Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z

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1 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente 4:... = 4 Temos, dois elevado à Quarta ou dois à Quarta. Do mesmo modo, podemos representar um produto de quatro fatores iguais a. (-). (-). (-). (-) por meio de uma potência de base e epoente 4: (-). (-). (-). (-) = (-) 4 Para todos os números a e n,. com n >, a potência a n é o produto de n fatores iguais a a.. Se n =, a = a, sen = 0, a 0 = Eemplo: Se a = -8 e b =, calcule o valor da epressão algébrica a b. Eercícios: 0 Calcule cada potência abaio. a) (-) = d) (-8) = b) ( 5) = e) (-) 5 = c) (+0) 4 = f) (-) 4 = 0 Escreva cada epressão na forma de potência. a) (-6). (-6). (-6) = b) (+7). (+7). (+7). (+7) = c) (-9). (-9). (-9) = d) (-). (-). (-). (-). (-). (-). (-) = e) =

2 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 Propriedade da Potenciação Veja como simplificamos o produto (-5).(-5) 4 : (-5).(-5) 4 = (-5).(-5).(-5).(-5).(-5).(-5).(-5) = (-5) 7 = (-5) +4 Se a é um número inteiro e m e n são números naturais, a m. a n = a m+n O quociente de duas potências também pode ser epresso de um modo mais simples. Por eemplo, 5 = (-) 5 (-) =..... = (-) como m n, Se b é um número inteiro diferente de 0 e m e n são números naturais, b b m n = b m b n = b m-n Se c é um elemento do conjunto dos números inteiros C = C e C 0 = Para elevar uma potência a um novo epoente, basta conservar a base e multiplicar os epoentes. Veja: = (-) (-) =(-) + = (-) 6 = (-). Se d é um número inteiro e m e n são números naturais, (d m )n = d m.n Eercícios Verifique o máimo que puder. a) (- a) 5.(- a) =

3 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 b) (-0) 00.(-0) 05.(-0) 0 = c) = d) = e) 7 8 = f) = - Sabendo que a = -4 e b =, qual é o valor da epressão algébrica. OBS: º. Todo número elevado ao epoente zero é igual a. º. Todo número negativo elevado ao epoente par é positivo. º. Todo número negativo elevado ao epoente ímpar é negativo. Propriedade da Potenciação dos números Racionais (Q) Para todo número racional b e para todos os números naturais m e n, temos: b m. b n = b m+n ; 5 (b m ) n = b m-n ; 8.4 4

4 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 Se b é um número racional diferente de 0 e m n; b b m n = b m-n : 5 5 Uma Quarta propriedade é muito útil para simples cálculos com potências: Para todos os números racionais b e c, com c 0, e para todo o número natural n: n b c b c n n Eercícios Calcule cada potência a) 4 b) 7 c) d) 0 7 = 00 e) 0 - Simplifique as epressões numéricas. a) 4

5 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel / b) 0 7 c) - Simplifique usando as propriedades de potenciação a) 6 b) 6 5 c) 8 5 d) 5 4 e) 6,4 0 = Epoente Inteiro Negativo Qualquer número elevado ao número inteiro negativo para podermos efetuar tal potência devemos: Epoente Racional Fracionário 5 5 Lembrando que a multiplicação de raízes pode ser epressa: b a a.b

6 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 a b a b a.b e o quociente: a b a b a b 5 a 5 b 5 a 5 b 5 Base 0 Sem dúvida como estamos nos relacionando com Eletrotécnica e Eletrônica é importante que saibamos trabalhar com a base dez, não esquecendo que são válidas as propriedades da potenciação. Resolva Eercícios a) (-0) = b) (+00).(000). (+0) = c) d) e) Resumo de Potenciação ) a m.a n a m n ) a a m n a m n 6

7 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 ) m n a n a m 4) a 0 5) a a a 6) a a 7

8 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 FUNÇÕES Conceito de Função Definição Dado dois conjuntos A e B (*), não vazios, uma relação f de A e B recebe o nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B se, e somente se, para todo e A eiste um só y e B tal que (, y) e f. f é aplicação de A em B A, / y B / (, y) f. Vejamos agora com o auílio do esquema das flechas, que condições deve satisfazer uma relação f de A em B para ser aplicação (ou função).. É necessário que todo elemento A participe de pelo menos um par (, y) f, isto é, todo elemento de A deve servir como ponto de partida de flecha.. É necessário que cada elemento A participe de apenas um único par (, y) e f, isto é, cada elemento de A deve servir como ponto de partida de uma flecha. Uma relação f, não é aplicação (ou função) se não satisfazer uma das condições acima. isto é: ( i ) se eiste um elemento de A do qual não parta flecha alguma ou A B f não é função ( ii ) se eiste um elemento de A do qual partam duas ou mais flechas. A B f não é função 8

9 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 Eemplo: ) A relação f em IR, com A = { IR / - } representada abaio é função, pois toda reta vertical conduzida pelos pontos de abscissa A encontra sempre o gráfico de f num só ponto. ) A relação f de A em IR representa abaio, onde A = { IR / - } não é função, pois há retas verticais que encontram o gráfico de f em dois pontos Eercícios ) Estabelecer se cada um dos esquemas das relações abaio define ou não uma função de A = {-, 0,, } em B = {-, -, 0,, }. Justificar. IR S A (a) B A (b) B 9

10 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 IR A (c) B DOMÍNIO E IMAGEM Definição Chamamos de domínio o conjunto D dos elementos A para os quais eiste y B tal que (, y) f. Como pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedade, temos nas funções: domínio = conjunto de partida, isto é, Dom = A Chamamos de imagem o conjunto Im dos elementos y B para os quais eiste A tal que (, y) f, portanto, imagem é subconjunto de contra domínio, isto é, Im de C está contido em B. A B Domínio Contradomínio Notemos, que, feita a representação cartesiana de função f, temos: Domínio: (D) é o conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas verticais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto formado por todas as abscissas dos pontos do gráfico de f. 0

11 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 Imagem: (Im) é o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas horizontais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto formado por todas as ordenada dos pontos do gráfico de f. Eemplo: ) 4 y D = { IR / - } Im = {y IR / 0 y 4} ) y 4 D = { IR / - } Im = {y IR / - y 4} - - Eercícios: ) Tomemos algumas funções e determinemos os seu domínio. a) y = D = IR b) y = D = IR c) y = D = IR * d) y = D = IR *

12 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 ) Estabeleça o domínio e a imagem das funções abaio: a) f g ) Determine a imagem das funções abaio: a) b) y FUNÇÕES DO.º GRAU I Função Constante Definição Uma aplicação f em IR em IR recebe o nome de função constante quando a cada elemento IR associa sempre o mesmo elemento C IR. Isto é: y (o, C) f : IR IR

13 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eio dos passando pelo ponto (0,C). A imagem e o conjunto Im = { C}. Eemplo ) y = ) y = - y y (0, ) - II Função Identidade Definição: Uma aplicação de IR em IR recebe o nome de função identidade quando a cada elemento IR associa o próprio, isto é: f : IR IR y (-,) (0,0) - - (,) (,) quadrantes. O gráfico da função identidade é uma reta que contém as bissetrizes do.º e.º A imagem é Im = IR

14 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 II Função Linear Definição Uma aplicação de IR em IR recebe o nome de função linear quando a cada elemento IR, associa o elemento a IR, onde a 0 é um número real dado, isto é: f : IR IR y a, a 0(*) Demonstra-se que o gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem a imagem é Im = IR. De fato, qualquer que seja o y IR, eiste = y f () = f a = a a y = y y IR, a 0, tal que a y = Eemplo y y Eercícios ) Construir num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das funções de IR em IR: a) y = b) y = c) y = 4

15 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 IV Função Afim Definição Uma aplicação de IR em IR recebe o nome de função afim quando a cada IR estiver associado o elemento (a + b) IR a 0, isto é: f : IR IR a + b, a 0 V - Gráfico Obs.: O gráfico da função f () = a + b (a 0) é uma reta. Eemplo: y = + é uma função afim onde a= e b =, e determinemos agora o gráfico atribuindo a valores distintos. y y 0 (,) (0,) O gráfico procurado é uma reta que passa pelos pontos (0,) e (,) Eercícios: Construa o gráfico cartesiano da função IR em IR. a) y b) y = -0 + c) y = 4 IR. VI Imagem O conjunto imagem da função afim f: IR IR definida por f () = a + b com a 0 é 5

16 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 VII Zero da função afim Definição Zero de uma função é todo número cuja imagem é nula, isto é f () = 0, é zero de y = f () f () = 0. Assim, para determinamos o zero da função afim basta resolver a equação do.º grau. A + b =0 Eemplo: O zero da função f () = e = pois, fazendo =0 = = Podemos interpretar o zero da função afim, como sendo a abscissa do ponto onde o gráfico corta o eio dos. Eemplo: Fazemos o gráfico da função y =, podemos notar que a reta intercepta o eio dos em =, isto é, no ponto (, 0). y y 0 -, 0 VIII - Função Crescente ou Descrecente Definição A função f AB definida por y = f () é crescente no conjunto A C A se, para dois valores quaisquer e pertencentes a A, com <, tivermos f () < f (). 6

17 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 Em símbolos: f é crescente quando (, ) ( < f ( ) < f ( ). Eemplo: A função f () = é crescente em IR, pois: < < para todo IR e todo IR. f ( ) f ( ) Definição A função f : A B definida por y = f () é decrescente no conjunto A C A se, para dois valores quaisquer e pertencentes a A com <, tem-se f ( ) > f ( ). Em símbolos f é decrescente quando (, ) ( < f ( ) > f ( )) Eemplo: A função f() = - é decrescente em IR, pois < - > - para todo IR e todo IR. f ( ) f( ) IX Sinal de uma Função Definição Seja a função f: AB definida por y = f (). Vamos resolver o problema para que valores de temos f () > 0, f () = 0 ou f () < 0?. Resolver este problema significa estudar o sinal da função y = f () para cada pertencente ao seu domínio. Eemplo: Estudar o sinal da função y = f () cujo gráfico está abaio representado. y = f () y

18 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 Observemos, inicialmente, que interessa o comportamento da curva y = f () em relação ao eio dos, não importando a posição dos y. Preparando o gráfico com aspecto prático, temos: y = f() sinal de y = f() Conclusão: f() = 0 = - ou = ou = 4 = 7 f() > 0 -< < ou < < 4 ou > 7 f() < 0 < - ou 4< < 7. Eercícios ) Estudar o sinal das funções cujos gráficos estão representados abaio. a) y y = f() b) y - - y = f() X Sinal da Função Afim Considerando que = - a b, zero da função afim f() = a + b, o valor de para o qual f() = 0, eaminemos, então, para que valores ocorre f() > 0 ou f() < 0. 8

19 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 Devemos considerar dois casos..º Caso a > 0 b f() = a + b > 0 a > -b > - a b f () = a + b < 0 a < -b < a é: Colocando os valores de sobre um eio, igual sinal da função f() = a + b com a>0, f() a + b (a > 0) b a construindo o gráfico de f() = a + b com a > 0, e lembrando que não, importa a posição do eio y, temos: - - a b +.º Caso a < 0 f() = a +b > 0 a > -b < - a b f() = a + b < 0 a < -b > - a b Colocando os valores de sobre um eio, o sinal da função f() = a + b com a < 0, é: b a + 0-9

20 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 Podemos analisar o sinal da função f() = a + b, com a< 0, construindo o gráfico cartesiano. Lembremos que neste caso a função é decrescente. + - a b - Eercícios ) Estudar os sinais das funções definidas em IR : a) y = + b) y = 4-0

21 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 ARCOS E ÂNGULOS (I) Arcos de Circunferência Arco de circunferência é cada uma das duas partes em que uma circunferência fica dividida dois de seus pontos. Assim, sendo A e B dois pontos quaisquer de uma circunferência, eles a dividem em duas partes: Medida de um Arco Grau Grau é o arco equivalente a da circunferência que o contém. 60 m( A B ) = Radiano Radiano é o arco cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência que o contém. m( A B ) = rad Se m A B = rad, então comp A B = r. Em relação à circunferência, observe:

22 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 Se com A B= r, então m A B= rad. Observação: O raio da circunferência é utilizado como unidade de medida, por isso seu comprimento não deve ser levado em consideração. Nessas condições, o raio é denominado raio unitário. três. Lembrando que qualquer circunferência tem 60º, temos que: 60º corresponde a rad ou 80º corresponde a π rad Assim, podemos converter grau para radiano (e vice-versa), estabelecendo uma regra de Eercícios Resolvidos. Determine, em radianos, a medida do arco 60º. Solução 80º º = 60º. π 80º π rad. Calcule, em graus, a medida de cada arco a seguir: a) rad 4 Solução a) =. 80º = = 5º 4 4 b) rad º b) rad 80º rad Fazendo,4, temos = 57º9 9. Logo, rad equivale a 57º9 9. = 80º = 80º Eercícios Propostos. Calcule, em radianos, as medidas dos arcos. a) 0º c) 40º e) 0º b) 45º d) 00º f) 7º

23 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98. Transformando º em radianos, obtemos: a) 5 c) rad. 0 e) rad. b) 5 rad. d) rad. 5. Determine, em graus, as medidas dos arcos. π π a) rad. e) rad. 6 π 5π b) rad. f) rad. 4 6 π 7π c) rad. g) rad. 6 d) rad. h) 4π rad. ARCOS E ÂNGULOS (II) Ângulo Central Ângulo Central de uma circunferência é o ângulo que tem o vértice no centro dessa circunferência. Comprimento de um Arco Considere a figura a seguir: : é ângulo central (AB): arco da circunferência determinado por dois pontos, medido em a radianos : comprimento de A B ( = comp A B r: raio da circunferência

24 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 por ele. Sendo a medida em radianos de, temos: = r = r Considerando o raio como unidade de medida: =. = m( A B = m(ˆ ) Assim, o ângulo central de uma circunferência tem medida igual à do arco delimitado Circunferência Orientada Uma circunferência pode ser percorrida em dois sentidos: horário: sentido do movimento dos ponteiros de um relógio; por convenção, esse sentido é negativo; anti-horário: sentido contrário ao do movimento dos ponteiros do relógio; por convenção, esse sentido é positivo. Dizemos que uma circunferência está orientada quando levamos em consideração esses sentidos. Todo arco contido numa circunferência orientada recebe o nome de arco orientado. Na circunferência orientada da figura a seguir, os pontos A e B determinam quatro arcos orientados. Veja: Eercícios Resolvidos. Calcule o comprimento de uma pista circular de 0 m de raio que descreve um arco Como de meia volta ( rad). Dado: =,4 Solução rad, temos: r =,4. 0 = 94,0 Logo, = 94,0 m. 4

25 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98. Determine o comprimento do arco A B da figura. Dado:,4. Solução: 80º 80º. π 4 = rad 80º 9 80º 4 4.,4 = r =.5.5 6, Logo, = 6,98 cm.. Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que marca 9h 5 min. Solução: Observando o ângulo entre os ponteiros do relógio ao lado, podemos escrever: = 4. 0º + (Cada divisão do relógio equivale a um arco de 0º.) equivale ao arco que o ponteiro menor descreveu quando o ponteiro maior se deslocou da posição A para a posição B. Assim, temos a regra de três: Ponteiro maior Minutos 60 0º 5 Ponteiro menor Graus = 0º. 5 60º 5 Logo, = 4. 0º + = 0º + º0. Então, = º 0 º º0' Eercícios Propostos. Uma circunferência de cm de raios tem um arco de circunferência que mede 9,4 cm. Calcule, em radianos, a medida do ângulo central corresponde a esse arco.. Em uma circunferência de 5 cm de raio, um arco de circunferência mede rad. Determine o comprimento desse arco. 5

26 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98. Um arco de circunferência de 6 cm de comprimento está contido numa circunferência de cm de raio. Qual a medida desse arco em radianos? 4. Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando este marca: a) h 0min b) h 5min CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA Uma circunferência orientada, de raio unitário (r = ), sobre a qual um ponto A é a origem de medida de todos os arcos nela contidos, é uma circunferência trigonométrica. Vamos considerar uma circunferência trigonométrica cujo centro coincide com a origem do sistema cartesiano e o ponto A (, 0), que é origem de todos os arcos, como mostra a figura a seguir: Os eios O e Oy do plano cartesiano dividem a circunferência em quatro arcos de mesma medida (90 ou rad), numerados no sentido anti-horário, como vemos na figura. Esses eios dividem o plano em quatro regiões, denominadas quadrantes, também numeradas no sentido anti-horário. Eercício Resolvido Represente na circunferência trigonométrica e na reta real os seguintes números reais: π 6 π π,,π,,, π e -. 6

27 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 Solução: Para localizar um número real na circunferência trigonométrica, devemos lembrar que todo número real ocupa um ponto dessa circunferência, localizado no etremo do arco trigonométrico igual a rad. Assim: está localizado no etremo do arco A B tal que m( A B ) = rad; 6 6 está localizado no etremo do arco A C tal que m( A C ) = rad ( 57 ); e assim sucessivamente. Portanto, temos: Para localizar um número real na reta, devemos observar o seguinte:,4 π 0,5, logo ,4 - -,04, logo < - < - e assim sucessivamente. Logo, temos: 7

28 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 Eercícios Propostos. Em relação às figuras abaio, determine, em radianos e em graus, a medida dos seguintes arcos: A B, A C, A D, A E, A F e A G.. Represente na circunferência trigonométrica e na reta real os seguintes números reais:,,,,, 6 4 π π,,, π, 4 π 5,, π e.. Represente, na circunferência trigonométrica, as etremidades dos arcos de 5 4 5,,,,, e Represente, na circunferência trigonométrica, as etremidades dos arcos de medidas: a) 45, 5, 5 e 5 ; b) 60, 0, 80, e 60 : c) 0, 60, 80, 0, 50, 80, 0. 40, 70, 00, 0 e 60. 8

29 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 ARCOS TRIGONOMÉTRICOS E ARCOS CÔNGRUOS Arcos Trigonométricos Arcos de uma circunferência trigonométrica com mesma origem e mesma etremidade são chamados de arcos trigonométricos. Eles podem ser: positivos, quando marcados no sentido anti-horário; negativos, quando marcados no sentido horário; maiores que 60 ou rad, quando têm mais de uma volta. Observe a figura em que temos um arco de origem A e etremidade E: ele pode assumir infinitos valores, dependendo do número de voltas no sentido anti-horário ou no sentido horário. Sendo m( A E ) = 0, temos: Quando medidos em graus, esses arcos podem ser representados algebricamente pela epressão: = '. k (k Z ) sendo 0 a a determinação positiva do arco trigonométrico (0 0 < 60 ) e k o número de voltas. Quando medidos em radianos, os arcos trigonométricos são representados por: = 0 + k (k Z ) 9

30 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 rad.) Arcos Côngruos Dois arcos são côngruos quando a diferença entre eles é um múltiplo de 60 (ou 0º e 0º são côngruos: 00º - 0º = 080º =. 60º 4 4 e são côngruos: - = = 4 =. Eercícios Resolvidos. Represente na circunferência trigonométrica os arcos de medida = k,k Z 4 Solução: Basta atribuir valores para k, determinando os arcos, até completar a primeira vota. A partir daí, os demais arcos serão côngruos e, portanto, de mesma etremidade que os anteriores. k = 0 = = 4 π k = = +. = k = = π = + = 4 4 π 6π 7 k = = +. = k = 4 = = 4 +. Calcule a a determinação positiva dos arcos a seguir: a) 50º b) Solução: 7 rad Para calcular a a determinação, devemos eliminar as voltas inteiras (k 60º ou k ), já que a diferença entre suas medidas é múltiplo de 60º (ou de ). Assim: a) 50º 60º 50º = 4. 60º +90º 90º 4 4 voltas 0

31 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 Logo, a a determinação positiva é 90º. b) 7 4 π volta Logo, a a determinação positiva do arco 7 rad é rad.. Se = 0º + k. 0º, k Z, calcule a a determinação negativa e a a determinação positiva desse arco. Solução a determinação negativa: k = - = 0º +(-) 0º = -90º a determinação positiva: k = = º = 70º Eercícios Propostos. Dentre os arcos abaio, identifique os côngruos. a) 60º e 00º d) rad e rad 4 4 b) 00º e 90º e) 0º e 40º c) º e 0º. Represente, na circunferência trigonométrica, as etremidades dos arcos de medidas (k Z): a) = + k d) = + k b) = + k e) = k c) = + k f) = k. Calcule a medida da a determinação positiva dos arcos a seguir: a) 750º c) 500º b) 80º d) rad.

32 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel / Um arco côngruo de 7 rad é: 5 a) rad. 5 d) rad. 7 b) rad e) rad. 5 c) rad. 5 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: SENO DE UM ARCO Associando cada número real a um arco da circunferência trigonométrica, com origem no ponto A (,0) e etremidade em um ponto P tal que m ( A P )= rad, dizemos que seno do arco é a ordenada OP do ponto P. Função Seno Chamamos de função seno a função f: IR IR que, cada número real, associa o seno desse número: f: IR IR, f() = sen O domínio dessa função é IR e a imagem é Im = [-,], visto que, na circunferência trigonométrica, o raio é unitários e, pela definição de seno, - sen, ou seja: D (sen ) = IR Im (sen ) = [-,]

33 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 Sinal da Função Como sen é a ordenada do ponto-etremidade do arco: f() = sen é positiva no o e o quadrantes (ordenada positiva) f() = sen é negativa no o e 4 o quadrantes (ordenada negativa) Eercícios Resolvidos. Calcule os valores de sen 0, sen, sen, sen e sen. Solução Os valores dos senos dos arcos de 0 rad, rad, rad, correspondem, respectivamente, às ordenadas dos pontos A, B, C, D, e A: rad e rad. Determine os sinais de sen 0º, sen 0º, sen 0º e sen 0º. Solução: Como o seno de um ângulo é a ordenada do ponto-etremidade do arco, os ângulos do o e o quadrantes são positivos e os o e 4 o quadrantes, negativos.

34 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 Assim, sen 0º e sen 0º são positivos, pois 0º e 0º estão, respectivamente, no o e o quadrantes. sen 0º e sen 0º são negativos, pois 0º e 0º estão, respectivamente, no o e 4 o quadrantes.. Determine para que valores de k IR eiste tal que sen = k. Solução: Como a imagem da função seno é dada por sen, temos: - k - + k + k 4 k Logo, S = {k IR / k }. Eercícios Propostos. Determine os sinais de sen 40º, sen 40º, sen 40º e sen 40º.. Calcule os valores de k para os quais eiste nas igualdades: a) sen = k c) sen = k b). sen = k - 4 4

35 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICA: GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO (y = sen ) Para construir o gráfico da função seno, devemos localizar inicialmente, na circunferência trigonométrica, alguns arcos e determinar o valor do seu seno. Observe: Marcando esses valores no plano, construímos o gráfico da função y = sen. Podemos perceber, pela circunferência trigonométrica e pelo gráfico, que os valores do o quadrante são simétricos aos do o, e os do 4 o são simétricos aos do o. 5

36 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 Período da Função Seno Observando o gráfico da função seno, verificamos que o seu comportamento se repete nos intervalos 0 ( a volta), 4 ( a volta) e assim por diante. Dessa forma, dizemos que a função seno é periódica do período igual a. p (sen ) = π Eercício Resolvido Construa o gráfico f() sen, 0 4, determinando o seu período e a sua imagem. Solução: sen p = 4 Im = [-, ] 6

37 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 Eercício Proposto Construa o gráfico, determine o período e a imagem de cada função para IR. a) y sen c) y = sen e) y = sen b) y = sen 4 d) y =. sen f) y = -. sen FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICA: COSSENO DE UM ARCO Associando cada número real a um arco de circunferência trigonométrica, com origem no ponto A (,0) e etremidade em um ponto P tal que m ( A P ) = rad, podemos dizer que o cosseno do arco é a abscissa OP do ponto P. Função Cosseno Chamamos de função cosseno a função f: IR IR que, a cada número real, associa o cosseno desse número: f: IR IR, f() = cos O domínio de f é IR e a imagem é Im = [-, ], uma vez que na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição de cosseno; - cos, ou seja: D (cos ) = IR Im (cos ) = [-, ] 7

38 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 Sinal da Função Como cos é a abscissa do ponto-etremidade do arco: f() cos é positiva no o e 4 o quadrantes (abscissa positiva) f() = cos é negativa no o e o quadrantes (abscissa negativa) Eercícios Resolvidos. Calcule os valores de cos 0, cos, cos, cos e cos. Solução Os valores dos cossenos dos números 0, respectivamente, às abscissas dos pontos A, B, C, D, e A:,, e correspondem,. Determine os sinais de cos 0º, cos 0º, cos 00º e cos 900º. Solução: Como o cosseno de um ângulo é a abscissa do ponto-etremidade do arco, os ângulos do º e 4º quadrantes são positivos e os º e º quadrantes, negativos. Assim: cos 0º e cos 00º são positivos, porque 0º e00º estão, respectivamente, no o e 4 o quadrantes. cos 0º e cos 0º são negativos, porque 0º e 0º estão, respectivamente, no o e o quadrantes. 8

39 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 Como o ângulo de 900º ultrapassa uma volta, calculemos sua a determinação positiva: 900º 60º 80º voltas a determinação positiva 0 80º < 60º Sendo 900º e 80º arcos côngruos, temos cos 900º = cos 80º = -. Para que valores de k IR eiste IR tal que cos = 5K? Solução: Como a imagem da função cosseno é dada por cos, temos: 4-5k - + 5k + 5k 4 k 5 5 Logo: S = 4 k IR / k 5 5 Eercícios Propostos. Calcule os valores de k para os quais eiste nas igualdades: a) cos = 4k 7 b) cos = 4 k. Determine os sinais de cos 0º, cos 80º, cos 0º, cos 00º e cos 00º.. Calcule o valor de cos + cos + cos. 4. Sendo = 7, calcule o valor de sen 7 + cos 4. 9

40 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel / Calcule o valor de y = π sen π.sen 0.sen π cos.sen cos 4 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS : GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO (y = cos ) Para construir o gráfico da função cosseno, devemos localizar inicialmente, na circunferência trigonométrica, alguns arcos e determinar o valor do seu cosseno. Observe: Marcando esses valores no plano, construímos o gráfico da função y = cos. Podemos perceber que os valores do o quadrante são simétricos em relação aos 4 o, e os do o são simétricos aos o. 40

41 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 Período da Função Cosseno Observando o gráfico da função cosseno, verificamos que o seu comportamento se repete nos intervalos 0 ( a volta), 4 ( a volta) e assim por diante. Dessa forma, dizemos que a função cosseno é periódica de período igual a. p (cos ) = Eercício Resolvido Construa o gráfico f() = cos, 0, determinado a imagem e o período da função. Solução: cos p = Im = [-, ] 4

42 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 Observação: Sendo a e c números reais e b e m números reais não-nulos, as funções f() = a + b. sen (m + c) e g () = a + b. cos (m + c) têm período p = m Eemplo: y = sen 4 p = m Como m = 4, logo, p = 4 p =. y = 0. cos p = m Como m =, logo, p = = p =. Eercícios Proposto Construa o gráfico de cada uma das funções, determinando o período e a imagem. a) f() = cos para 0 4 b) f() = + cos para 0 c) f(). cos para 0 d) f () = - cos para 0 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICA: TANGENTE DE UM ARCO Considere a circunferência trigonométrica e uma reta t paralela ao eio y traçada pelo ponto A. A essa reta, com a mesma orientação do eio y, damos o nome de eio das tangentes. Traçando-se uma reta que passe pelo centro O e por um ponto P qualquer da circunferência trigonométrica, essa reta OP interceptará o eio das tangentes num ponto T, determinando em t o segmento orientado AT. Assim, tangente do arco A P é a medida algébrica do segmento orientado AT : tg A P = AT 4

43 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 Se associarmos ao arco que tg = AT: A P um número real tal que m ( A P ) = rad, podemos dizer Do eposto, concluímos que: Se m( A P ) =, a reta OP será paralela à reta t. Logo, não eiste tg Se m( A P ) =, a reta OP será paralela à reta t. Logo, não eiste tg Generalizando, dizemos que não eiste tg k, k Z. Relação entre Tangente, Seno e Cosseno de um Arco Trigonométrico Observe a figura a seguir: 4

44 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 O triângulo OMP é semelhante ao triângulo OAT; assim, podemos escrever: OM OA MP AT Como OM = cos, MP = OP = sen, AT = tg e OA = (raio unitário): cos sen tg tg sen cos para todo IR, π + k, k Z Eercício Resolvido Complete a tabela determinando os valores que faltam com aproimação de 0,00. (Sugestão: usar calculadora.) Solução: Ângulo (graus) 5º 0º 85º Seno 0,59 0,500 Cosseno 0,966 0,087 Tangente 0,577,40 sen 5º 0,59 tg 5º = 0,68, logo tg 5º = 0,68 cos5º 0,966 tg 0º = 0,866 sen 0º 0,500 0,500 0,577 cos0º, logo cos 0º = cos 0º cos 0º 0,577 sen 85º sen 85º tg 85º =,40 sen 85º =,40. 0,087, logo sen 85º cos 85º 0,087 = 0,996 Eercício Proposto Complete a tabela abaio com aproimação de 0,00 Ângulo (graus) 0º 0º 0º 45º 55º 60º Seno 0,74 0,4 0,500 0,866 Cosseno 0,985 0,866 0,707 0,574 Tangente 0,64,000,4,7 44

45 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICA : FUNÇÃO TANGENTE Chamamos de função tangente a função f definida de E = em IR que a cada número E associa a tangente desse número: Dessa forma: D(f) = IR / π f() = tg kπ, k Z π IR / kπ, k Z Observe a circunferência trigonométrica a seguir: Note que, no o e o quadrantes, a função tg varia de 0 até, no o e 4 o quadrantes, de até 0. Assim: Im (tg ) = (-, + ) = IR Sinal da Função Tangente Vamos estudar o sinal de f() = tg considerando alguns eemplo: a) ponto P no o quadrante c) ponto P no o quadrante b) ponto P no o quadrante d) ponto P no 4 o quadrante Resumidamente, a variação do sinal da função y = tg é: 45

46 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 Eercício Resolvido. Determine o sinal de: a)tg 50º b) tg 90 o 5 c) tg Solução: Observando as figuras abaio, temos: π. Determine o domínio da função y = tg Solução: π y = tg k + + k k Logo: D = IR / kπ, k Z 46

47 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 Eercício Proposto. Determine o sinal de: a) tg 60 b) tg 50 c) tg 4 d) tg 50. Determine o domínio das funções: a) y = tg b) y = tg c) f() = tg FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE seguintes Com base na relações trigonométricas nos triângulos retângulos, podemos obter os π tg tg = tg = 6 4 A partir deles, podemos determinar outros, por simetria na circunferência trigonométrica: Assim, para valores de tal que 0, temos: 47

48 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 tg Período da Função tangente Analisando o gráfico anterior, observamos que o comportamento da função f() = tg no o e o quadrantes é o mesmo que no o e 4 o quadrantes. Ou seja, tg = tg ( + ) tg ( + ) =... = tg ( + k ), k Z. Logo, a função é periódica, pois seus valores se repetem a cada meia volta, de em, e na mesma ordem. Portanto, o período p é: p (tg ) = π função. Eercício Resolvido Construa o gráfico de f() = tg, 0 4, determinando a imagem e o período da 48

49 Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel /4-98 tg A função y = tg se comporta do mesmo modo de em rad. Assim: p tg = Im tg = IR De modo geral, as funções da forma y = tg m, m IR *, têm período p = m π. Assim, para f() = tg, por eemplo, temos: m = p tg = =. = Eercício Propostos. Construa o gráfico e dê o período de cada uma das funções, para 0. a) y = tg b) y = tg. Sendo tg 0 =, calcule os valores de: a) tg 50 b) tg. 0 49