XXVIII Olimpíada de Matemática da Unicamp Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas

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1 Gabarito da Prova da Segunda Fase Nível Beta 1

2 Questão 1 Dentre todos os losangos cuja soma das medidas das diagonais é igual a L centímetros, determine: (a) o losango de maior área possível e a medida de sua área. (b) o perímetro do losango de área máxima. Digamos que as medidas das diagonais do losango são x e L x centímetros. Assim, a área do losango é dada por: A = 1 ( ) L x 2 x(l x) = x, 2 que é uma função quadrática na variável x, cujo gráfico é uma parábola de concavidade voltada para baixo. Assim, o vértice dessa parábola tem por coordenadas: x v = L 2 e y v = L2 8. Portanto, as diagonais do losango de área máxima são iguais, medindo L 2 é igual a A max = L2 8 cm2. Assim, o losango de área máxima é um quadrado cujo lado mede perímetro é igual a L 2 centímetros. L 2 4 centímetros, e sua área centímetros, e o seu 2

3 Questão 2 Considere a sequência numérica (A n ) com a seguinte propriedade: A k + A k+1 + A k+2 = 15 para k = 1, 2, 3,, n,, onde A 1 = 4 e A 9 = 7. Determine os doze primeiros termos dessa sequência. Vamos considerar as seguintes equações, construídas a partir da propriedade da sequência (A n ), Das equações (1) e (2), obtemos A 1 = A 4. Das equações (2) e (3), obtemos A 2 = A 5. Das equações (3) e (4), obtemos A 3 = A 6. Das equações (4) e (5), obtemos A 4 = A 7. Das equações (5) e (6), obtemos A 5 = A 8. Das equações (6) e (7), obtemos A 6 = A 9. Das equações (7) e (8), obtemos A 7 = A 10. Das equações (8) e (9), obtemos A 8 = A 11. Das equações (9) e (10), obtemos A 9 = A 12. Desse modo, temos A 1 + A 2 + A 3 = 15 (1) A 2 + A 3 + A 4 = 15 (2) A 3 + A 4 + A 5 = 15 (3) A 4 + A 5 + A 6 = 15 (4) A 5 + A 6 + A 7 = 15 (5) A 6 + A 7 + A 8 = 15 (6) A 7 + A 8 + A 9 = 15 (7) A 8 + A 9 + A 10 = 15 (8) A 9 + A 10 + A 11 = 15 (9) A 10 + A 11 + A 12 = 15 (10) A 1 = A 4 = A 7 = A 10 = 4, A 2 = A 5 = A 8 = A 11 e A 3 = A 6 = A 9 = A 12 = 7, uma vez que A 1 = 4 e A 9 = 7. Da equação (1), obtemos A 2 = 4, uma vez que A 1 = 4 e A 3 = 7. Portanto, podemos concluir que A 1 = A 4 = A 7 = A 10 = A 2 = A 5 = A 8 = A 11 = 4 e A 3 = A 6 = A 9 = A 12 = 7. 3

4 Questão 3 Na ilustração da figura abaixo, temos quatro circunferências com o mesmo raio e cujos centros estão em um mesmo diâmetro da circunferência maior. Considerando que o diâmetro da circunferência maior mede 20 cm, determine o raio da circunferência que tangencia as duas circunferências de mesmo raio e a circunferência maior. As quatro circunferências menores de raio r estão alinhadas em um diâmetro da circunferência maior de raio R. Claramente R = 4r. Digamos que a circunferência que tangencia duas circunferências de raio r tem raio L. Para encontrar L vislumbramos um triângulo retângulo, no qual um cateto tem medida r e a hipotenusa r + L, como ilustra a figura abaixo. 4

5 O outro cateto ou a altura desse triângulo vai ter medida h = L 2 + 2Lr que é a medida do centro da circunferência de raio R até o centro da circunferência de raio L. É fácil ver que L + h = R. Assim, temos L 2 + 2Lr = R L L 2 + 2Lr = ( R L ) 2 L 2 + 2Lr = R 2 2RL + L 2. Portanto, obtemos uma vez que R = 4r = 10 cm. L = R 2 2(r + R) = 8r 5 = 4 cm, 5

6 Questão 4 Considere a função real dada por f(x) = ax bx + c para x IR com bx + c 0, onde a, b e c são constantes reais não nulas. constantes a, b e c de forma que f(f(x)) = x para todo x c b? É possível fixar as Considerando x c b, temos f(f(x)) = f ( ax ) bx + c = ax bx + c ax a b bx + c + c = a2 x bx + c bx + c bax + bcx + c 2 = a 2 x bax + bcx + c 2 Assim, fazendo f(f(x)) = x, temos a 2 x bax + bcx + c 2 = x a2 = bax + bcx + c 2 a 2 = bx( a + c ) + c 2. E, como as constantes a, b e c são não nulas, a igualdade a 2 = bx( a + c ) + c 2 é válida se a = c e b é qualquer número real. Portanto, f(f(x)) = x para todo x c, se a = c e b qualquer número real, com a, b b e c constantes não nulas. 6

7 Questão 5 O pagamento de um certo marceneiro aumenta de acordo com o número de dias em que ele trabalha. No primeiro dia ele recebeu 50 reais. no segundo dia ele recebeu o que tinha ganho no primeiro dia mais 5 reais. No terceiro dia ele recebeu o que tinha recebido no segundo dia mais 10 reais. No quarto dia ele recebeu o que tinha recebido no terceiro dia mais 15 reais, e assim sucessivamente. (a) Quanto o marceneiro irá receber no quinto dia de trabalho? (b) Quanto o marceneiro irá receber no N ésimo dia de trabalho? Vamos calcular quanto o marceneiro recebeu no quinto dia de trabalho: Primeiro dia de trabalho: 50 Segundo dia de trabalho: Terceiro dia de trabalho: Quarto dia de trabalho: Quinto dia de trabalho: Denotando por S 5 o valor recebido no quinto dia de trabalho, temos S 5 = = ( ) = = 100 reais. Portanto, no quinto dia de trabalho o marceneiro recebeu 100 reais. Denotando por S N o valor recebido no N ésimo dia de trabalho, temos S N = ( (N 1) ) = Portanto, no N ésimo dia de trabalho o marceneiro irá receber (N 1) N 2. S N = (N 1) N 2 reais. 7

8 Questão 6 Seja A = [a ij ] uma matriz real quadrada de ordem n. Definimos o traço da matriz A, que denotamos por tr(a), da seguinte forma: tr(a) = a ii. (a) Considere as matrizes A = e B = Determine o traço da matriz C = A + 3B. (b) Sejam A = [a ij ] e B = [b ij ] matrizes reais quadradas de ordem n, e α um número real. Mostre que tr(a + αb) = tr(a) + α tr(b). Inicialmente vamos calcular a matriz C = A + 3B A + 3B = = Assim, temos tr(c) = = 11. Note que tr(a) = = 8 e que tr(b) = = 1. Assim, temos tr(a + 3B) = tr(a) + 3 tr(b). Finalmente, fazendo C = A + αb = [a ij + αb ij ], obtemos tr(a + αb) = ( a ii + αb ii ) = a ii + αb ii = a ii + α b ii = tr(a) + α tr(b). 8

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