 110 c) 120 d) 10 e) 10 Pelos dados do problema, temos que: 1) AO^B = 10, se BO^D = 180, então, AO^D = 0. 2) CO^D = 160, se BO^D = 180, então, BO^C = 20. Assim, AO^C = AO^C = AO^C =

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