Considere um triângulo eqüilátero T 1

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1 Considere um triângulo eqüilátero T de área 6 cm. Unindo-se os pontos médios dos lados desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo eqüilátero T, que tem os pontos médios dos lados de T como vértices. Unindo-se os pontos médios dos lados desse novo triângulo obtém-se um terceiro triângulo eqüilátero T, e assim por diante, indefinidamente. Determine: a) as medidas do lado e da altura do triângulo T, em centímetros; b) as áreas dos triângulos T e T 7, em cm. a) O lado l e a altura h do triângulo eqüilátero T, representado na figura por ABC, em cm, são tais que: l l 6 e h l 8 e h b) As áreas dos triângulos T, T, T,. formam uma progressão geométrica de primeiro termo A T 6 cm e razão A T A T Desta forma, A T A T. 6 cm. cm e A T7 A T. MN BC 6 cm. cm Respostas: a) 8 cm e cm b) cm e cm 6 6 UNESP - (Prova de Ciências Eatas) Dezembro/00

2 Considere os números compleos z i e w i, sendo i a unidade imaginária. a) Determine z.w e w z. b) Represente z e w no plano compleo (Argand-Gauss) e determine b, b 0, de modo que os números compleos z, w e t bi sejam vértices de um triângulo, no plano compleo, cuja área é 0. Se z i e w i então a) z. w ( i). ( i) 6 i + i 7 + i w z ( i) ( i) b) Sejam P, Q e A os afios dos números compleos z i, w i e t bi, respectivamente. A área do triângulo APQ é 0 e portanto: [ ( )]. [b ( )] 0 (b + ) 0 b + 8 b 7 Respostas: a) z. w 7 + i w z b) b 7 Considere a matriz A 0. 0 O determinante de A é um polinômio p(). a) Verifique se é uma raiz de p(). b) Determine todas as raízes de p(). Sendo A 0, então 0 det A p() + a) é raiz de p(), pois p(). + 0 b) p() + p(). ( ) ( ) p() ( ). ( ) As raízes de p() são tais que: 0 ou 0 ou ± Respostas: a) é raiz, pois p() 0 b) As raízes de p() são: ; e. UNESP - (Prova de Ciências Eatas) Dezembro/00

3 Considere todos os números formados por 6 algarismos distintos obtidos permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos,,,, e 6. a) Determine quantos números é possível formar (no total) e quantos números se iniciam com o algarismo. b) Escrevendo-se esses números em ordem crescente, determine qual posição ocupa o número 6 e que número ocupa a ª posição. Seja A {,,,,, 6} a) A quantidade total de números de seis algarismos distintos que podem ser formados permutando-se os algarismos de A é P 6 6! 70. Os números do item anterior, que começam com o algarismo são os que se obtém permutando-se os algarismos {;;;;6} e, portanto, a quantidade total é P! 0. b) ) A quantidade de números de algarismos do item anterior, cujo primeiro algarismo é ou ou ou, é ) Esses 80 números são todos menores que o número 6. ) O menor número de 6 algarismos do item (a) que começa com o algarismo é o próprio 6. ) Escrevendo os números do item (a) em ordem crescente, a posição ocupada pelo número 6 é a 8ª. ) Eistem 0 números cujo primeiro algarismo é ou. 6) Os dois menores números cujo primeiro algarismo é são 6 e 6. 7) Escrevendo todos os números de 6 algarismos do item (a) em ordem crescente, o número que ocupa a ª posição é 6. Respostas: a) 70; 0 b) 8ª; 6 UNESP - (Prova de Ciências Eatas) Dezembro/00

4 Joga-se um dado honesto. O número que ocorreu (isto é, da face voltada para cima) é o coeficiente b da equação + b + 0. Determine a) a probabilidade de essa equação ter raízes reais. b) a probabilidade de essa equação ter raízes reais, sabendo-se que ocorreu um número ímpar. a) A equação + b + 0 tem raízes reais b 0 b, pois b e b 6. Portanto, b {,,,, 6}. No lançamento do dado honesto, a probabilidade de a equação admitir raízes reais é. 6 b) Sabendo-se que b é ímpar, então b ou b ou b e a probabilidade de a equação, nessas condições, admitir raízes reais é. Respostas: a) ; b). 6 UNESP - (Prova de Ciências Eatas) Dezembro/00

5 6 A reta r de equação y intercepta a circunferência de centro na origem e raio em dois pontos P e Q, sendo que as coordenadas de P são ambas positivas. Determine: a) a equação da circunferência e os pontos P e Q; b) a equação da reta s, perpendicular a r, passando por P. a) A equação da circunferência, com centro na origem e raio é + y ( ) + y Os pontos de intersecção da circunferência de equação + y e da reta de equação y são obtidos a partir do sistema: + y (y) + y { y { y { ou y { y Dessa forma as coordenadas dos pontos P e Q, são respectivamente, (; ) e ( ; ), visto que as coordenadas de P são ambas positivas. b) A reta (r) de equação y, tem coeficiente angu- lar m r e a reta (s), perpendicular a (r) terá coefi- ciente angular m s, tal que m s. / Portanto a equação da reta (s), que passa pelo ponto P (; ), com coeficiente angular, é: y. ( ) + y 0 Respostas: a) + y ; P(; ) e Q( ; ) b) + y 0 m r UNESP - (Prova de Ciências Eatas) Dezembro/00

6 7 Como resultado de uma pesquisa sobre a relação entre o comprimento do pé de uma pessoa, em centímetros, e o número (tamanho) do calçado brasileiro, Carla obteve uma fórmula que dá, em média, o número inteiro n (tamanho do calçado) em função do comprimento c, do pé, em cm. Pela fórmula, tem-se n [], onde c + 7 e [] indica o menor inteiro maior ou igual a. Por eemplo, se c 9 cm, então 8, e n [8,] 9. Com base nessa fórmula, a) determine o número do calçado correspondente a um pé cujo comprimento é cm. b) se o comprimento do pé de uma pessoa é c cm, então ela calça 7. Se c > cm, essa pessoa calça 8 ou mais. Determine o maior comprimento possível, em cm, que pode ter o pé de uma pessoa que calça 8. a) Para um pé com cm de comprimento o número do calçado é n. + 7 [, ] b) A pessoa que calça 8 tem o comprimento c, em cm, do pé de forma que n. c <. c <. c 0 <. c < c,8 Desta forma, o maior comprimento possível, em cm, que pode ter o pé de uma pessoa que calça 8 é,8. Respostas: a) b),8 cm UNESP - (Prova de Ciências Eatas) Dezembro/00

7 8 Considere as funções f() log (9 ) e g() log, definidas para todo > 0. a) Resolva as duas equações: f() e g(). b) Mostre que + f() + g() + log. Sejam V f e V g os conjuntos-verdade das respectivas equações a) Para > 0 temos: f() log (9 ) 9 V f g() log 7 V g {7} 7 b) + f() + g() + log (9 ) + log + log 9. + log (9) + log 9 + log + + log + log Respostas: a) V f e V g {7} b) demonstração UNESP - (Prova de Ciências Eatas) Dezembro/00

8 9 A temperatura, em graus celsius ( C), de uma câmara frigorífica, durante um dia completo, das 0 hora às horas, é dada aproimadamente pela função: f(t) cos t cos t, 0 t, 6 com t em horas. Determine: a) a temperatura da câmara frigorífica às horas e às 9 horas (use as aproimações, e,7); b) em quais horários do dia a temperatura atingiu 0 C. a) A partir do enunciado, sendo f(t) em graus celsius ( C), temos: f() cos (. ) cos (. ) cos ( ) cos ( ),7 0, f(9) cos (. 9) cos (. 9) cos ( ) cos ( ) 0 0,7 b) Se f(t) 0, temos: cos (. t) cos (. t) 0 cos (. t) ( cos. t) A igualdade é verificada, quando: ª possibilidade:. t. t + n., n 6 t n., n Para 0 t, resulta t 0 ou t ª possibilidade:. t. t + n., n 6 t n. 8, n Para 0 t, resulta t 0 ou t 8 ou t 6 ou t Portanto, a temperatura atingiu 0 C nos seguintes horários: 0 hora 8 horas 6 horas horas Respostas:, a) f() 0, C; f(9) 0,7 C b) 0h, 8h, 6h e h UNESP - (Prova de Ciências Eatas) Dezembro/00

9 0 Considere um cilindro circular reto de altura cm e raio da base igual a y cm. Usando a aproimação, determine e y nos seguintes casos: a) o volume do cilindro é cm e a altura é igual ao triplo do raio; b) a área da superfície lateral do cilindro é 0 cm e a altura tem 0 cm a mais que o raio. a) O volume V do cilindro é dado por V. y.. Assim, para V cm, e. y temos. y. y y 7 y e, portanto,. 9 b) A área lateral A L do cilindro é dada por A L.. y. Assim, para A L 0 cm, e y + 0 temos:.. y (y + 0) 0 y + 0y 7 0 y, pois y > 0 Logo, y Respostas: a) 9 e y b) e y Comentário Com questões bem enunciadas, quase todas relacionadas a algum problema prático e envolvendo dois ou mais assuntos do programa, a Banca Eaminadora apresentou uma prova criativa e de bom nível. UNESP - (Prova de Ciências Eatas) Dezembro/00

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