QUESTÕES ÁREAS DE POLÍGONOS

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1 QUESTÕES ÁREAS DE POLÍGONOS 1. (Unicamp 014) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a a),0 m. b),0 m. c) 1,5 m. d),5 m.. (Fgv 014) A figura abaixo representa a face superior de um recipiente em forma de cubo de lado igual a L. Esta face está parcialmente tampada por uma placa de metal (área em cinza) e parcialmente destampada (área em branco), sendo AE AF L /. João e Maria arremessam bolinhas de diâmetro desprezível sobre essa face. Considere que a probabilidade de a bolinha atingir qualquer região dessa face é proporcional à área da região e que os arremessos são realizados de forma independente. a) Dado que uma bolinha arremessada por João caia na região do quadrado ABCD, qual é a probabilidade de que passe diretamente pela parte branca (destampada)? b) Se João arremessar uma bolinha e Maria arremessar outra, dado que em ambos os lançamentos as bolinhas caiam na região do quadrado ABCD, qual é a probabilidade de que ao menos uma passe diretamente pela parte branca? c) Se João efetuar seis arremessos, e em todos eles a bolinha cair na região do quadrado ABCD, qual é a probabilidade de que em exatamente 4 desses arremessos a bolinha passe diretamente pela parte branca?. (Ita 014) Em um triângulo isósceles ABC, cuja área mede 48cm, a razão entre as medidas da altura AP e da base BC é igual a. Das afirmações abaixo: I. As medianas relativas aos lados AB e AC medem 97 cm; II. O baricentro dista 4 cm do vértice A; III. Se α é o ângulo formado pela base BC com a mediana BM, relativa ao lado AC, então cos α, 97 é (são) verdadeira(s) a) Apenas I. b) Apenas II. c) Apenas III. d) Apenas I e III. e) Apenas II e III. 4. (Insper 014) As disputas de MMA (Mixed Martial Arts) ocorrem em ringues com a forma de octógonos regulares com lados medindo um pouco menos de 4 metros, conhecidos como Octógonos. Medindo o comprimento exato de seus lados, pode-se calcular a área de um Octógono decompondo-o, como mostra a figura a seguir, em um quadrado, quatro retângulos e quatro triângulos retângulos e isósceles. Página 1 de 9

2 A medida do lado do quadrado destacado no centro da figura é igual à medida a do lado do Octógono. Se a área desse quadrado é S, então a área do Octógono vale a) S( 1). b) S( ). c) S( 1). d) S( ). e) 4S( 1). 5. (Espm 014) Durante uma manifestação, os participantes ocuparam uma avenida de 18m de largura numa extensão de 1,5km. Considerando-se uma taxa de ocupação de 1,5 pessoas por número de participantes dessa manifestação foi de aproximadamente: a) 70 mil b) 60 mil c) 40 mil d) 0 mil e) 50 mil 6. (Espm 014) Na figura abaixo, ABCD é um paralelogramo de área CD, respectivamente. m, podemos estimar que o 4cm. M e N são pontos médios de BC e A área do polígono AMND é igual a: a) 0 cm b) 16 cm c) 1 cm d) 15 cm e) 18 cm 7. (Espm 01) A figura abaixo mostra um trapézio retângulo ABCD e um quadrante de círculo de centro A, tangente ao lado CD em F. Página de 9

3 Se AB = 8 cm e DE = cm, a área desse trapézio é igual a: a) 48 cm b) 7 cm c) 56 cm d) 64 cm e) 80 cm 8. (Insper 01) No triângulo ABC da figura, M é ponto médio de AB e P e Q são pontos dos lados BC e AC, respectivamente, tais que BP AQ a e PC QC 4a. Os segmentos AP, BQ e CM interceptam-se no ponto O e a área do triângulo BOM é 5 cm. Dessa forma, a área do triângulo BOP, assinalado na figura, é igual a a) 5 cm. b) 6 cm. c) 8 cm. d) 9 cm. e) 10 cm. 9. (Enem 01) A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade. Uma de suas várias propriedades é a retração (contração), que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o processo de cozimento, causa uma redução de até 0% nas dimensões lineares de uma peça. Disponível em: Acesso em: mar. 01. Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados mediam 0 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 0%. Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em a) 4%. b) 0%. c) 6%. d) 64%. e) 96%. 10. (Mackenzie 01) Um arame de 6 m de comprimento é cortado em duas partes e com elas constroem-se um triângulo e um hexágono regulares. Se a área do hexágono é 6 vezes maior que a área do triângulo, podemos concluir que o lado desse triângulo mede a) 5 m Página de 9

4 b) 7 m c) 9 m d) 11 m e) 1 m TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: A figura abaixo representa uma peça de vidro recortada de um retângulo de dimensões 1 cm por 5 cm. O lado menor do triângulo extraído mede 5 cm. 11. (Insper 01) A área da peça é igual a a) 40 cm. b) 50 cm. c) 60 cm. d) 70 cm. e) 80 cm. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Suzana quer construir uma piscina de forma triangular em sua casa de campo, conforme a figura abaixo (ilustrativa). Ela deseja que: as medidas s e t sejam diferentes; a área da piscina seja 50 m ; a borda de medida s seja revestida com um material que custa 48 reais o metro linear; a borda de medida t seja revestida com um material que custa 75 reais o metro linear. 1. (Insper 01) Ao conversar com o arquiteto, porém, Suzana foi informada de que já foi construída uma saída de água que fica a uma distância de m da borda de medida t e a 7 m da borda de medida s. Para que a terceira borda da piscina passe por esse ponto, t deve ser aproximadamente igual a a) 10,00 m. b) 1, m. c) 16,67 m. d) 0,00 m. e), m. Página 4 de 9

5 Gabarito: Resposta da questão 1: Sejam x, x r e x r as medidas, em metros, dos lados do triângulo, com x, r 0. Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos x r. Logo, os lados do triângulo medem r, 4r e 5r. Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m, vem 1 r 4r 5r 6 r. Portanto, a área do triângulo é igual a r 4r 1 6 1,5 m. Resposta da questão : a) A probabilidade pedida é dada por 1 L L 1. L 4 b) A probabilidade de que as duas bolinhas atinjam a parte tampada é igual a Portanto, a probabilidade de que ao menos uma passe diretamente pela parte branca é c) Sendo o acerto de uma bolinha na parte branca considerado sucesso, tem-se que o resultado pedido é dado por ! !! ,0%. Resposta da questão : [A] [I] Verdadeira. Sabendo que a área do triângulo ABC mede 1 1 (ABC) BC AP 48 BC BC BC 4 Logo, AP 1 8cm. BC 1cm. 48cm e que AP BC, vem Página 5 de 9

6 Como P é ponto médio de BC, é imediato, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo APC, que AB AC 10cm. Portanto, sendo M o pé da mediana relativa ao lado AC, tem-se 1 BM (AB BC ) AC 1 (10 1 ) cm. [II] Falsa. De fato, sendo G o baricentro do triângulo ABC, temos AG AP 1 8cm. [III] Falsa. Sabendo que BM 97 cm, vem BP 6 9 cos α. BG Resposta da questão 4: 97 BG BM cm. Assim, do triângulo BGP, obtemos Sabendo que o ângulo interno de um octógono regular mede 15, segue-se que os quatro triângulos, resultantes da decomposição do octógono, são retângulos isósceles de catetos iguais a a. destacado no centro do octógono é S a, tem-se que o resultado pedido é Logo, como a área do quadrado 1 a a a 4 a S a a S S S S( 1). Resposta da questão 5: O resultado pedido é dado pelo produto da área da avenida pela taxa de ocupação, ou seja, , Resposta da questão 6: [D] Sendo ABCD um paralelogramo, é imediato que AD BC e AB CD. Como a área de ABCD vale 4cm, tem-se 1 (ABCD) AD CD sen ADC AD CD sen ADC 4. Página 6 de 9

7 Além disso, sabemos que ADC ABC e BCD 180 ADC. Por conseguinte, o resultado pedido é dado por (AMND) (ABCD) (ABM) (MCN) AB BM sen ABC CM CN senbcd 1 AD 1 AD CD 4 CD sen ADC sen(180 ADC) AD CD sen ADC AD CD sen ADC cm. Resposta da questão 7: Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de C sobre AD. Como CD é tangente ao quadrante no ponto F, segue que o triângulo AFD é retângulo em F. Além disso, CH AB 8cm e ADF HDC implicam em CD AD 10cm (os triângulos AFD e CHD são congruentes). Daí, é imediato que DH 6cm e, portanto, BC 4cm. A área do trapézio ABCD é igual a AD BC 10 4 AB 8 56cm. Resposta da questão 8: Seja S a área do triângulo BOP. Como PC 4 BP, segue que (OPC) 4 (BOP) e (APC) 4 (BAP). Além disso, como ABC é isósceles de base AB, e M é ponto médio de AB, temos que Portanto, S 8cm. (BOP) (AOQ), (APC) 4 (BAP) (AOQ) (COP) 4 [ (BOM) (BOP)] S 4S 4 ( 5 S) 9S 40 4S (COP) (COQ) e (BOM) (AOM). Resposta da questão 9: Sendo de 0% a redução nas medidas dos lados, tem-se que a redução na área é dada por Página 7 de 9

8 1 0,8 1 0,64 0,6 6%. Resposta da questão 10: [B] Perímetro do triângulo: P = x, onde x é a medida do lado. Perímetro do hexágono: 6 x, onde (1 x)/ é a medida do lado; Considerando que a área do hexágono é seis vezes a área do triângulo, temos a seguinte equação: 1 x 6 6 x 441 4x x 4x x 4x x 14x Resolvendo a equação, temos x = 1 (não convém) ou x = 7. Resposta da questão 11: [D] Considere a figura. Sabendo que BE 5cm, DE 1cm e CE 5cm, obtemos Resposta da questão 1: [E] Considere a figura. (ABCD) (ABED) (CDE) CE DE BE DE cm. Página 8 de 9

9 Sabendo que BE DF 7 m e BF DE m, segue que AE t 7 e CF s. Logo, como os triângulos AED e DFC são semelhantes, vem CF DF s 7 DE AE t 7 t s. t 7 Além disso, como a área da piscina é 50 m e s t, encontramos t s t 100 t 100 t 7 t 100t t,. Página 9 de 9

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