Avaliação 1 - MA Gabarito. Sendo dados os segmentos de medidas a e b, descreva como construir com régua e compasso a medida ab.

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1 MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL Avaliação 1 - MA Gabarito Questão 01 [ 2,00 pts ] Sendo dados os segmentos de medidas a e b, descreva como construir com régua e compasso a medida ab. Observação: Considere conhecidas as construções do ponto médio de um segmento e da perpendicular a um segmento passando por um ponto dado, que podem ser utilizadas sem maiores detalhamentos. Dentre as possíveis construções, destacamos duas: Construção 1: Supondo b > a, se construirmos o triângulo ABC, retângulo em A e tal que BH a e BC b, onde H é o pé da altura relativa a A, então o cateto AB será tal que AB 2 BH BC a b, logo AB ab. Construção 2: Se construirmos um círculo com diâmetro AC de medida a + b, sendo AB a e BC b, a corda XY perpendicular a AC e passando por B será tal que XB Y B AB BC a b, logo, como XB Y B, temos XB ab. Vamos ao detalhamento de cada construção: Construção 1:

2 Seja BH o segmento de medida a. Construindo o círculo de centro H e raio b, prolonge BH na direção de H de modo a encontrar o círculo em C. Construa agora o ponto médio M de BC. Construa o círculo C de centro M e raio MB. Construir a perpendicular r a BC passando por H. Prolongando r até encontrar C, obtemos o ponto A tal que AB ab. Construção 2: Seja AB o segmento de medida a. Construindo o círculo de centro B e raio b, prolonge AB na direção de B de modo a encontrar o círculo em C. Contrua agora o ponto médio M de AB. Construa o círculo C de centro M e raio MA. Construa a perpendicular r a AC passando por B. Prolongue r até encontrar C em X, que será tal que XB ab. Questão 02 [ 2,00 pts ] Mostre que o raio de um círculo é perpendicular a uma corda (que não é um diâmetro) se, e somente se, a divide em dois segmentos congruentes. ( ) Seja O o centro do círculo e suponha que o raio OC seja perpendicular à corda AB. Seja M o ponto de interseção da corda AB com o raio OC. Como OA OB, pois são raios, temos que o triângulo ABO é isósceles. Logo  ˆB. Agora, por hipótese os ângulos AMO e BMO são retos, logo AOM ˆ BOM ˆ ( pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 o ). Daí, pelo critério LAL, os triângulos AMO e BMO são congruentes. Portanto AM BM, isto é, M é o ponto médio de AB. ( ) Suponha AM BM. Assim os triângulos AMO e BMO são congruentes, pelo critério LLL. Logo Mas AMO e BMO são ângulos suplementares. Portanto AMO ˆ BMO ˆ 90 o. AMO ˆ BMO. ˆ

3 Questão 03 [ 2,00 pts ] As duas diagonais de um quadrilátero conveo são perpendiculares e pelo menos três de seus lados são congruentes. Prove que este quadrilátero é um losango. Denotemos por ABCD o quadrilátero, com AB BC CD, e P o ponto de interseção da diagonais. Os triângulos retângulos AP B e CP B possuem hipotenusas AB e CB congruentes, além de um cateto comum, P B. Assim, estes triângulos são congruentes, implicando, em particular, P A P C. Os triângulos retângulos BP C e DP C possuem hipotenusas BC e DC congruentes, e o cateto P C em comum. Serão então congruentes, com P B P D. Observando os triângulos AP B e AP D, como P B P D, A ˆP B A ˆP D e o lado AP é comum, pelo caso de congruência LAL, os triângulos serão congruentes. Desta forma, teremos AD AB. Isto mostra que AD AB BC CD, e, portanto, que ABCD é um losango. Outra solução: Como na solução anterior, os triângulos AP B e CP B são congruentes, logo A ˆBP C ˆBP, e seja α essa medida. Da mesma forma, como BP C e DP C são congruentes, BĈP DĈP, e chamemos de β a essa medida Como α + β 90, temos A ˆBC + DĈB 2α + 2β Com isso, o segmento BC determina ângulos colaterais internos suplementares com os segmentos AB e CD. Isto mostra que AB e CD são paralelos, e, como estes segmentos são congruentes, o quadrilátero ABCD será um paralelogramo. Como ABCD é paralelogramo cujas diagonais são perpendiculares, concluímos que este quadrilátero é um losango.

4 Questão 04 [ 2,00 pts ] A figura abaio mostra um triângulo ABC retângulo em A e um triângulo BP Q retângulo em P, de modo que B pertence ao segmento AP e o ângulo CBQ é reto. Sabe-se ainda que AC 14 cm, AP 24 cm e P Q 4 cm. (a) Prove que os triângulos ABC e BP Q são semelhantes e determine as possíveis medidas do segmento AB. (b) Determine o raio da circunferência que circunscreve o triângulo BCQ. (c) Interprete geometricamente o fato de ter encontrado mais de uma resposta para o comprimento do segmento AB. (a) Observando os ângulos internos do triângulo BP Q, temos B P Q + P QB + Q BP 180, portanto Nota-se, ainda, que e então Comparando (I) e (II), temos P QB + Q BP 90 (I). A BC + C BQ + Q BP 180 A BC + Q BP 90 (II). A BC P QB. Como A BC P QB e BÂC B P Q 90, então os triângulos ABC e P QB são semelhantes pelo critério de semelhança ângulo-ângulo. Daí que implica e, portanto, Logo, temos AB AC BP AB P Q AB AB 4 AB 2 24 AB ( ) ( 22 cm ou AB 12 2 ) 22 cm (b) Trace a reta r paralela a AP com Q r e tome R r AC. Então, o triângulo CQR é retângulo em R e, pelo Teorema de Pitágoras, vale (note que AR P Q 4cm e QR AP 24cm, pois AP QR é retângulo) que

5 CQ 2 CR 2 + QR 2 ( AC P Q ) 2 + QR 2 (14 4) que implica CQ 26cm. Como o triângulo CBQ é retângulo em B, então CQ é diâmetro da circunferência pedida, cujo raio é: CQ 2 13cm. (c) Seja d o comprimento da base média do trapézio AP QC. Daí logo d AC + P Q 2 d 9cm , 2 Como d é menor que o raio da circunferência do item (b), então o segmento AP é secante a esta circunferência cujas intersecções são as possíveis posições de B, justificando o fato de eistirem duas medidas para AB. Questão 05 [ 2,00 pts ] Em um triângulo ABC, tomam-se os pontos P BC e Q AC tais que B ˆP A A ˆP Q Q ˆP C. (a) Calcule P Q em função de AP e CP. (b) Sendo BP AP CP, verifique que AP é uma bissetriz interna do triângulo. AP + CP Para simplificar a escrita, façamos Com isso, como hipótese do item (b), temos CP, CQ y, AP z. BP z + z. (a) Como P Q é bissetriz interna do triângulo AP C, temos logo Como AP é bissetriz eterna do triângulo P QC, temos z AQ y, AQ yz.

6 e então Com isso, (b) Como verificamos que P Q yz y + yz P Q AQ P C AC P Q yz yz y + yz P Q y + yz. yz y( + z) z AP CP + z AP + CP. z + z BP, os triângulos P BA e P QA serão congruentes pelo caso LAL, logo, P ÂB P ÂC, mostrando então que AP é bissetriz interna do triângulo ABC. alternativa para o item (a): Trace um segmento QT paralelo a AP, com T P C. Como QT é paralelo a AP, teremos P ˆT Q B ˆP A T ˆP Q 60. Com isso, o triângulo P T Q é equilátero e, fazendo P Q r, temos P T QT r. logo Os triângulos CP A e CT Q são semelhantes, logo P Q r z r r, z AP CP + z AP + CP.

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