FUVEST VESTIBULAR 2005 FASE II RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA.

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1 FUVEST VESTIBULAR 00 FASE II PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA. Q 0. Para a fabricação de bicicletas, uma empresa comprou unidades do produto A, pagando R$9, 00, e unidades do produto B, pagando R$8,00. Sabendo-se que o total de unidades compradas foi de e que o preço unitário do produto A excede em R$,00 o preço unitário do produto B, determine o número de unidades de A que foi comprado. RESOLUÇÃO. Unidades Valor pago (R$) Preço unitário Produto A x 9 Produto B y 8 Total x+y = 80 Resolvendo o sistema: x y y x x y x 8 9 x x x x 8y - xy y 8 x y x 8 x x 7x 8 x 0 x x + 8 = 0 99 x x = e y =. 8 RESPOSTA: Foram compradas unidades do produto A. 8 y 9 x 9 x 7x 8 - x 0 9 x ou x 0 (valor impossível) Q 0. Diz-se que a matriz quadrada A tem posto se uma de suas linhas é não-nula e as outras são múltiplas dessa linha. Determine os valores de a, b e c para os quais a matriz, A = a b c tem posto. b c a c a b Como a matriz A tem posto, então vale o sistema: a b c b c a c a b RESPOSTA: a =, b = e c =. a b c ( I) b c a ( II ) e c a b (III) a b c a b c c c (I II) a c a 7 (I III) b

2 Q 0. Uma sequência de números reais a, a, a, satisfaz à lei de formação a n + = a n, se n é ímpar e a n + = an, se n é par. Sabendo-se que a =, a) escreva os oito primeiros termos da sequência. b) determine a 7 e a 8. a) Pelos dados da questão a série é: a =, a + =, a + = a + =, a + =, a + = ( ) =,..., Temos assim que os termos de ordem ímpar formam uma PG de primeiro termo e razão, bem como os de ordem par formam uma outra PG onde o primeiro termo e a razão, que os oito primeiros termos da sequência são:,,,,,, 8 e 8. b) a 7 é o 9 o da PG formada pelos termos de ordem ímpar da sequência considerada na questão, assim, A 9 = a 7 8 =.. a 8 é o 9 o da PG formada pelos termos de ordem par da sequência considerada na questão, assim, B 9 = a 8 = 8. =. 9. RESPOSTA: a 7 e a 8 são, respectivamente, 8. e.. 9 Q 0. A figura representa duas circunferências de raio R e r com centros nos pontos A e B, respectivamente, tangenciando-se externamente no ponto D. Suponha que: a) As retas t e t são tangentes a ambas as circunferências e interceptam-se no ponto C. b) A reta t é tangente às circunferências no ponto D. Calcule a área do triângulo ABC, em função dos raios R e r.

3 Do enunciado, tem-se AB t. Traçando os raios BE t e AF t, tem-se a figura: na qual vemos que os triângulos retângulos AFC e BEC são congruentes, respectivamente, aos triângulos ADC e BDC + = 80 o + = 90 o ABC é retângulo CD = R.r (a medida da altura de um triângulo retângulo é a média geométrica entre as medidas dos segmentos que determina sobre a hipotenusa) S ABC = RESPOSTA: S ABC = Rr(R r). Rr(R r). Q 0. Na figura abaixo A, B e D são colineares e o valor da abscissa m do ponto C é positivo. Sabendo-se que a área do triângulo retângulo ABC é, determine o valor de m. No triângulo retângulo AOD: AD = e S AOD =. Como os triângulos AOD e ABC são semelhantes m m m S S AOD ABC m AD AC m m m m RESPOSTA: m.

4 Q 0. Na figura acima, as circunferências têm todas o mesmo raio r, cada uma é tangente a duas outras e ao quadrado. Sabendo-se que cada uma das retas suporte das diagonais do quadrado tangencia quatro das circunferências (ver figura), e que o quadrado tem lado 7, determine r. Das informações do problema pode-se construir a figura acima. A diagonal do quadrado ABCD é igual a r AB = r AB = r.ea = r + r O triângulo AEO é retângulo e isósceles ( OE é um segmento da bissetriz do ângulo reto determinado pelas diagonais do quadrado) e OE = OF + FE = 7 r. Como OE = EA r r 7 r r r r 7. RESPOSTA: r 7. r r 7

5 Q 07. Determine todos os valores de x pertencentes ao intervalo [0, ] que satisfazem a equação cos x sen x. Sendo cosx = cos x sen x cosx = sen x. Fazendo a devida substituição na equação cos x sen x, teremos: sen x sen x sen x sen x sen x sen x 0 sen x sen x 0 sen x 0 ou sen x sen x ou sen x senx ou senx. De senx, temos :x =, x =, x = ou x = De senx, temos : x =, x =, x7 = 7 7 RESPOSTA:,,,,,, ou. 7 ou x8 = 7. Q 08. A base ABCD da pirâmide ABCDE é um retângulo de lados AB = e BC =. As áreas dos triângulos ABE e CDE são, respectivamente, 0 e 7. Calcule o volume da pirâmide. Consideremos o plano EFH contendo o segmento EG, altura da pirâmide, e os segmentos EH e EF perpendiculares aos lados AB e CD, respectivamente. O plano EFH é então perpendicular ao plano EFH e FH//BC, logo FH =. Sendo a área do triângulo EAB igual a 0 AB EH EH 0 0 EH 0 Sendo a área do triângulo ECD igual a CD EF EF 7 7 EF 7 Aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos EGH e EGF temos o sistema 7 x 0 x x EG EH GH h 0 x 7 9 x x 0 x h EG EF FG h 7 x x h S O volume da pirâmide é V = ABCE h. RESPOSTA: u.v. 7.

6 Q 09. Seja f(x) = ax + ( a)x +, onde a é um número real diferente de zero. Determine os valores de a para os quais as raízes da equação f(x) = 0 são reais e o número x = pertence ao intervalo fechado compreendido entre as raízes. Como o número pertence ao intervalo fechado compreendido entre as raízes, então existem duas possibilidades de gráficos: Nos dois gráficos podemos notar que a e f(), no intervalo entre raízes, têm sempre sinais diferentes, logo em qualquer a 9a a dos casos o produto a.f() será sempre um número não positivo, isto é a.f() 0 0 a(a ) 0, cujas raízes são 0 e mas sendo f(x) uma função do o grau, temos que a tem que ser diferente de zero. Para determinar a solução da inequação a(a ) 0, façamos o estudo da variação do sinal do binômio a(a+): RESPOSTA: Analisando o gráfico ao lado concluímos que a(a ) 0 para a pertencente ao intervalo,0. Q 0. Uma pessoa dispõe de um dado honesto, que é lançado sucessivamente quatro vezes. Determine a probabilidade de que nenhum dos números sorteados nos dois primeiros lançamentos coincida com algum dos números sorteados nos dois últimos lançamentos. Como são lançamentos sucessivos o número total de possibilidades do espaço amostral é de = Lançamentos o o o o Evento A : o lançamento = o lançamento n(a) = Evento B: o lançamento o lançamento n(b) = A probabilidade de que nenhum dos números sorteados nos dois primeiros lançamentos coincida com algum dos 80 0 números sorteados nos dois últimos lançamentos, é então:. 7 RESPOSTA: A probabilidade é. 7

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