XXIX Olimpíada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas

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1 Gabarito da Prova da Primeira Fase Nível Alfa 1

2 Questão 1 Sabemos que a água do mar contém 3, 5% do seu peso em sal, isto é, um quilograma de água do mar contém 35 gramas de sal (a) Determine quantos litros de água do mar são necessários para obter 910 gramas de sal (b) Determine a porcentagem de sal em uma mistura que contém dois litros de água pura e seis litros de água do mar Lembrando que um litro de água corresponde a um quilograma de água (a) Sabendo se que um quilograma de água do mar contém 35 gramas de sal, temos Desse modo, 1 kg 35 g x kg 910 g x = = 18 = 6 kg 7 Portanto, em 6 litros de água do mar contém 910 gramas de sal, lembrando que um litro de água corresponde a um quilograma de água (b) Sabendo se que um quilograma de água do mar contém 35 gramas de sal, assim em 6 litros de água do mar contém 6 35 = 10 gramas de sal, lembrando que um litro de água corresponde a um quilograma de água Desse modo, Assim, 8 kg 100 % 0, 1 kg x % x = 1 8 = 10, 5 = , 5 =, 5 + 0, 15 =, 65 % 4 Portanto, 10 gramas de sal na mistura que contém dois litros de água pura e seis litros de água do mar, corresponde a, 65 %

3 Questão Dois irmãos, Andre e Carla, pesam juntos P quilos Andre pesa exatamente 0 quilos a mais do que Carla Andre e Carla têm um cachorro, Biruta, que pesa exatamente P 8 que Carla Determine o peso do cachorro Biruta em termos de P quilos a menos do Chamando de A o peso do Andre, de B o peso do cachorro Biruta e de C o peso da Carla, temos as seguintes equações A + C = P, A = C + 0 e B = C P 8 Substituindo a segunda equação na primeira equação, obtemos o peso da Carla em termos de P, que é dado por: C = P 0 Substituindo o peso da Carla, dado na equação acima, na equação do peso do Biruta, obtemos B = P 0 P 8 4P 80 P = 8 = 3P 8 10 Portanto, o peso do cachorro Biruta em temos do peso total P é dado por: B = 3P

4 Questão 3 Sejam m e n dois números inteiros, tais que 4m + é divisível por 5 e n + 3 = 4m Podemos afirmar que o número x dado por: x = n 5 é um número inteiro? Como o número inteiro 4m + é divisível por 5, podemos escreve lo da seguinte forma: onde k é também um número inteiro Utilizando o fato que n + 3 = 4m, obtemos 4m + = 5k, 4m + = 5k n = 5k n = 5k 5 = 5(k 1) Desse modo, temos x = n x = 5 Portanto, x = n é um número inteiro 5 5(k 1) 5 = k 1 4

5 Questão 4 Considere um conjunto X com quinze números pares consecutivos Se a soma dos cinco menores números de X é igual a 580, determine a soma dos dez maiores números de X Vamos representar os cinco menores elementos do conjunto X da seguinte forma: m 1 = m, m = m +, m 3 = m + 4, m 4 = m + 6, m 5 = m + 8, onde m é um número natural Sabemos que m 1 + m + m 3 + m 4 + m 5 = 10m + 0 = 580 m = = 56 Desse modo, os cinco primeiros elementos do conjunto X são os seguintes pares consecutivos m 1 = 11, m = 114, m 3 = 116, m 4 = 118, m 5 = 10 Assim, os dez maiores elementos do conjunto X são dados por: m 6 = m + 10, m 7 = m + 1,, m 15 = m + 8, para m = 56 Desse modo, temos para m = 56 m 6 + m m 15 = 0m , Note que na expressão acima temos a soma de dez termos de uma P A com primeiro termo a 1 = 10 e razão r = Assim, = = 190 Portanto, a soma dos dez maiores números do conjunto X é dada por: m 6 + m m 15 = =

6 Questão 5 (a) Se o perímetro de um triângulo equilátero é P centímetros, determine sua área (b) Na figura abaixo temos o quadrado ABCD inscrito na circunferência de raio r Determine a razão entre a área do círculo, delimitado pela circunferência, e a área do quadrado inscrito no quadrado ABCD Lembrando que a área do círculo é igual a π r D C A B (a) Denotando por L o comprimento do lado do triângulo equilátero, temos L = P 3, uma vez que P é o perímetro do triângulo equilátero Denotando por h a altura do triângulo equilátero ABCD, como ilustra a figura abaixo, e aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo AM C, obtemos h + P 36 = P 9 h = P uma vez que M é o ponto médio do lado AB 9 P 36 = 4P P 36 C = h = 3 6 P h A M B Desse modo, a área do triângulo equilátero ABC é dada por: A = 3 36 P 6

7 (b) Vamos denotar por d o comprimento da diagonal do quadrado ABCD, que é igual ao diâmetro da circunferência, isto é, d = r Assim, o comprimento do lado do quadrado ABCD, que vamos denotar por L, é dado por: d = L 4r = L L = r pela aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, por exemplo Vamos denotar por l o comprimento do lado do quadrado A B C D Note que o comprimento da diagonal do quadrado A B C D é igual ao comprimento do lado do quadrado ABCD Assim, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo A B C, obtemos l = L = r Desse modo, a área do circulo, que vamos denotar por A, e a área do quadrado A B C D, que vamos denotar por A, são dadas por: A = πr e A = r Assim, a razão entre a área do círculo e a área do quadrado A B C D é dada por: A A = π D C C D B A B A 7

8 Questão 6 (a) Determine três números ímpares consecutivos cuja soma seja igual a 013 (b) Determine os valores da variável x que satisfazem simultaneamente as desigualdades 0 x 3 9 x (a) Chamando os três números ímpares consecutivos da forma: onde n é um número natural m 1 = n + 1, m 1 = n + 3 e m 1 = n + 5, Fazendo m 1 + m + m 3, obtemos n n n + 5 = 013 6n + 9 = 013 n = 334 Portanto, os três números ímpares consecutivos são m 1 = 669, m = 671 e m 3 = 673 (b) Podemos escrever as desigualdades acima da seguinte forma: 0 x 3 3 x x 3 x 3 9 x 3x 1 x 4 Portanto, das duas desigualdades acima, temos 3 x 4 8

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