UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ PIBID-PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO A DOCÊNCIA PROVAS E DEMONSTRAÇÕES EM MATEMÁTICA

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1 1 DOCÊNCIA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ PIBID-PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO A PROVAS E DEMONSTRAÇÕES EM MATEMÁTICA Fabio da Costa Rosa Fernanda Machado Greicy Kelly Rockenbach da Silva Janio de Jesus Cardoso Orientadora: Elisangela de Campos CURITIBA 2013

2 2 INTRODUÇÃO Supomos que você se deparasse com a seguinte afirmação: Para todo numero Natural n, temos que P(n) (Lê-se a função P aplicada no ponto n) resultará em um número primo, onde a função P é da forma P(n)=n²+n+41 O que provavelmente aconteceria é que você iria acreditar na afirmação, mas vamos verificar. Uma primeira tentativa de começar a verificar a veracidade da afirmação, é a aplicar a função P em alguns números naturais, e verificar se realmente temos como resultado um número primo. P(1) = 1² = 43 P(2) = 2²+2+41= 47, 47 P(3) = 3²+3+41=53 P(4)= 4²+4+41=61 P(5) = 5² = 71 Assim para n=1, 2, 3,4 e 5 a função resulta em um números primos. Mas, como vamos saber se de fato essa função leva todos os n (Natural) para um número primo? A intuição nos faz acreditar que realmente a afirmação é verdadeira, entretanto se considerarmos n= 41: P (41)= 41² = 1763 Achamos um contra-exemplo, ou seja, um exemplo onde a afirmação não vale, pois para n=41 a função P não gera um número primo. Nesse contexto destacamos a importância da necessidade de se provar, demonstrar as descobertas em Matemática, antes de utilizarmos. Consequentemente essa relevancia atinge os cursos de matemática, que por sua vez, desenvolve ao longo do curso demonstrações e provas de tudo, ou quase tudo, do que será utilizado, ao contrário do ensino fundamental e médio, onde aceitamos as fórmulas e resultados como verdadeiros sem questionamento se aquilo é de fato verdadeiro. Mas o que vem a ser prova e demonstração em matemática? Primeiramente, vamos nesse mini-curso tratar provas e demonstrações como

3 3 sinônimos. Demonstração matemática basicamente é um processo de raciocínio lógicodedutivo onde assumindo uma hipotese, se deduz, por argumentos, a tese, ou seja, uma demonstração garante que se a hipotese ocorre consequentemente a tese ocorre. No teorema de Pitagoras: Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Nesse teorema, a hipotese é...um triângulo retângulo, pelo teorema essa hipotese resulta na tese a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Tendo em vista a importância que já destacamos das provas e demonstrações, em matemática, desenvolveremos nesse mini-curso alguns tipos de demonstrações mais utilizados no curso de matemática, assim como alguns Sofismas. TIPOS DE DEMONSTRAÇÕES Há várias técnicas de demonstração em matemática, entre elas há a demonstração direta, demonstração por indução, demonstração por absurdo e demonstração por contrapositiva. DEMONSTRAÇÃO DIRETA- DEDUÇÃO Quando utilizado essa técnica de demonstração, inicia-se assumindo a hipótese como verdadeira, após é feito uma sequencia de passos lógicos-dedutivos chegando-se diretamente a tese, ou seja, é apenas feito uma verificação. Exemplo 01 Teorema: Existem dois, e apenas dois múltiplos simultâneos de 2 e 3 entre os números 9 à 19, incluindo estes. Hipótese : Múltiplos simultâneos de 2 e 3 entre os números 9 até 19. Tese: Existem apenas 2. Uma maneira simples para a prova desse resultado, é expressar todos os números de 9 a 19, e verificar quais deles cumprem a hipótese, isto é, que simultaneamente são múltiplos de 2 e 3. A = { 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19} Números que pertencem ao conjunto A que são múltiplos de 2:{10, 12, 14,16,18} Números que pertencem ao conjunto A que são múltiplos de 3:{9, 12, 15, 18} Assim:

4 4 Os números que são simultaneamente múltiplos de 2 e 3 são :{12, 18} Logo: Existem apenas 2. Exemplo 02: TEOREMA: Se x é um número real tal que 3 x + 1 > 7, então x > 2. Hipótese : 3 x + 1 > 7 Tese : x > 2 Assim pela Hipótese temos que 3 x + 1 > 7, como x é um número real, são válidas as operações fundamentais da aritmética ( adição, subtração, multiplicação e divisão). Assim : 3 x + 1 > 7 3 x > 7 1 (subtraindo 1 em ambos os lados não altera a desigualdade), assim temos que: 3 x > 6 Dividindo ambos os lados por 3 mantem a desigualdade, assim: ( 3 x ) : 3 > 6 : 3 Logo : x > 2 Exemplo 03: TEOREMA : A soma de dois números racionais é um número racional. Convém notar aqui é que não estamos tratando de algum ou alguns números racionais em especial, mas sim, de todos os racionais. Temos que : Hipótese: Adição de dois números Racionais. Tese : A soma é um número Racional.

5 O artifício matemático utilizado para demonstrar esse teorema, está na forma de expressar o número Racional. Todo número Racional pode ser expresso da seguinte forma: p q 5 onde p é um número inteiro qualquer, e q é um número inteiro diferente de zero. Assim a adição de dois números naturais pode ser escrita como : p n + q j Mas, temos que : p n p. j + n. q + = q j q. j Como (p. j + n. q) tem como resultado um número inteiro (produto de números inteiros é inteiro, e a soma de números inteiros é inteiro), e (q. j) é um número inteiro diferente de zero (a multiplicação de dois números inteiros diferentes de zero tem por resultado um número diferente de zero) então podemos concluir que: p n + q j é um número racional. DEMONSTRAÇÃO POR INDUÇÃO Essa técnica de demonstração consiste em dois passos: base e passo de indução. O passo base consiste em verificar que a proposição é verdadeira para o menor elemento que norteia a proposição. O passo de indução consiste em assumir que a proposição é verdadeira para n, a partir disso prova-se que é verdadeiro para n+1 (usando a afirmação que é válido para n). Exemplo1

6 Provar que a fórmula 1²+2²+...+n² = pertencente aos Naturais. n(n+1)(2n+1) 6 é verdadeira para todo n No passo base verificamos que a fórmula é válida para n=1 (primeiro número natural). O passo de indução consiste em assumir que a proposição é verdadeira para n, a partir disso prova-se que é verdadeiro para n+1 (usando a afirmação que é válido para n). No passo de indução assumimos que para n a fórmula é verdadeira, então devemos provar que 1²+2²+... +n²+(n+1)² = (n+1)(n+2)(2 (n+1)+1) 6 a partir da afirmação que assumimos anteriormente. Prova: 1²+2²+3² n² + (n + 1)² = é (n/6)(n + 1)(2n + 1). 1²+2²+3² n² + (n + 1)² = (n +1)[( 1²+2²+3² n² + (n + 1)² = (n + 1)( 1²+2²+3² n² + (n + 1)²=(n + 1)( 1²+2²+3² n² + (n + 1)² = (n + 1)( 1²+2²+3² n² + (n + 1)²= [ n 6 (n + 1)(2n + 1) + (n + 1)² (observe que a soma até n² n 6 )(2n + 1) + (n + 1)] 1 6 )(2n² + n + 6n + 6) 1 6 )(2n² + 7n + 6) 1 6 ).2(n ).(n + 2) n+1 6 (n + 1)/6](n + 2)(2n + 3) O polinômio ax² + bx + c, com raízes x 1 e x 2 pode ser decomposto em a(x x 1) (x - x 2 ). Como as raízes de 2n² + 7n + 6 são -2 e - 3 2, temos 2n² + 7n + 6 = 2(n )(n + 2). 6 Exemplo 2 Provar que: n(n + 1) = ( naturais. n 3 )(n + 1)(n + 2) para todo n pertence aos (1) Passo base: Para n = 1: 1.2 = 2

7 7 ( )(1 + 1)(1 + 2) = ( 3 )(2)(3) = 2. (2) Hipótese: n(n + 1) = ( n 3 )(n + 1)(n + 2) (3) Provar que: n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) = [ n+1 3 ](n + 2)(n + 3). Prova: n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) = ( n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) = (n + 1)(n + 2)[( n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) =(n + 1)(n + 2)[ n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) = [ n 3 )(n + 1)(n + 2) + (n + 1)(n + 2) n 3 ) + 1] n+3 3 ] n+1 3 ](n + 2)(n + 3). DEMONSTRAÇÃO POR ABSURDO- CONTRADIÇÃO Quando se quer demonstrar por absurdo uma proposição, parte-se supondo que a negação da tese é verdadeira e após aplica-se as técnicas da demonstração direta, ou seja, é feito uma sequencia de passos lógicos-dedutivos até chegarmos a conclusão que a negação da tese não pode ocorrer, ou seja, que a negação da tese é um absurdo. Portanto resta que a tese é verdadeira. Exemplo 1 Demonstre que é um número irracional. Para mostrar que 2 é um número irracional pela técnica da redução por absurdo, supomos inicialmente que 2 é racional, aplicando uma sequecia lógica de implicações a partir dessa afirmação, chegamos que a suposição que 2 é racional não pode ocorrer. Vejamos detalhadamente: Vamos supor que não seja irracional, então vamos escrever como um numero racional. Então,

8 8 = e sendo mdc (p,q) = 1, ou seja, está na forma irredutível. elevando os dois lados da igualdade ao quadrado, obtemos: 2 = então ou seja, p é múltiplo de 2, ou seja, p = 2k. Com isso, (2k)² = 2q² 4k²=2q² 2k²=q² então q também é múltiplo de 2. O que é um absurdo, pois contradiz a afirmação de que o mdc (p,q) = 1. Portanto é irracional. Exemplo 2 Mostre que se n N e n² for divisível por 2, ou seja, n² for par, então n é divisível por 2. Dem: Seja n N, tal que n² seja divisível por 2. Suponha que n não seja divisel por 2, isto é, n seja impar. Logo n é da forma n = 2k + 1, para algum k Z. Temos, n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1 = 2m + 1, onde m = 2k² + 2k Z. Portanto n² é impar, o que contradiz a hipótese de n² quadrado ser divisível por 2. Chegamos a um absurdo. Exemplo 3. Se um número somado a ele mesmo é igual a ele mesmo, então esse número é zero. Representamos por x um numero qualquer. A hipótese afirma que x + x = x, e a tese é x = 0. A prova é por absurdo. Supomos que x 0. Por hipótese, x + x = x, então 2x = x e x 0. Dividindo ambos os lados da equação por x, obtemos: 2 = 1, o que é um absurdo.

9 9 DEMONSTRAÇÕES USANDO A CONTRA POSITIVA tese, tem-se: As demonstrações utilizando essa técnica seguem o seguinte principio: Para duas sentenças quaisquer H e T, onde, H representa a hipótese e T representa a (H T) equivale a ( T H) n é par). T H Onde H representa a negação de H, e T representa a negação de T. Veja o seguinte exemplo. Teorema: Se n N e n² for divisível por 2 ( isto é, n² for par) então n é divisível por 2 ( Temos que Hipotese: H = n Ne n² for divisível por 2 ( isto é, n² for par). Tese: T = n é divisível por 2 ( n é par) A contra positiva dessa afirmação seria da forma: Onde: H = n Ne n² NÃO for divisível por 2 ( isto é, n² é impar) T = n NÃO é divisível por 2 ( n é impar) E o teorema poderia ser enunciado assim: Se n Né impar, então n² é impar." A demonstração dos dois teoremas é equivalente. Esse método de demonstração é chamada indireta, pois, provar H provar a implicação T H. T, reduz-se a COMPARANDO DIFERENTES TIPOS DE DEMONSTRAÇÕES Teorema: se 2 x² + x - 1= 0 então x < 1 Demonstração 1-Direta Faz-se encontrando as raízes da equação 2x² + x + 1, que são x = -1 e x= 0,5, portanto ambas menores que 1. Demonstração 2- Indireta usando a Redução ao absurdo

10 10 Supondo 2 x² + x - 1= 0 e x 1. Logo se x 1, então 1 x 0 e 2x² 0. Dessas duas desigualdades, usando novamente a hipótese, teríamos 0 < 2x² = 1- x 0, o que é uma absurdo, portanto x < 1 Demonstração 3- Usando a contra positiva Faz-se demonstrando que se x 1 então 2 x² + x 1 0. De fato se x 1, temos x 1 0 e 2x² > 0. Somando as duas desigualdades teremos que x 1 + 2x² > 0, o que significa que 2 x² + x 1 0 SOFISMAS Se você usar de argumentos não válidos em uma dedução, é possível se obter vários tipos de resultados, resultados esse que podem ser até absurdos, causadores de surpresas. Exemplo 1 a) Igualdade aparente: 3 = 4 Começamos com a seguinte igualdade : 0 = 0 Que podemos escrever como 3 x - 3 x = 4 x - 4 x Colocando o 3 e o 4 em evidencia 3 ( x x)= 4 ( x- x) Cortando os termos em comum temos 3 = 4 b ) 2 = 1 Seja a e b números reais diferentes de zero. E supondo que a = b Multiplicando os dois lados por a temos a. a = b. a isto é : a² = b. a Subtraindo b² de ambos os lados temos : a² b² = ab b² Podemos reescrever o fator do primeiro membro como: (a + b). ( a b) = ab b²

11 11 Colocando b em evidencia do lado direito temos : (a + b). ( a b) = b ( a b) Cortando ( a b) ambos os lados (a+b) = b Isto é : 2 b = b Logo: 2 = 1 Exemplo 2 Igualdade aparente resultante de uma soma = 5 Começamos com a seguinte igualdade: -20= = Somamos (81/4) nos dois lados, (81/4) = (81/4) Isso pode ser escrito da seguinte forma: (4-(9/2))² = (5-(9/2))² Tirando a raiz quadrada em ambos os lados temos: 4-(9/2) = 5-(9/2) Somando (9/2) nos dois lados da igualdade temos: 4 = 5 Como 4=2+2 chegamos a seguinte conclusão: 2+2=5 Exemplo 3: Sofisma Geométrico Aritmético. Teorema: Todos os triângulos semelhantes são congruentes. Demonstração:

12 12 Considere os seguintes triângulos semelhantes : A A' B C C' B' Pelas relações de semelhança de triângulos da geometria Plana, temos : B ' C ' A' B ' = BC AB B'C'AB=BCA'B' onde XY representa o comprimento de um segmento de reta com as extremidades X e Y. Da igualdade anterior decorrem as seguintes implicações : 0 = 0 (B'C') ². AB (B'C') ². AB = (BC)². A'B' (BC)². A'B' (B'C') ². AB B'C' ( B'C'. AB) = BC ( BC. A'B') (BC)² A'B' B'C' ( B'C'. AB BC. A'B') = BC ( B'C'. AB BC. A'B') B'C' = BC Analogamente se prova as igualdades A'B' = AB e C'A' = CA. Logo essas igualdades garantem que quaisquer dois triângulos semelhantes são congruentes. Lembrando: Dois triângulos são semelhantes se os três ângulos são ordenadamente congruentes e se os lados homólogos são proporcionais. Dois triângulos são congruentes quando os lados e ângulos do primeiro triângulo estão em correspondência com os lados e ângulos do segundo triângulo de tal forma que os lados em correspondência têm a mesma medida, assim como os ângulos.

13 13 EXERCÍCIOS 1) Prove por indução que: (a) a = b então a n = b n (b) a m + n = a m a n (c) (ab) n = a n b n (d) (a m ) n = a mn (e) (2n 1) = n² (f) 5 n 1 é múltiplo de 4. 2) Conta-se a seguinte história sobre o matemático alemão Carl Friedrich Gauss ( ), quando ainda garoto. Na escola, o professor, para aquietar a turma de Gauss, mandou os alunos calcularem a soma de todos os números naturais de 1 a 100. Qual não foi a surpresa quando, pouco tempo depois, o menino deu a resposta: Indagado como tinha descoberto tão rapidamente o resultado, Gauss, então com nove anos de idade, descreveu o método a seguir. Sendo, S n = n; o objetivo é encontrar uma fórmula fechada para Sn. Somando a igualdade acima, membro a membro, com ela mesma, porém com as parcelas do segundo membro em ordem invertida, temos que, Daí segue-se que 2S n = n(n + 1) e, portanto, S n = S n = n S n = n + (n + 1) S n = (n + 1) + (n + 1) + + (n + 1) Prove, por indução, que S n = n = 3) Pela técnica da prova direta, mostre que: A soma de dois números pares é um número par. 4) Demonstrar por absurdo que: se um número somado a ele mesmo é igual a ele mesmo, então esse número é 0.

14 REFERÊNCIA S BIBLIOGRÁFICAS CAVALCANTI, Jorge. Teoremas e demonstrações. Disponível em: <http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/mat_disc_parte04.pdf>. Acesso em: 05 abr HEFEZ, Abramo. Indução Matemática. Disponível em: <http://server22.obmep.org.br:8080/media/servicos/recursos/ o>. Acesso em: 03 abr MORAIS FILHO, Daniel Cordeiro de. Um Convite a Matemática: Fundamentos Lógicos com técnicas de demonstração, notas históricas e curiosidades.. 3. ed. Campina Grande: Fabrica de Ensino, p. MALTA, Iaci; PESCO, Sinécio; LOPES, Hélio. Cálculo a uma variável. 3 ed. Gávea: Puc-rio, p. 14

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