Função Quadrática Função do 2º Grau

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1 Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Função Quadrática 1º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO Professor: Hermes Jardim Disciplina: Matemática Lista 5 º Bimestre/13 Aluno(a): Número: Turma: Função Quadrática Função do º Grau 1) Dada a função f(x) = x - 5x + 6, calcule: a) f(1) = d) f() = b) f(- 1) = e) f(3) = c) f() = g) f(1/) = ) Dada a função f(x) = x - 4x - 5, determine os valores de x para que se tenha f(x) = 7. {-, 6} 3) Dada a função f(x) = x² - 3x + 1, calcule: a) f(- x). x + 3x + 1 b) f(x + 1). x + x c) a, para que f(a - 1) =. {3/, } 4) Dada as funções f(x) = x + 1 e g(x) = x - 1 determine os valores reais de x para que se tenha g(f(x)) =. {- 1, } 5) Se f(x) = x + bx + c é tal que f(- 1) = 1 e f(1) = - 1, calcule o valor de bc. 6) Seja a função f(x) = ax + bx + c, sabendo que f(1) = 4, f() = e f(3) = -, calcule f(- ). 7) Determine a sentença que define f(x) de uma função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos M(, 4), N(- 1, 1) e P(1, ). f(x) = x - 5x + 4 8) Seja f(x) = ax + bx + c. Sabendo que f(1) = 4, f() = e f(3) = -, calcule o valor de - ab + c. 9) Resolva as equações de º grau: a) x - 8x + 1 = {, 6} f) 4x - 1x = {, 3} b) x - 4x - 5 = {- 1, 5} g) x + 3x - 6 = - 8 {- 1, - } c) - x + x + 1 = {- 3, 4} h) x - 7x = 15 {5, - 3/} d) x + 5x + 4 = {- 1, - 4} i) 6x + x - 1 = {1/3, - 1/} e) 5x - = {-, } j) 3x - 7x + = {, 1/3} 1) Uma função de º grau é tal que f() = 6, f(1) = e f(- ) =. Calcule o valor de f(5). 11) Determine o valor de m para que a parábola que representa graficamente a função y = 3x - x + m passe pelo ponto (1, 6). 1) Determine o valor de k, de modo que a função f(x) = x - x + k tenha: a) duas raízes reais diferentes. b) duas raízes reais iguais. c) nenhuma raiz real. 13) Calcule o valor de k de modo que a função y = kx - x +3 admita como zero.

2 14) Determine o que se pede: a) Determine os valores de p, para que a função f(x) = (p - )x - x + 1 admita raízes reais. 3 b) Calcule o valor de k de modo que a função f(x) = 4x - 4x - k não tenha raízes, isto é, o gráfico da parábola não possui ponto em comum com o eixo x. k < - 1 c) Determine os valores de k para que a função f(x) = x - x + ( - k) admita raízes reais e iguais. d) Determine os valores de k para que a função y = x + x + k não apresente raízes reais. e) Determine o valor de k para que a função y = kx + x + 1 admita duas raízes reais distintas. f) Determine o valor de k de modo que a função f(x) = - x + 1x + k, tenha raízes reais e iguais g) Determine m, de modo que o gráfico da função f(x) = (m + 1)x - (1 - m)x - m não intercepte o eixo das abscissas. m > 1/8 h) Para que valores reais de k a função f(x) = kx - 6x + 1 admite valores reais e diferentes? i) Para que valores reais de k a função f(x) = (k - 1)x - x + 4 não admite valores reais? j) Determine que valores de m a função f(x) = (m - )x - x + 6 admite raízes reais. 15) Determine o valor de m para que a função quadrática f(x) = x + (3m + )x + (m + m + ) um zero real duplo. 16) Determine os zeros das funções: a) f(x) = x - 3x + d) y = - x + x b) f(x) = x - 3x - 4 e) y = x - 4x + 3 c) y = x - 6x + 8 f) y = x + 7x + 1 tenha 17) Dadas as funções, determine as coordenadas do vértice, o valor máximo ou mínimo e o conjunto imagem de cada uma delas. a) y = x - x - 3. d) y = x - x -. b) y = - x + 4. e) y = x - 6x + 9. c) y = x - 4x + 4. f) y = x - 4x ) Se m esboçar o gráfico da função, encontre o valor mínimo ou máximo da função quadrática. a) y = x + x + 5 c) y = x - 4x - 7 b) y = - 9x + x d) f(x) = x - 4x ) Dada a função y = x - 4x +3, determine: a) as suas raízes. b) o vértice V. c) o esboço do gráfico. d) o domínio e o conjunto imagem. ) Dada a função f(x) = x - 4x + 3.Determine: a) as suas raízes. 1 e 3 b) as coordenadas do vértice da parábola. V(, - 1) c) o gráfico. d) se a função admite valor máximo ou mínimo e, calcule esse valor. min = - 1 e) o conjunto imagem. Im= {y /y - 1} f) para que valores de x é crescente a função. {x /x > } g) para que valores de x é decrescente a função. {x / < } 1) Dada a função f(x) = - x + 4x - 4. Determine: a) as suas raízes. b) as coordenadas do vértice da parábola. V(, ) c) o conjunto imagem. Im = {y /y } d) se a função admite valor máximo ou mínimo e, calcule esse valor. máx = e) o gráfico.

3 ) Determine: a) o valor de k para que a função f(x) = ( - k)x - 5x + 3 admita um valor máximo. b) o valor de m para que a função f(x) = (4m + 1)x - x +6 admita valor mínimo. c) m de modo que a função quadrática f(x) = (m + 1)x + mx tenha o valor máximo para x = - 3. d) m de modo que o valor máximo da função do ograu f(x) = mx + (m - 1)x + (m + ) seja. e) m de modo que o valor mínimo da função f(x) = x - x + m, admita - 4 como valor mínimo. m = - 3 f) m de modo que o valor máximo da função do º grau f(x) = (m + )x + (m + 5)x + 3 seja 4. g) Determine m, de modo que o valor mínimo da função y = x - 4x + m seja - 1. m = 3 h) Dada a função f(x) = 3x - 5x + m, calcule m para que a função tenha raízes reais e iguais. i) Determine m para que a função f(x) = (m + 1)x - mx + 5 possua raízes reais e diferentes. j) Para que valores reais de m, a função f(x) = x + 5x + m + 3 admite duas raízes reais e iguais? 3) Determine o que se pede: a) Calcule k de modo que a função y = kx - x + 3 admita como raiz. k = 1/4 b) Determine a e b, para que a função y = x + bx + 3 tenha vértice V(, - 1). a = 1 e b = - 4 c) O gráfico de f(x) = x + bx + c, onde b e c são constantes, passa pelos pontos (, ) e (1, ). Determine o valor de f(- /3). - /9. d) Qual o menor valor que a função y = 3x - 6x - pode assumir? e) Determine m, de modo que o valor mínimo da função y = x - 4x + m seja - 1. f) Calcule m para que o valor mínimo da função y = x - 8x + m + 1 seja - 1. g) Se o vértice da parábola dada por y = x - 4x + m é o ponto V(, 5), calcule o valor de m. h) Determine m e n para que o vértice da parábola de equação y = x - mx + n seja (- 1, ). i) Calcule o valor de k, sabendo que função f(x) = x - 4x + k tem o valor mínimo igual a 8. j) Determine o valor de m na função real f(x) = - 3x + (m - 1)x + (m + 1) para que o valor máximo seja. m = - ou m = 1 4) O lucro de uma empresa é dado por L(x) = - 3x + 36x - 6, em que x é o número unidades vendidas. Nestas condições, calcule: a) a quantidade de unidades produzidas para que o lucro seja máximo. 6 b) a valor máximo do lucro. 48 5) Numa partida de vôlei, uma jogadora sacou a bola em direção á quadra adversária. A trajetória da bola pode ser descrita pela função: R +, definida por: f(x) = - x + 6x, sendo f(x) a altura atingida pela bola e x o seu deslocamento horizontal. Determine a altura máxima atingida pela bola. 4,5 m 6) O gráfico da função f(x) = x - (3p - 1)x + 6 é uma parábola cujo vértice apresenta abscissa. Determine p. p = 5/3 7) Uma pedra é atirada para cima e sua altura h, em metros, é dada pela função h(t) = at + 1t, em que t é medido em segundos. Se a pedra atingiu a altura máxima no instante t = s, determine o valor de a. 8) Escreva a função representada pelo gráfico da figura abaixo. y = x - 1x + 16

4 9) Um projétil é lançado do solo obliquamente descrevendo uma curva de equação y = x - 4x, x e y dados em metros. Determine: a) o alcance do lançamento. x máx. = 5 m b) a altura máxima do lançamento. h máx. = 5 m 3) Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja h = - t + 4t + 6. Determine: a) o instante em que a bola atinge a sua altura máxima. b) a altura máxima atingida pela bola. c) Quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo. 31) Um atleta arremessa um dardo em um campo plano de tal forma que a altura h que o dardo alcança em cada instante é expressa pela função h(t) = - t + 8t, em que h é medida em metros e t em segundos. Após quanto tempo o dardo atingirá o solo? 8 seg 3) Um menino soltou uma bola da janela de seu apartamento. A altura h da bola, em metros, em relação à calçada onde a bola caiu, em cada instante, podia ser calculada por h(t) = 45-5t, em que t é expresso em segundos. Calcule: a) a altura que o menino soltou a bola. 45 m b) o tempo que a bola levou para chegar à calçada. 3 seg 33) Um menino chutou uma bola para cima em um campo de futebol. A altura h da bola, em metros, em relação ao campo, podia ser calculada por h(t) = 1t - 3t, em que t é expresso em segundos. Calcule: a) o tempo que a bola levou para cair de volta no campo. 4 seg b) a altura máxima atingida pela bola. 1 m 34) Considere a função f definida no intervalo I = [1, p] por f(x) = x - 1x + 3. Qual é o maior valor de p para que f seja decrescente em todo o seu domínio? p = 6 35) Em um determinado dia do ano a temperatura de uma cidade variou de acordo com a função f(t) = - t + pt - 14, em que t indica um instante do dia medido em horas no intervalo das 8 h às h. Nesse dia, a temperatura atingiu seu valor máximo às 13 h. Obtenha o valor de p. p = 6 36) Sabe-se que o volume de uma caixa-d água é o produto da área de sua base por sua altura. Qual deve ser o valor de x para que uma caixa com m de altura, e tendo como base um retângulo de lados x e 16 - x, tenha volume máximo? (As dimensões da base são expressas em metros). x = 8 37) Um empresário determinou que o custo de certo produto de sua empresa é função do número de unidades produzidas desse produto. Essa função é definida por c = 51-1n + n, em que n é o número de unidades produzidas e c é o custo. Qual deve ser o número de unidades produzidas para que o custo seja mínimo? n = 5 38) Sabe-se que, sob certo ângulo de tiro, a altura atingida por uma bala, em metros, em função do tempo, em segundos, é dada por h(t) = - t + t. Qual a altura máxima atingida pela bala? Em quanto tempo, após o tiro, a bala atinge a altura máxima? t = 5 seg 39) A temperatura de uma estufa, em graus Celsius, é regulada em função do tempo t, de acordo com a lei dada por f(t) = -,5t + 4t + 1. Determine a temperatura máxima atingida por essa estufa. 18º C 4) Em uma fazenda, um trabalhador deve construir um galinheiro de forma retangular. Dispondo apenas de 4 m de tela, o homem decide aproveitar um velho muro como uma das laterais do galinheiro. Qual será a área máxima desse cercado, sabendo que o muro tem extensão suficiente para ser lateral de qualquer galinheiro construído com essa tela? A máx. = m

5 41) O custo diário da produção de uma indústria de aparelhos de telefone é dada pela função C(x) = x - 8x + 5, onde C(x) é o custo em reais e x é o número de unidades fabricadas. a) Qual será o custo se forem fabricadas 1 unidades? R$ 4.5, b) Quantos aparelhos devem ser produzidos diariamente para que o custo seja mínimo? x = 4 4) Para uma determinada viagem, foi fretado um avião com lugares. Cada pessoa deve pagar R$ 3, mais uma taxa de R$ 6, por cada lugar que ficar vago. a) Qual a receita arrecadada, se comparecerem 15 pessoas para a viagem? R$ 9., b) Qual a máxima receita que pode ser arrecadada nas condições do problema? R$ 93.75, 43) Determinar m de modo que a função quadrática f(x) = mx + (m - 1)x + (m + 1) seja positiva para todo x real. 44) Estude o sinal das funções: a) f(x) = x - 6x + 5. b) f(x) = - x + x + 8. c) f(x) = x - 8x ) Determine o que se pede: a) Para que valores de x a função f(x) = - x + 7x - 1 é positiva? b) Determine os pontos de intersecção dos gráficos de f e g definidas por f(x) = x - x e g(x) = x + 4. c) Estude o sinal da função f(x) = x - 6x + 5. d) Para que valores de m se tem a função f(x) = x + 4x + (m - 5) positiva para qualquer valor real de x? e) Para quais valores de k a função f(x) = - x + 6x + (k - 1) assume valores não positivos? 46) Resolva as inequações: a) x - 4x + 3 f) x + 3x + 5 b) x - 5x + < g) - x + 5x - 6 < c) x - x + > h) x - 1x + 5 > d) x - x i) - 3x + x - 1 > e) x - x + 1 > j) (x - 1).(x + ) (x + 1).(x + 4x + 4) 47) Resolva as inequações: a) - x + 1 < j) x - 3x + > b) - x - x + 1 > g) x - 4x + 4 c) - x + 3x + h) - x + 1x - 5 > d) x - 3x + 6 > {x R/x < 1 ou x > } i) x - 5x + 8 < e) x - x - 8 > {x R/x < - ou x > 4} j) 4x - x ) Resolva as inequações: a) (x - x - 3).(x + 3x) f) (x - 3x).( - x) b) (x - 3x - 1).(- x + 7x - 6) < g) (x + x - 6).(x - 1) c) (x - 5x + 6).(- x + 5x - 4) > h) (x - x - 3).(x - 5x + ) < d) (x + 5x - 6).(x - 4) < i) (x - 3).(- x + 3x + 1) < e) x 3-1x + 3x j) (x - 3).(x + 3x - 4) > {- 4 < x < 1 ou x > 3} 49) Resolva as inequações: a) (x - 1).(x - 4x + 4) > j) (x + 3x - 1).(8 - x) > b) (x - x).( - x) { x 1 ou x } g) (x - 4).(x + x - 6) c) (x - 5).(- x - 1).(x - x - ) > h) (x - 3x + ).(x + 4) < d) (x - 3x + ).(x - 3) i) (- x + 7x - 15).(x - 1) < e) (- x + 3x + 4).(x - ) < j) (x - 9x - 5).(- x + x - ) >

6 5) Resolva as inequações: a) x x 3x b) 6 x x x + x c) (x 5x + 4) (x + ) x 4x d) e) x + x+ 3 x + 3x x 5x+ 6 < x x 7x+ 1 f) > x 5x+ 4 x 8x+ 1 g) {- 3 < x ou 3 < x 6} x 9 x 3x h) < (x 1) ( x + 4x + 5) 3x 7 i) x x 8 x + 3x + j) x 51) Resolva as inequações: a) x x 1 x x < 8 b) 3x + x + 4 d) 1 1 x x + x 5) Resolva os sistemas de inequações: a) x 1 x 6x + 5 e) x x < x 4 > {x R/ < x 5} b) x 3 x 1 x x f) {- 1 < x ou x < x 3x+ > x + x + 3 > 3} c) x 4x+ 3> x+ 5< g) x x < x 8 x 6x {x R/x < - 5} x 3x > d) h) x x + 6 < (x 1) 3 x x (x + 4) > 4 (x + 4) {x R/x - 1 ou x e x - 4} 53) Resolva as inequações simultâneas: a) 1 < x - 1 < 3 f) 5 x - 4 < 3x {x R/3 x < 4} b) - 1 x g) 5 < x + 4x 3x + c) x < x < 4x h) x - 4 < x - 4 x d) -1 < x i) < x² + x - 1 < 8 e) - 8 < x - x - 8 < {x R/x < ou x > } j) 3x x - 4 < x - 54) Considere A = {x /x - 7x + 1 } e B = {x /x - 4x + 3 < }. Determine A B. 55) Para que valores de m a equação mx + 4x + m = não admite raízes reais. m < - ou m > 56) Sendo f(x) = x - 3, calcule x, de modo que - f(x) 6. S = [- 3, 1] [1, 3] x 1 57) Determine o domínio da função: f(x) =. x 7x+ 1 58) Determine o domínio da função: f(x) = x 1x+ 9 (x 6) (x 3x).

7 Testes de Vestibulares 1) (UFRGS) Para que a parábola da equação y = ax + bx - 1 contenha os pontos (-, 1) e (3, 1), os valores de a e b são, respectivamente, a) 3 e - 3 Xb) 1 3 e 1 1 c) 3 e d) e - 3 e) 1 e 1 3 ) (UNIFESP) O gráfico da função f(x) = ax + bx + c (a, b, c números reais) contém os pontos (- 1, -1), (, - 3) e (1, - 1). O valor de b é: a) - b) - 1 Xc) d) 1 e). 3) (VUNESP) A parábola de equação y = ax passa pelo vértice da parábola y = 4x - x. Ache o valor de a: Xa) 1 b) c) 3 d) - 1 e) nda 4) (Mack-SP) O valor mínimo da função f(x) = x - kx + 15 é - 1. O valor de k, sabendo que k < é: 1 1 a) - 1 Xb) - 8 c) - 6 d) e) 8 5) (FUVEST-SP) Os pontos (, ) e (, 1) estão no gráfico de uma função quadrática f. O mínimo de f é 1 assumido no ponto de abscissa x =. Logo, o valor de f(1) é: 4 a) 1 b) 3 /1 Xc) d) 4 1 e) 5 1 6) (PUC-MG) Na parábola y = x - (m - 3)x + 5, o vértice tem abscissa 1. A ordenada do vértice é: Xa) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 7) (UFMG) O ponto de coordenadas (3, 4) pertence à parábola de equação y = ax + bx + 4. A abscissa do vértice dessa parábola é: a) 1 b) 1 Xc) 3 d) 8) (PUCCamp-SP) Considere a função dada por y = 3t - 6t + 4, na qual y representa a altura, em metros, de um móvel, no instante t, em segundos. O valor mínimo dessa função ocorre para t igual a: a) - b) - 1 c) Xd) 1 e) 9) (PUCCamp-SP) Considere a função dada por y = 3t - 6t + 4, na qual y representa a altura, em metros, de um móvel, no instante t, em segundos. O ponto de mínimo da função corresponde ao instante em que: Xa) a velocidade do móvel é nula. b) a velocidade assume valor máximo. c) a aceleração é nula. d) a aceleração assume valor máximo. e) o móvel se encontra no ponto mais distante da origem. 1) (UFRGS) As soluções reais da desigualdade x + 1 > x são os números x, tais que: a) x b) x 1 c) x > 1 Xd) x 1 e) x < 1

8 11) (UFRGS) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação y = - 4x +. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a a) 6,5 m, 5s b) 5 m, s Xc) 5 m, 5s d) 5 m, s e) 1. m, 5s 1) (PUC-SP) Uma bola é largada do alto de um edifício e cai em direção ao solo. Sua altura h em relação ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão h = - 5t Após quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo? 5 segundos 13) (Vunesp-SP) O gráfico da função quadrática definida por y = x - mx + (m - 1), em que m Є R, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Determine y associado ao valor de x =. y = 1 14) (UCSal-BA) Determine os pontos de intersecção da parábola da função f(x) = x - 3x + 1, com o eixo das abscissas. (1, ) e (1/, ) 15) (UFF-RJ) Para que a curva representativa da equação y = px - 4x + tangencie o eixo dos x,o valor da constante p deve ser: a) - 6 b) - c) d) e) 6 16) (Univali-SC) Observe a figura abaixo, onde estão representadas uma reta e a parábola y = x - 1. Pergunta-se: a) Quais os pontos de intersecção da reta com a parábola? b) Qual a equação da reta? 17) (Univali-SC) Os valores de m para os quais as raízes da função y = - x - mx - 4 sejam reais e diferentes pertencem ao intervalo: a) (-, ) b) [-, ] c) [- 4, 4] Xd) - [- 4, 4] e) (4, + ) 18) (UFOP-MG) Em relação ao gráfico da função f(x) = - x + 4x - 3, pode-se afirmar: a) É uma parábola de concavidade voltada para cima. Xb) Seu vértice é o ponto V(, 1). c) Intersecta o eixo das abscissas em P(- 3, ) e Q(3, ). d) O seu eixo de simetria é o eixo das ordenadas. e) N. D. A. 19) (UEPG-PR) Seja a função f(x) = 3x + 4 definida para todo x real. Seu conjunto imagem é: a) {y /y 4} b) {y /- 4 < y < 4}c) {y /y > 4} d) {y /y 4} e) ) (UFPA) As coordenadas do vértice da função y = x - x + 1 são: a) (1, ) b) (, 1) c) (- 1, 1) d) (- 1, 4)