MAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II

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1 MAT454 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II a Lista de Exercícios -. Ache os pontos do hiperboloide x y + z = onde a reta normal é paralela à reta que une os pontos (,, ) e (5,, 6).. Encontre uma parametrização para C e use esta parametrização para encontrar, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em C, bem como os pontos onde estes valores são assumidos. (a) C = {(x, y) R : x + y = } e f(x, y) = x y. (b) C = {(x, y, z) R : x + y = z e z = y} e f(x, y, z) = x z. (c) C = {(x, y, z) R : x + y + z = e (x ) + y + (z ) = } e f(x, y, z) = xz+y. (d) C = {(x, y, z) R : x+y+z = e x y+z = } e f(x, y, z) = x + y + z.. Seja a > e considere o plano tangente à superfície xyz = a num ponto do primeiro octante. Mostre que o tetraedro formado por este plano e os planos coordenados tem volume independente do ponto de tangência. 4. Mostre que o elipsoide x + y + z = 9 e a esfera x + y + z 8x 6y 8z+ 4 = se tangenciam no ponto(,, ) (isto é, que elas têm o mesmo plano tangente neste ponto). 5. Verifique que as superfícies x + y z = e x + y + z = possuem vetores normais mutuamente ortogonais em todos os pontos da interseção. 6. Ache um vetor tangente à interseção das superfícies z = x + y e 4x + y + z = 9 no ponto (,, ). 7. Ache a reta da tangente à interseção do cilindro x + y = com gráfico de f(x, y) = x + y + no ponto (,, 4). 8. Sejam f : R R e γ : R R, diferenciáveis com f(, ) = (, ) e γ (t) = (,, ), para todo t R. Suponha que a imagem de γ esteja contida na interseção do gráfico de f com a superfície z + x + yz+xy =. Sabendo que (,, ) Imγ, determine uma equação para a reta tangente a γ neste ponto. 9. Determine a equação da esfera que tangencia a superfície nos pontos (,, ) e (,, ). (x ) + (y ) 4 (z ) =. Ache a derivada direcional máxima de f no ponto dado e dê a direção em que ela ocorre. a) f(x, y, z) = xe z + sen(y), (,, ) b) f(x, y, z) = 4 + z ln(x), (,, ) y. Suponha que sobre uma certa região do espaço o potencial elétrico V é dado por V(x, y, z) = 5x xy+xyz.

2 (a) Ache a taxa de variação do potencial em P(, 4, 5) na direção do vetor v = i+ j k. (b) Em que direção V muda mais rapidamente em P? (c) Qual é a maior taxa de variação em P?. Ache o máximo e o mínimo absolutos da função na região D indicada. (Esboce D.) (a) f(x, y) = 5 x+4y; são (, ), (4, ) e (4, 5) D é o triângulo (com interior e bordas) cujos vértices (b) f(x, y) = xye x y ; D = {(x, y) R : x + y, x, y } (c) f(x, y) = x + y 4 ; D = {(x, y) R : x + y } (d) f(x, y) = (4x x ) cos y; D = {(x, y) R : x, π 4 y π 4 }. Determine o valor máximo e o valor mínimo da função f sujeita às restrições explicitadas: (a) f(x, y) = xy; 5x + 5y + 6xy 64 = (b) f(x, y, z) = xyz; x + y + z = 6 (c) f(x, y, z) = x y z ; x + y + z = (d) f(x, y, z) = x + y + z ; x 4 + y 4 + z 4 = 4. Determine o valor máximo e o valor mínimo de f em R sendo (a) f(x, y, z) = x x+y 4y+z 6z e R = {(x, y, z) : x + y + z 56} (b) f(x, y, z) = x + y + z 4xy 4z+x e R = {(x, y, z) : x, y, z, x+y+z 4} 5. Encontre o máximo e o mínimo absolutos de f(x, y) em D sendo: (a) f(x, y) = xy; D = { (x, y) : x y =, x [, ] } } (b) f(x, y) = x + y 4 ; D = {(x, y) : x + y =, x [, 4 ], y Você pode usar multiplicadores de Lagrange (apenas) para resolver esse exercício? 6. (a) Encontre os pontos da elipse x + xy+y = mais próximos de (, ). (b) Qual o ponto do plano x + y z + 4 = que está mais próximo do ponto (,, )? 7. Determine o maior produto de números reais positivos cuja soma é. Exiba tais números. 8. Determine a distância entre as retas de equação X = (,, )+α(4,, 5), α R e X = (,, )+µ(,, ), µ R. 9. Qual é o ponto da superfície z = xy+ que está mais próximo da origem?. Sendo α, β e γ os ângulos de um triângulo, calcule o valor máximo de senα+senβ+ senγ. 4. Seja T(x, y) = x uma função que dá a temperatura do ponto (x, y) do plano. + y Em que ponto da região A = {(x, y) R : y x+} a temperatura máxima é atingida? E a mínima?

3 . Seja b R e f(x, y) = y4 4 + bx y bx y. (a) Determine, em função de b, o número de pontos críticos de f e classifique-os. (b) Faça b = e ache os extremos de f no triângulo (fronteira e interior) de vértices (, ), (, ) e (, ).. Seja f(x, y) = k(x + y ) xy, onde k é uma constante. (a) Verifique que, para todo k R, o par (, ) é um ponto crítico de f. (b) Para cada valor de k, classifique o ponto crítico (, ) com relação a máximos e mínimos locais e sela. Existem valores de k para os quais podemos afirmar que (, ) é extremo global (absoluto) de f? 4. A temperatura num ponto(x, y, z) do espaço é dada por T(x, y, z) = xy + yz. Determine os pontos da esfera x + y + z = onde a temperatura é mais alta e onde é mais baixa. Justifique. 5. Considere o seguinte problema: Determinar as dimensões de um paralelepípedo de volume máximo, com faces paralelas aos planos coordenados, de modo que uma das faces está contida no plano z = e a correspondente face oposta tem os seus vértices no parabolóide z = 4 x y, z >. (a) Mostre que o problema tem solução. (b) Resolva o problema. 6. Encontre os pontos de máximo e de mínimo de f em C, sem parametrizar C, onde: (a) f(x, y, z) = x+y+z e C = {(x, y, z) R tal que x + y = e 4x+ 4y = z }. (b) f(x, y, z) = x + y + z e C = {(x, y, z) R tal que x + y + z = e x+y+z = } (c) f e C como no exercício (a); (d) f e C como no exercício (b). 7. Seja f(x, y, z) = x+y z. (a) Seja S a parte do hiperboloide 4x + y z + = onde z >. Seja C o compacto que é a intersecção de S com o plano z = x + y+4. Encontre o máximo e o mínimo de f em C. (b) Seja R o compacto R = {(x, y, z) R : 4x + y z + =, z >, e z x+y+4}. Encontre o mínimo de f em R. 8. Seja f(x, y, z) = x + y + z 4xy 4z. Achar o máximo e o mínimo de f em: (a){(x, y, z) R : x + y + z = 4} (b){(x, y, z) R : x + y + z 4} (c){(x, y, z) R : x + y + z = 4 e z } (d){(x, y, z) R : x + y + z 4 e z } (e){(x, y, z) R : x + y + z = 4 e z x+y}

4 Resolva os exercícios 9 a, assumindo que cada problema proposto tem solução. É possível provar que essas soluções existem. Tente fazê-lo. 9. Um pentágono de cm de perímetro é construído colocando-se um triângulo isósceles sobre um retângulo. Dentre esses pentágonos, determine as medidas dos lados daquele que tem área máxima.. Determine a equação do plano que passa por (,, ) e que delimita no primeiro octante o tetraedro de menor volume.. Dentre todos os planos que são tangentes à superfície xy z = encontre aqueles mais distantes da origem.. Dê as dimensões da caixa retangular sem tampa de maior volume que pode ser construída com 7cm de papelão.. Um quarto de armazenamento aquecido tem a forma de uma caixa retangular e tem o volume de pés cúbicos. Como o ar quente sobe, a perda de calor por unidade de área pelo teto é cinco vezes maior que a perda de calor pelo chão. A perda de calor pelas quatro paredes é três vezes maior que a perda de calor pelo chão. Determine as dimensões do quarto que minimiza a perda de calor e, portanto, minimiza o custo do aquecimento. 4. Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os: (a) z = x + xy+y + x 9y+ (b) z = xy + y x 6y+7 (c) z = x y (d) z = x y (e) z = y x y x+6y (f) z = y cos x (g) z = (x x )(y y ) (h) z = y 4 + 4x y 4x 8y (i) z = xye x y (j) z = ln(x + 4y x+7) (k) z = (x ) +(y ) x y 5. A figura abaixo exibe o gráfico de f(x, y) = xy e (x +y ) 4. (a) Mostre que há um número infinito de pontos críticos. (b) Ache as coordenadas dos 4 pontos críticos exibidos na figura. (c) Classifique os demais pontos críticos eixo-z.5..5 eixo-x eixo-y

5 6. A figura abaixo exibe o gráfico de f(x, y) = (x + y )e (x +y ). Mostre que há 5 pontos críticos e ache os extremos de f..8 eixo-z.6.4. eixo-y eixo-x 7. Determine os valores de a para os quais a função f(x, y) = ax 4 + y ax y (a) tem exatamente um ponto de sela e dois pontos de mínimo local; (b) tem exatamente dois pontos de sela e um mínimo local. (c) Existe a R para o qual a função tenha ao menos um máximo local? (d) Existe a R para o qual a função tenha mais de pontos críticos? 8. É impossível para uma função contínua de R em R ter máximos locais e nenhum mínimo local. Por quê? O mesmo não ocorre com uma função f : R R. Verifique que f(x, y) = (x ) (x y x ) tem exatamente dois pontos críticos, ambos máximos locais. Faça um esboço de uma superfície com tais características e tente compreender como isso ocorre. 9. Mostre que a função f(x, y) = x + 5y (+ x) possui um único ponto crítico, que este ponto crítico é um mínimo local, e que f não possui ponto de mínimo global. 4. Seja f : R R dada por f(x, y) = ax + by + cxy+dx+ey+l, onde a, b, c, d, e, l são constantes não todas nulas. Prove que se (x, y ) for um extremante local de f, então será um extremante global de f. (Dica: dados (h, k) R, observe que a função g(t) = f(x + th, y + tk) é uma parábola.) 4. (Método dos Mínimos Quadrados) Sejam P i = (x i, y i ) R, i n (dado n N, n ), com x i = x j se i = j. Estes pontos representam os resultados de algum experimento, e gostaríamos de encontrar uma função linear afim f : R R, f(x) = ax + b com a, b R a serem determinados, de modo que o gráfico de f contenha P i para i n. Nem sempre existe uma tal função; com efeito, o sistema linear nas variáveis a e b dado por ax i + b = y i, i n, é, em geral, impossível se n. O objetivo deste exercício é verificar que podemos encontrar uma solução aproximada deste sistema, isto é, uma solução que minimiza a soma dos quadrados dos erros, E(a, b) = n i= [y i (ax i + b)]. Mostre que a função E : R R assim definida tem um único ponto de mínimo global e encontre tal ponto.

6 . (,, ) e ( RESPOSTAS,, ). (a) pontos de máximo: (, ) e (, ); pontos de mínimo: (, ) e ( ). (b) ponto de máximo: (, 5, 5 4 ); ponto de mínimo: 5 (, 5 +,, ). (c) ponto de máximo: 5 (,, ); ponto de mínimo: (, ponto de mínimo: (, 6, 6 5 ); não tem ponto de máximo. 6. (5, 8, 6). 7. X = (,, 4)+λ(,, ), λ R. 8. X = (,, )+λ(, 9, 5), λ R. 9. (x ) +(y ) +(z ) =. a) 6 ; (,, ) b) ; (,, ).. (a) ( b) (8, 6, ) (c) 46., ). (d). (a) máximo: f(4, 5) =, mínimo: f(4, ) = 7; (b) máximo: f(x, ) =, x e f(, y) =, y, mínimo: f(, ) = e ; (c) máximo: f(, ) =, mínimo: f(, ) = ; (d) máximo: f(, ) = 4, mínimo: f(, π 4 ) = f(, π 4 ) = f(, π 4 ) = f(, π 4 ) =.. (a) máx f(, ) = f(, ) = 4; mín f(4, 4) = f( 4, 4) = 6; (b) máx /, mín / ; (c) máx /7, mín ; (d) máx, mín. 4. (a) Valor mínimo: 4, Ponto de mínimo (,, ); Valor máximo, Ponto de máximo (, 4, 6) 5. (a) mínimo: e máximo: ( ) ; b) mínimo: e máximo:. 6. (a) (, ) e (, ); (b) (,, ). 7. n = n = n = (,, ) ou (,, )... ponto de máximo (, ); não há ponto de mínimo. ( ). (a) Se b >, temos 5 pontos críticos: ± b, e (, ) pontos de sela; (, ) máx. local e (, ) mín. local; e se b <, temos pontos críticos: (, ) e (, ) pontos de sela; (, ) mín. local. (b) Pontos de máx: (, ) e (, ); ponto de mín. (, ).

7 . (b) k > : mínimo local; < k < : sela; k < : máximo local; k : (, ) é ponto de mínimo global; k : (, ) é ponto de máximo global. 4. Mais quentes: (,, ( ),,, ) ( ; Mais frios :,, ) (,,, ). 5. O paralelepípedo tem vértices em (±, ±, ) e (±, ±, ). 6. (a) pontos de mínimo: (,, ) e (,, ); ponto de máximo: (,, 4 ). (b) pontos de mínimo: (,, ), (,, ), e (,, ); pontos de máximo: (,, ), (,, ) e (,, ). 7. (a) Ponto mínimo: (+ 7, + 7, 4+ 7) valor mínimo: Ponto de máximo: ( 7, 7, 4 7) valor mínimo: (b) Ponto de mínimo: (+ 7, + 7, 4+ 7) valor mínimo: Ponto de máximo: ( 4,, ) valor mínimo: 8. (a) Ponto de máximo: (,, ), pontos de mínimo: ( 4, 4, ) e ( 4, 4, ). (b) Os mesmos que em (a). (c) Pontos de máximo: 5 (, 5, ) e ( 5, 5, ); pontos de mínimo: ( 4, 4, ) e ( 4, 4, ). (d) Os mesmos que em (c). (e) Pontos de máximo:( + 5, 5, ) e ( + 5, 5, ); ponto de mínimo: ( 4, 4, ). 9. ( ), ( ), 4( ). x+y+z 6 =. /5 x+ 9/ y+ 9/ z = 5; /5 x 9/ y+ 9/ z = 5; /5 x+ 9/ y 9/ z = 5; /5 x 9/ y 9/ z = 5.. base cm, altura,5cm.. largura, profundidade e altura iguais a pés. 4. (a) (, ) mínimo local; (b) (, ), ( 4, ) selas; (c) (, λ) e (λ, ) com λ R mínimos locais; (d) (, λ) e (λ, ) com λ R selas; (e) (4, 4) máximo local; (f) ( π + kπ, ), com k Z selas; (g) (, ) máximo local, (, ),(, ),(, ),(, ) selas; (h) (, ) máximo local, (, ) mínimo local, (, ),(, ),(, ) selas; (i)(, ) sela,(, ) e(, ) máximos locais,(, ) e(, ) mínimos locais; (j) (, ) mínimo local; (k) (, ) e (, ) sela; (, ) mínimo local e (, ) máximo local. 5. (a) (a, ) é ponto crítico a R. (b) (6 /8, 6 /8 ),( 6 /8, 6 /8 ),( 6 /8, 6 /8 ),(6 /8, 6 /8 ) 6. mínimo f(, ) = ; máximo f(,±) = e 7. (a) a > (b) a < (c) não (d) a =.

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