As cônicas. c, a 2 elipse é uma curva do plano em que qualquer um de seus pontos, por exemplo,, satisfaz a relação:

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1 As cônicas As cônicas podem ser definidas a partir de certas relações que caracterizam seus pontos. A partir delas podemos obter suas equações analíticas e, a partir delas, suas propriedades.. A elipse Definição. Sejam F e F pontos do plano cartesiano e c d F, F. Dado a c, a elipse é uma curva do plano em que qualquer um de seus pontos, por exemplo,, satisfaz a relação: d( P, F ) d P, F a () Os pontos F e F são chamados de focos da elipse e a reta que os contém recebe o nome de eixo focal da elipse. O ponto médio do segmento de reta FF é chamado de centro da elipse. As distâncias r dp, F e r dp, F são chamadas raios focais do ponto P. A distância entre os focos, ( ), é chamada distância focal. A reta perpendicular ao eixo focal passando pelo centro é chamada de eixo normal. Os pontos da elipse sobre os eixos focal e normal são chamados de vértices Vamos estudar a elipse no caso em que o eixo focal e normal da elipse coincidem com os eixo cartesianos OX e OY, respectivamente, como mostra a figura seguinte.. Os segmentos OV e OV são chamados de semi-eixos maiores e os segmentos OA e OA são chamados semi-eixos menores da elipse. Figura

2 A equação canônica da elipse Considere a elipse com eixo OX como eixo focal, eixo OY como eixo normal, focos F c,0 e F 0, c, c 0, e centro na origem O 0,0. Seja P( x, y ) um ponto qualquer da elipse. Usando a fórmula da distância, a relação () pode ser expressa em termos de xy, como x c y x c y a Em seguida, isolamos o primeiro dos radicais e elevamos ao quadrado ambos os membros da igualdade obtida. Simplificando, obtém-se: xc a a x c y Para eliminar o outro radical elevamos ao quadrado ambos os membros desta equação e obtemos Lembrando que a a c x a y a a c c podemos dividir os dois membros por a a c e obtemos Quando x 0 obtemos y b, onde a a c. Portanto, A b b a c. () 0, e A 0, b são os e V a, V a vértices da elipse sobre o eixo normal. Para y 0 obtemos x a,0 são os vértices da elipse sobre o eixo focal. Podemos expressar a () na forma,0 ou x a y (3) b b x a y a b (4) A equação (3) é chamada de equação canônica da elipse e a relação relação fundamental da elipse., de

3 Observações. A equação canônica da elipse é do segundo grau nas variáveis x e y.. Pela definição de b, a b c. Por esta relação, a é a hipotenusa e bc, são os catetos do triângulo retângulo OAF da figura 6.3. No caso especial em que a b e c 0, a elipse é uma circunferência de raio a. xy, é ponto da elipse. É 3. No cálculo da equação da elipse partimos da hipótese de que possível provar que, reciprocamente, se x e y satisfazem uma equação da forma da equação canônica da elipse, então, o ponto xy, é ponto de uma elipse. 4. A partir da equação canônica deduz-se facilmente que a elipse é simétrica em relação aos eixos OX, OY e à origem O. De fato, se x0, y 0 satisfaz a equação canônica então os pontos ( ), ( ) e ( ) também a satisfazem. Portanto, a elipse é simétrica em relação ao seu eixo focal e normal e, também, em relação ao seu centro. Exemplo. Determine as coordenadas dos vértices e focos da elipse cuja equação é Solução. Comparando esta equação com a equação canônica da elipse vemos que os comprimentos dos semi-eixos maior e menor da elipse são a 8 e b 6, respectivamente. Portanto, os seus vértices são: V 8,0 e V 8,0, A (0, 6) e A 0, 6. De a b c obtemos c 7 e os focos são F ( 7,0) e F ( 7,0). Excentricidade da elipse Dada uma elipse com eixo maior e distância focal c, o número é chamado de a excentricidade da elipse. Observe que 0. Segue da relação a b c que b (5) a A circunferência, que é uma elipse com a b, tem 0. Diminuindo o valor da razão b a a excentricidade aumenta e aproxima-se de ; do contrário, ela aproxima-se de zero. Isso

4 significa que as elipses com excentricidade próxima de são achatadas enquanto que as de excentricidade próximas a zero são mais arredondadas. Exemplo. As excentricidades das órbitas elípticas de vários planetas, cometas e asteróides do sistema solar são dadas na tabela baixo. Comparando-as, o que se conclui? Mercúrio 0, Urano 0,05 Vênus 0,0 Netuno 0,0 Terra 0,0 Plutão 0,5 Marte 0,09 Icarus 0,83 Júpiter 0,05 Halley 0,98 Saturno 0,06 Solução. A órbita da maioria dos planetas, incluindo a da Terra, tem excentricidade baixa. Isso significa que estas órbitas são aproximadamente circulares. Mercúrio e Plutão possuem órbitas elípticas mais excêntricas, portanto mais achatadas quando comparadas com a dos demais planetas. É o caso também do asteróide Ícarus e do cometa de Halley, ambos com excentricidade próxima de. Exercícios ) Usando a definição mostre que a equação da elipse com focos sobre o eixo OY nos pontos F 0, c e F 0, c, c 0, e com eixo maior é. b a ) Prove que se 0, 0 x, y, x, y e x, y satisfaz a equação canônica da elipse então os pontos também a satisfazem. Portanto, a elipse é simétrica em relação aos eixos OX, OY e à origem O. 3) Determine as coordenadas dos vértices, focos, e os semi eixos maior e menor das seguintes elipses: a) b) 4x 9y 36 9x 5y 5

5 c) d) e) x 4y 6 4x 6y 64 9x 64y 576 5) Determinar a equação da elipse com eixo focal sobre o eixo OX e 3,0 e eixo maior ; a) focos em b) focos em 5,0 e eixo menor 8; c) com vértices 4,0 e focos 3,0 ; d) com vértice 4,0 e excentricidade e) com foco 3,0, e excentricidade ) A órbita da Terra ao redor do sol é uma elipse com excentricidade aproximada 0,0. O sol encontra-se num dos focos da elipse. O comprimento de metade do eixo maior é milhões de quilômetros. Determine as distâncias máxima e mínima entre a Terra e o Sol.

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