Lista 1. Sistema cartesiano ortogonal. 1. Observe a figura e determine os pontos, ou seja, dê suas coordenadas: a) A b) B c) C d) D e) E

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1 Sistema cartesiano ortogonal Lista. Observe a figura e determine os pontos, ou seja, dê suas coordenadas: a) A b) B c) C d) D e) E. Marque num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais os pontos: a) A(, -) b) D(0, ) c) Q(, -) d) B(-, ) e) P(-, -) f) N(0, -4) g) C(4, 4) h) M(-4, 0) i) R(, 0). No retângulo da figura, AB = a e BC = a. Dê as coordenadas dos vértices do retângulo. 4. O raio da circunferência da figura mede unidades. Quais são as coordenadas dos pontos A, B, C e D?. Sabendo que P(a, b), com ab > O, em que quadrante se encontra o ponto P? 6. Sabendo que P(m, - m - 4) pertence ao terceiro quadrante, determine os possíveis valores reais de m. 7. Verifique as coordenadas dos pontos pertencentes à bissetriz dos quadrantes: a) ímpares (primeiro e terceiro); b) pares (segundo e quarto). Distância entre dois pontos 8. Calcule a distância entre os pontos dados: a) A(, 7) e B(, 4) c) H(-, -) e O(0, 0) b) E(, -) e F(, ) d) M(0, -) e N(, -) e) P(, -) e Q(-, ) f) C(-4, 0) e D(0, ) 9. A distância do ponto A(a, ) ao ponto B(0, ) é igual a. Calcule o valor da abscissa a.

2 0. Qual é a distância do ponto A(cos a, sen a) ao ponto B(sen a, -cos a)?. Um ponto P pertence ao eio das abscissas e é equidistante dos pontos A(-, ) e B(, 4). Quais são as coordenadas do ponto P?. A abscissa de um ponto P é -6 e sua distância ao ponto Q(, ) é 74. Determine a ordenada do ponto.. Considere um ponto P(, ) cuja distância ao ponto A(, ) é sempre duas vezes a distância de P ao ponto B(-4, -). Nessas condições, escreva uma equação que deve ser satisfeita com as coordenadas do ponto P. 4. Demonstre que um triângulo com vértices A(0, ), B(, -) e C(-, -) é isósceles e calcule o seu perímetro.. Demonstre, usando a figura dada, que os comprimentos das diagonais de um retângulo são iguais. 6. Demonstre que os pontos A(6, -), B(-, ), C(, 0) e D(, -) são os vértices consecutivos de um quadrado. (Sugestão: verifique que os lados são congruentes e que os ângulos são retos). 7. Encontre uma equação que seja satisfeita com as coordenadas de qualquer ponto P(, ) cuja distância ao ponto A(, ) é sempre igual a. 8. (UFU-MG) São dados os pontos A (, ), B(, -4) e C(, -). Qual deve ser o valor de para que o triângulo ABC seja retângulo em B? 9. Considere um triângulo com lados que medem a,b e c, sendo a medida do lado maior. Lembre-se de que: a² = b² c² <=> triângulo retângulo a² < b² c² <=>triângulo acutângulo a² > b² c² <=> triângulo obtusângulo Dados A(4, -), B(, ) e C(6, 6), verifique o tipo do triângulo ABC quanto aos lados (equilátero, isósceles ou escaleno) e quanto aos ângulos (retângulo, acutângulo ou obtusângulo)... a) A(, ) b) B(, ) c) C(-4,) d) D(-, -6) e) E(, -4). A(0, 0); B(a, 0); C(a, a); D(0, a) 4. A(, 0); B(0, ); C(-, 0); D(0, -). P º quadrante ou P º quadrante 4 6. m R / m } 7. a) P(a,a) b)p(a,-a) 8. a) b) 6 c) 9 d) e) 6 f) 9. ± 0.. P(,0). - ou 8. ² ² 4 46 = ² ² = Triângulo escaleno; obtusângulo

3 Coordenadas do ponto médio de um segmento de reta Lista 0. Determine o ponto médio do segmento de etremidades: a) A(-,6) e B(-, 4) b) A(, -7) e B(, -) c) A(-,) e B(, -) d) A(-4, -) e B(-, -4). Uma das etremidades de um segmento é o ponto A(-, -). Sabendo que M(, -) é o ponto médio desse segmento, calcule as coordenadas do ponto B(, ), que é a outra etremidade do segmento.. Calcule os comprimentos das medianas do triângulo cujos vértices são os pontos A(0, 0), B(4, ) e C(, 4).. Num triângulo isósceles, a altura e a mediana relativas à base são segmentos coincidentes. Calcule a medida da altura relativa à base BC de um triângulo isósceles de vértices A(, 8), B(, ) e C(8, ). 4. (EEM-SP) Determine as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo que os pontos médios dos lados do triângulo são M(-, ), N(, ) e P(, -).. Num paralelogramo ABCD, M(, -) é o ponto de encontro das diagonais AC e BD. Sabe-se que A(, ) e B(6, 4) são dois vértices consecutivos. Uma vez que as diagonais se cortam mutuamente ao meio, determine as coordenadas dos vértices C e D. 6. Na figura, M é o ponto médio do lado AC e N é o ponto médio do lado BC. Demonstre, analiticamente, que o comprimento do segmento MN é igual à metade do comprimento do lado AB. 7. A figura mostra um triângulo retângulo ABC. Seja M o ponto médio da hipotenusa BC. Prove, analiticamente, que o ponto M é equidistante dos três vértices do triângulo. 8. A figura mostra um triângulo retângulo ABC no qual M é o ponto médio da hipotenusa. Prove que o comprimento da mediana relativa à hipotenusa é igual à metade do comprimento dessa hipotenusa. Condição de alinhamento de três pontos 9. Verifique se os pontos: a) A (0, ), B(-, ) e C(4, ) estão alinhados; b) A (-, ), B (, 4) e C(-4, 0) podem ser os vértices de um triângulo. 0. (PUC-MG) Calcule o valor de t, sabendo que os pontos A (, t), B(,0) e C(-, 6) são colineares.

4 . Determine de maneira que os pontos A (, ), B (, ) e C(, ) sejam os vértices de um triângulo.. (FEI-SP) Os pontos A (0,), B(,0) e C(p, q) estão numa mesma reta. Nessas condições, calcule o valor de p em função de q.. Considerando uma reta r que passa pelos pontos A (-, -) e B(4, ) intersecta o eio no ponto P, determine as coordenadas do ponto P. 4. Uma reta r passa pelos pontos A(, 0) e B(0, 4). Uma outra reta s passa pelos pontos C(-4, 0) e D(0, ). O ponto de intersecção das duas retas é P(a, b). Nessas condições, calcule as coordenadas a e b do ponto P.. Mostre que, para todos os valores reais de a e b, os pontos A ( 4a, - a), B(, ) e C( 4b, - b) estão alinhados. 6. Dados A(, ) e B(, -), determine o ponto no qual a reta AB intersecta a bissetriz dos quadrantes ímpares. 7. Sabendo que P(a, b), A(0, ) e B(, 0) são colineares e P, C(, ) e D(0, ) também são colineares, determine as coordenadas de P. Declividade ou coeficiente angular de uma reta 8. Determine o coeficiente angular (ou declividade) da reta que passa pêlos pontos: a) A(, ) e B(-, -) b) A(, -) e B(-4, ) c) P (, ) e P (, -) d) P (-, 4) e P (, ) e) P(, ) e Q(-, -) f) A(00, 00) e B(00, 80) 9. Se a é a medida da inclinação de uma reta e m é a sua declividade (ou coeficiente angular), complete a tabela: 0. a) M(-, ) b) M(, -6) c) M (, ) d) M(-, -). B(8,-)., e A (-, -4); B(,6); C(9,-). C(O, -7); D(-4, -8) 9. a) Não b) Sim 8. a) b) - c) Não eiste p = - q. P (0,- 6 ) d) - e) a= ; b= 6. P(, ) 7., f) -

5 Lista Equação da reta quando são conhecidos um ponto P (X,Y ) e a declividade m da reta 40. Determine a equação da reta que satisfaz as seguintes condições: a) A declividade é 4 e passa pelo ponto A(,-). b) A inclinação é de 4 e passa pelo ponto P(4, ). c) Passa pelo ponto M(-, -) e tem coeficiente angular O. d) Passa pelos pontos A(, ) e B(-, 4). e) Passa pelo ponto P(-, -4) e é paralela ao eio. f) Tem coeficiente angular - e passa pelo ponto A(, -). g) Passa pelo ponto P(, -7) e é paralela ao eio. h) Passa pelos pontos A(, ) e B(-, -). i) A inclinação é de 0 e passa pela origem. 4. (Fuvest-SP) Dados os pontos A(, ) e B(8, ), determine a equação da reta que passa por eles. 4. (Fuvest-SP) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(, ) e pelo ponto O, simétrico de P em relação à origem. 4. (MACK-SP) Qual é a equação da reta r da figura? 44. Verifique se o ponto P(, ) pertence à reta r que passa pelos pontos A(, ) e B(0, -). Forma reduzida da equação da reta 4. Dada a reta que tem a equação 4 = 7, determine sua declividade. 46. Determine a equação da reta de coeficiente angular m = - e que intersecta o eio no ponto A(0,-). 47. Uma reta passa pelo ponto P(-, -) e tem coeficiente angular m =. Escreva a equação da reta na forma reduzida. 48. Escreva na forma reduzida a equação da reta que passa pelos pontos P,(, 7) e P (-, -). 49. Escreva a equação: a) da reta bissetriz dos quadrantes ímpares; b) da reta bissetriz dos quadrantes pares; c) do eio ; d) do eio. Forma segmentária da equação da reta 0. Escreva na forma segmentaria a equação da reta que satisfaz as seguintes condições; a) Passa pelos pontos A(, 0) e B(0, ); b) Passa pelos pontos A(, 0) e tem declividade ; c) Passa pelos pontos P (4, -) e P (-, 6); d) Sua equação reduzida é = -.

6 . Na figura dada, o ponto O é a origem do sistema de coordenadas ortogonais e OABC é um quadrado de lado. Escreva a equação da reta suporte da diagonal AC.. Na figura dada, o ponto O é a origem do sistema de coordenadas ortogonais e OABC é um quadrado de lado 4. Sabendo que M é o ponto médio de OA e N, o ponto médio de OC, escreva a equação da reta que passa por C e M e a equação da reta que passa por A e N.. Na figura dada, o ponto O é a origem do sistema de coordenadas ortogonais e OABC é um retângulo. Nessas condições, escreva a equação da reta suporte da diagonal AC. 40. a) = O b) --=0 c) = - d) 8-7 = O e) = - f) 4 = O g) = -7 h) = i) = = = 0 4. =0 44. Não pertence = = = a)= ou -=0 b) =- ou =0 c)=0 d) =0 0. a) = b) = 0 c) = d) =. =. =; = 4 4. = - 4

7 Lista 4 Forma paramétrica da equação da reta 4. Em cada caso, escreva a equação geral da reta definida pelos pontos A e B: a) A(-, 6) e B(, -) c) A(, 0) e B(-, -4) b) A(-,8) e B(-,-) d) A(, ) e B(, -). Sabendo que os pontos A(, 0), B(0, 4) e C(4, ) são os vértices de um triângulo, determine a equação geral das retas suportes dos lados desse triângulo. 6. Se os pontos A(, ) e B(-, 8) determinam uma reta, calcule o valor de a para que o ponto C(4, a) pertença a essa reta. 7. Se um triângulo tem como vértices os pontos A(, ), B(4, ) e C(6, 7), determine a equação geral da reta suporte da mediana relativa ao lado BC. 8. Sabendo que o ponto P(, ) pertence à reta de equação k (k - ) = 4, determine o valor de k e escreva, a seguir, a forma geral da equação dessa reta. 9. Na figura dada, ABCD é um paralelogramo. Determine a equação geral das retas suportes das suas diagonais AC e BD. 60. Se a reta cuja equação geral é - - = 0 passa pelo ponto A (k, k ), calcule as coordenadas do ponto A. 6. Na figura dada, o ponto O é origem do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, OAB é um triângulo equilátero de lado 8 e BCDE é um quadrado de lado 8. Se M é ponto médio de OB e N é ponto médio de DE, determine a equação geral da reta que passa por M e N. 6. Passe a equação da reta de uma das formas conhecidas para outra: a) =, para a forma reduzida; b) - 6 = ( 4), para a forma geral; c) 9-6 = 0, para a forma segmentária; = t d), para a forma geral. = t Posições relativas de duas retas no plano 6. Qual é a posição da reta r, de equação 0 - = 0, em relação à reta s, de equação = 0?. 64. Se as retas de equações (a ) 4 - = 0 e a =0 são paralelas, calcule o valor de a. t = 6. Dê a posição da reta r, de equação =, em relação à reta s, de equação definida por. = t 66. (FAAP-SP) Determine os valores de m para que as retas L, e L, respectivamente, de equações (- m) -0 = 0 e (m ) 4 - m - 8 = 0, sejam concorrentes.

8 67. (Fuvest-SP) Qual deve ser a relação de igualdade que se pode estabelecer entre as coordenadas a e b para que a reta r, de equação - = 0, seja paralela à reta s, determinada pelos pontos P (a, b) e P(, )? 68. Em cada caso, determine a equação da reta que passa pelo ponto P e é paralela à reta da equação dada: a) P(, ) e 8 - = 0 c) P(4, - 4) e - = 0 f) P(, -) e = d) P(-, ) e - 7 = 0 b) P(, ) e = e) P(- 4, ) e - = Consideremos a reta r, de equação 4 =. Determine a equação de uma reta s que é paralela à reta r e passa pelo ponto A(, 0). 70. Se uma reta r passa pelo ponto A(-, ) e é paralela a uma reta s, determinada pelos pontos B(, ) e C(-, -4), escreva a equação da reta r. 7. A figura mostra um trapézio ABCD. Determine a equação da reta suporte da base menor do trapézio. 7. (Fatec-SP) Observe a figura e determine a equação da reta que passa pelo ponto A e é paralela à reta determinada pelos pontos B e C. 7. Na figura, ABCD é um quadrado. Determine a equação da reta suporte do lado BC. 4.a) - = 0 b)9-4 4 = 0 c) = 0 d) = 0.AB: -4 = 0; AC: - - = 0; BC: - 8 = = 0 8. k = ; = = 0; - 6 = A(, ) = 0 6. a) = - b) - 6 = 0 c) 4 = d) - = 0 6.Paralelas ou 6. Concorrentes 66. {m e IR / m - 4} 67. b - a = 68. a) = -4 6 b) = - 8 c) = - d) = e) = f) = 69. = = 7 7. = 7. = = -

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