Coordenadas Polares. Prof. Márcio Nascimento.

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1 Coordenadas Polares Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Matemática Básica II de março de / 48

2 Sumário 1 Coordenadas Polares / 48

3 3 / 48

4 4 / 48

5 5 / 48

6 6 / 48

7 A origem do sistema de coordenadas polares é chamada pólo. 6 / 48

8 A origem do sistema de coordenadas polares é chamada pólo. Neste sistema, representa-se um ponto do plano através de um raio (segmento cujo ponto inicial é o pólo, e cujo ponto final é o ponto em questão) e o ângulo que este segmento faz com o eixo polar, medido a partir do eixo polar. 6 / 48

9 A origem do sistema de coordenadas polares é chamada pólo. Neste sistema, representa-se um ponto do plano através de um raio (segmento cujo ponto inicial é o pólo, e cujo ponto final é o ponto em questão) e o ângulo que este segmento faz com o eixo polar, medido a partir do eixo polar. Assim, nesse sistema, um ponto do plano também é representado por dois números reais: (r, θ). 6 / 48

10 7 / 48

11 No sistema cartesiano, representamos o ponto por suas coordenadas retangulares ou cartesianas (x, y). 7 / 48

12 No sistema cartesiano, representamos o ponto por suas coordenadas retangulares ou cartesianas (x, y). No sistema polar, representamos o ponto por suas coordenadas polares (r, θ) 7 / 48

13 8 / 48

14 9 / 48

15 10 / 48

16 Para marcar um ponto no sistema de coordenadas polares, iniciamos a partir do eixo polar, fazendo a rotacão de um ângulo θ. 10 / 48

17 Para marcar um ponto no sistema de coordenadas polares, iniciamos a partir do eixo polar, fazendo a rotacão de um ângulo θ. Se r > 0, então o ponto está a r unidades do pólo e na mesma direção do lado final do ângulo θ. 10 / 48

18 Para marcar um ponto no sistema de coordenadas polares, iniciamos a partir do eixo polar, fazendo a rotacão de um ângulo θ. Se r > 0, então o ponto está a r unidades do pólo e na mesma direção do lado final do ângulo θ. Se r < 0, então o ponto está a r unidades do pólo e na direção oposta do lado final do ângulo θ. 10 / 48

19 Exemplo 01 Marque os seguintes pontos no plano polar: A B ( 2, 60 0) ( 3, 3π 4 ), 11 / 48

20 Exemplo 01 Marque os seguintes pontos no plano polar: A B ( 2, 60 0) ( 3, 3π 4 ), 12 / 48

21 Exemplo 02 Idem para os pontos: C ( 4, 3π 2 ), D ( 3, 330 0) 13 / 48

22 Exemplo 02 Idem para os pontos: C ( 4, 3π 2 ), D ( 3, 330 0) 14 / 48

23 Relação entre os sistemas de coordenadas 15 / 48

24 Relação entre os sistemas de coordenadas Seja um ponto (r, θ) no sistema de coordenadas polares. 15 / 48

25 Relação entre os sistemas de coordenadas Seja um ponto (r, θ) no sistema de coordenadas polares. No sistema de coordenadas cartesianas, teremos: x = r. cos θ, y = rsenθ 15 / 48

26 Relação entre os sistemas de coordenadas Seja um ponto (r, θ) no sistema de coordenadas polares. No sistema de coordenadas cartesianas, teremos: x = r. cos θ, y = rsenθ Se (x, y) são as coordenadas de um ponto no sistema cartesiano, então, r = x 2 + y 2, θ = arctg y x 15 / 48

27 Exemplo 03 Converta ( 1, 3) de coordenadas retangulares para coordenadas polares. 16 / 48

28 Exemplo 03 Converta ( 1, 3) de coordenadas retangulares para coordenadas polares. Resposta / 48

29 Exemplo 03 Converta ( 1, 3) de coordenadas retangulares para coordenadas polares. Resposta... ( 2, 2π ) ou 3 ( 2, 4π 3 ) ou ( 2, 5π 3 ) 16 / 48

30 Exemplo 03 Converta ( 1, 3) de coordenadas retangulares para coordenadas polares. Resposta... ( 2, 2π ) ou 3 ( 2, 4π 3 ) ou ( 2, 5π 3 ) 16 / 48

31 Exemplo 04 Converta (6 2, ) de coordenadas polares para coordenadas retangulares. 17 / 48

32 Exemplo 04 Converta (6 2, ) de coordenadas polares para coordenadas retangulares. Resposta / 48

33 Exemplo 04 Converta (6 2, ) de coordenadas polares para coordenadas retangulares. Resposta... ( 6, 6) 17 / 48

34 Sumário 1 Coordenadas Polares / 48

35 Estamos familiarizados com equações na forma cartesiana: 19 / 48

36 Estamos familiarizados com equações na forma cartesiana: y = 3x + 5: reta. 19 / 48

37 Estamos familiarizados com equações na forma cartesiana: y = 3x + 5: reta. y = x 2 + 1: parábola. 19 / 48

38 Estamos familiarizados com equações na forma cartesiana: y = 3x + 5: reta. y = x 2 + 1: parábola. x 2 + y 2 = 9: circunferência. 19 / 48

39 Estamos familiarizados com equações na forma cartesiana: y = 3x + 5: reta. y = x 2 + 1: parábola. x 2 + y 2 = 9: circunferência. y = 1 x : hipérbole. 19 / 48

40 Agora discutiremos equações na forma polar. 20 / 48

41 Agora discutiremos equações na forma polar. r = 5θ:? 20 / 48

42 Agora discutiremos equações na forma polar. r = 5θ:? r = 2 cos θ:? 20 / 48

43 Agora discutiremos equações na forma polar. r = 5θ:? r = 2 cos θ:? r = sen(5θ):? 20 / 48

44 Caso r =constante, θ =constante Exemplo 05 Interpretação geométrica para r = 3 21 / 48

45 Caso r =constante, θ =constante Exemplo 05 Interpretação geométrica para r = 3 Observe que r é sempre igual a 3 e que o valor de θ não é mencionado, isto é, θ pode assumir qualquer valor. 21 / 48

46 Caso r =constante, θ =constante Exemplo 05 Interpretação geométrica para r = 3 Observe que r é sempre igual a 3 e que o valor de θ não é mencionado, isto é, θ pode assumir qualquer valor. 21 / 48

47 Caso r =constante, θ =constante Exemplo 05 Interpretação geométrica para r = 3 Observe que r é sempre igual a 3 e que o valor de θ não é mencionado, isto é, θ pode assumir qualquer valor. Ou ainda: r = x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 9 21 / 48

48 Caso r =constante, θ =constante Exemplo 06 Interpretação geométrica para θ = π 4 22 / 48

49 Caso r =constante, θ =constante Exemplo 06 Interpretação geométrica para θ = π 4 Observe que θ é sempre igual a π e que r pode 4 assumir qualquer valor real. 22 / 48

50 Caso r =constante, θ =constante Exemplo 06 Interpretação geométrica para θ = π 4 Observe que θ é sempre igual a π e que r pode 4 assumir qualquer valor real. 22 / 48

51 Caso r =constante, θ =constante Exemplo 06 Interpretação geométrica para θ = π 4 Observe que θ é sempre igual a π e que r pode 4 assumir qualquer valor real. Ou ainda, y ( π ) x = tg, 4 isto é, y = x 22 / 48

52 Casos r = c. cos θ, r = c.senθ onde c é constante Exemplo 07 Interpretação geométrica para r = 4 cos θ 23 / 48

53 Casos r = c. cos θ, r = c.senθ onde c é constante Exemplo 07 Interpretação geométrica para r = 4 cos θ Calculemos alguns valores de r a partir de valores dados para θ 23 / 48

54 Casos r = c. cos θ, r = c.senθ onde c é constante Exemplo 07 Interpretação geométrica para r = 4 cos θ Calculemos alguns valores de r a partir de valores dados para θ 23 / 48

55 Casos r = c. cos θ, r = c.senθ onde c é constante Exemplo 07 Interpretação geométrica para r = 4 cos θ Marcando os pontos encontrados no sistema de coordenadas polares, teremos: 24 / 48

56 Casos r = c. cos θ, r = c.senθ onde c é constante Exemplo 07 Interpretação geométrica para r = 4 cos θ Marcando os pontos encontrados no sistema de coordenadas polares, teremos: 24 / 48

57 Casos r = c. cos θ, r = c.senθ onde c é constante Exemplo 07 Interpretação geométrica para r = 4 cos θ Ligando os pontos com uma curva suave: 25 / 48

58 Casos r = c. cos θ, r = c.senθ onde c é constante Exemplo 07 Interpretação geométrica para r = 4 cos θ Ligando os pontos com uma curva suave: 25 / 48

59 Casos r = c. cos θ, r = c.senθ onde c é constante Exemplo 08 Interpretação geométrica para r = 4senθ 26 / 48

60 Casos r = c. cos θ, r = c.senθ onde c é constante Exemplo 08 Interpretação geométrica para r = 4senθ 26 / 48

61 Casos r = c. cos θ, r = c.senθ onde c é constante Generalizando o caso r = c. cos θ A equação polar r = c. cos θ representa uma circunferência de raio c 2 e centro ( c 2, 0 ) 27 / 48

62 Casos r = c. cos θ, r = c.senθ onde c é constante Generalizando o caso r = c. cos θ A equação polar r = c. cos θ representa uma circunferência de raio c 2 e centro ( c 2, 0 ) Cada ponto (r, θ) da curva r = c. cos θ pode ser representado na forma cartesiana através de (x, y). 27 / 48

63 Casos r = c. cos θ, r = c.senθ onde c é constante Generalizando o caso r = c. cos θ A equação polar r = c. cos θ representa uma circunferência de raio c 2 e centro ( c 2, 0 ) Cada ponto (r, θ) da curva r = c. cos θ pode ser representado na forma cartesiana através de (x, y). senθ = y r e cos θ = x r. Daí, r = c. cos θ r = c.x r 27 / 48

64 Casos r = c. cos θ, r = c.senθ onde c é constante Generalizando o caso r = c. cos θ A equação polar r = c. cos θ representa uma circunferência de raio c 2 e centro ( c 2, 0 ) Cada ponto (r, θ) da curva r = c. cos θ pode ser representado na forma cartesiana através de (x, y). senθ = y r e cos θ = x r. Daí, r = c. cos θ r = c.x r Assim, r 2 = c.x x 2 + y 2 = cx 27 / 48

65 Casos r = c. cos θ, r = c.senθ onde c é constante Generalizando o caso r = c. cos θ A equação polar r = c. cos θ representa uma circunferência de raio c 2 e centro ( c 2, 0 ) Cada ponto (r, θ) da curva r = c. cos θ pode ser representado na forma cartesiana através de (x, y). senθ = y r e cos θ = x r. Daí, r = c. cos θ r = c.x r Assim, r 2 = c.x x 2 + y 2 = cx (x 2 cx) + y 2 = 0 27 / 48

66 Casos r = c. cos θ, r = c.senθ onde c é constante Generalizando o caso r = c. cos θ A equação polar r = c. cos θ representa uma circunferência de raio c 2 e centro ( c 2, 0 ) Cada ponto (r, θ) da curva r = c. cos θ pode ser representado na forma cartesiana através de (x, y). senθ = y r e cos θ = x r. Daí, r = c. cos θ r = c.x r Assim, r 2 = c.x x 2 + y 2 = cx (x 2 cx) + y 2 = 0 ) (x 2 c2 c2 2..x + + y 2 = c / 48

67 Casos r = c. cos θ, r = c.senθ onde c é constante Generalizando o caso r = c. cos θ A equação polar r = c. cos θ representa uma circunferência de raio c 2 e centro ( c 2, 0 ) Cada ponto (r, θ) da curva r = c. cos θ pode ser representado na forma cartesiana através de (x, y). senθ = y r e cos θ = x r. Daí, r = c. cos θ r = c.x r Assim, r 2 = c.x x 2 + y 2 = cx (x 2 cx) + y 2 = 0 ) (x 2 c2 c2 2..x + + y 2 = c2 4 4 ( x c 2 ( c 2 + (y 0) 2) 2 = 2) 27 / 48

68 Casos r = c. cos θ, r = c.senθ onde c é constante Generalizando o caso r = c. sin θ A equação polar r = c. sin θ representa uma circunferência de raio c (0, 2 e centro c ) 2 28 / 48

69 Casos r = c. cos θ, r = c.senθ onde c é constante Generalizando o caso r = c. sin θ A equação polar r = c. sin θ representa uma circunferência de raio c (0, 2 e centro c ) 2 Cada ponto (r, θ) da curva r = c. cos θ pode ser representado na forma cartesiana através de (x, y). 28 / 48

70 Casos r = c. cos θ, r = c.senθ onde c é constante Generalizando o caso r = c. sin θ A equação polar r = c. sin θ representa uma circunferência de raio c (0, 2 e centro c ) 2 Cada ponto (r, θ) da curva r = c. cos θ pode ser representado na forma cartesiana através de (x, y). senθ = y r e cos θ = x r. Daí, r = c. cos θ r = c.x r 28 / 48

71 Casos r = c. cos θ, r = c.senθ onde c é constante Generalizando o caso r = c. sin θ A equação polar r = c. sin θ representa uma circunferência de raio c (0, 2 e centro c ) 2 Cada ponto (r, θ) da curva r = c. cos θ pode ser representado na forma cartesiana através de (x, y). senθ = y r e cos θ = x r. Daí, r = c. cos θ r = c.x r Assim, r 2 = c.x x 2 + y 2 = cx 28 / 48

72 Casos r = c. cos θ, r = c.senθ onde c é constante Generalizando o caso r = c. sin θ A equação polar r = c. sin θ representa uma circunferência de raio c (0, 2 e centro c ) 2 Cada ponto (r, θ) da curva r = c. cos θ pode ser representado na forma cartesiana através de (x, y). senθ = y r e cos θ = x r. Daí, r = c. cos θ r = c.x r Assim, r 2 = c.x x 2 + y 2 = cx (x 2 cx) + y 2 = 0 28 / 48

73 Casos r = c. cos θ, r = c.senθ onde c é constante Generalizando o caso r = c. sin θ A equação polar r = c. sin θ representa uma circunferência de raio c (0, 2 e centro c ) 2 Cada ponto (r, θ) da curva r = c. cos θ pode ser representado na forma cartesiana através de (x, y). senθ = y r e cos θ = x r. Daí, r = c. cos θ r = c.x r Assim, r 2 = c.x x 2 + y 2 = cx (x 2 cx) + y 2 = 0 ) (x 2 c2 c2 2..x + + y 2 = c / 48

74 Casos r = c. cos θ, r = c.senθ onde c é constante Generalizando o caso r = c. sin θ A equação polar r = c. sin θ representa uma circunferência de raio c (0, 2 e centro c ) 2 Cada ponto (r, θ) da curva r = c. cos θ pode ser representado na forma cartesiana através de (x, y). senθ = y r e cos θ = x r. Daí, r = c. cos θ r = c.x r Assim, r 2 = c.x x 2 + y 2 = cx (x 2 cx) + y 2 = 0 ) (x 2 c2 c2 2..x + + y 2 = c2 4 4 ( x c 2 ( c 2 + (y 0) 2) 2 = 2) 28 / 48

75 Casos r = c. cos θ, r = c.senθ onde c é constante Exercício O que representa a equação polar r = c. sin θ (e r = c. cos θ) quando c < 0? 29 / 48

76 Casos r = c. cos(2θ), r = c.sen(2θ) onde c é constante Exemplo 09 Interpretação geométrica para r = 5sen(2θ) 30 / 48

77 Casos r = c. cos(2θ), r = c.sen(2θ) onde c é constante Exemplo 09 Interpretação geométrica para r = 5sen(2θ) Calculemos alguns valores de r a partir de valores dados para θ 30 / 48

78 Casos r = c. cos(2θ), r = c.sen(2θ) onde c é constante Exemplo 09 Interpretação geométrica para r = 5sen(2θ) Calculemos alguns valores de r a partir de valores dados para θ 30 / 48

79 Casos r = c. cos(2θ), r = c.sen(2θ) onde c é constante Exemplo 09 Interpretação geométrica para r = 5sen(2θ) Calculemos alguns valores de r a partir de valores dados para θ Note que o argumento da função seno está dobrado, portanto o período fica dividido ao meio. 30 / 48

80 Casos r = c. cos(2θ), r = c.sen(2θ) onde c é constante Exemplo 09 Interpretação geométrica para r = 5sen(2θ) Marcando os pontos, e os ligando os pontos com uma curva suave, teremos 31 / 48

81 Casos r = c. cos(2θ), r = c.sen(2θ) onde c é constante Exemplo 09 Interpretação geométrica para r = 5sen(2θ) Marcando os pontos, e os ligando os pontos com uma curva suave, teremos 31 / 48

82 Casos r = c. cos(2θ), r = c.sen(2θ) onde c é constante Exemplo 09 Interpretação geométrica para r = 5sen(2θ) Marcando os pontos, e os ligando os pontos com uma curva suave, teremos Veja que os valores determinados na tabela, representam o que acontece no primeiro quadrante. 31 / 48

83 Casos r = c. cos(2θ), r = c.sen(2θ) onde c é constante Exemplo 09 Interpretação geométrica para r = 5sen(2θ) Marcando os pontos, e os ligando os pontos com uma curva suave, teremos Veja que os valores determinados na tabela, representam o que acontece no primeiro quadrante. Um comportamento semelhante ocorre nos demais quadrantes. 31 / 48

84 Casos r = c. cos(2θ), r = c.sen(2θ) onde c é constante Exemplo 09 Interpretação geométrica para r = 5sen(2θ) Marcando os pontos, e os ligando os pontos com uma curva suave, teremos Veja que os valores determinados na tabela, representam o que acontece no primeiro quadrante. Um comportamento semelhante ocorre nos demais quadrantes. Esta é a Rosa de Quatro Pétalas. 31 / 48

85 Casos r = c. cos(2θ), r = c.sen(2θ) onde c é constante Exemplo 10 Interpretação geométrica para r = 5 cos(2θ) 32 / 48

86 Casos r = c. cos(2θ), r = c.sen(2θ) onde c é constante Exemplo 10 Interpretação geométrica para r = 5 cos(2θ) 32 / 48

87 Casos r = c. cos(2θ), r = c.sen(2θ) onde c é constante Generalização - Rosáceas Em geral, para r = c.sen(nθ) e r = c. cos(nθ), temos uma Rosa de n pétalas se n é ímpar e uma Rosa de 2n pétalas se n é par. Quanto maior o valor de r, maior o tamanho da pétala. 33 / 48

88 Casos r = c. cos(nθ), r = c.sen(nθ) onde c é constante r = 5.sen(7θ) 34 / 48

89 Casos r = c. cos(nθ), r = c.sen(nθ) onde c é constante r = 8.sen(12θ) 35 / 48

90 Casos r = c. cos(nθ), r = c.sen(nθ) onde c é constante r = 8.sen(12θ) e r = 8. cos(12θ) 36 / 48

91 Sumário 1 Coordenadas Polares / 48

92 Limaçon Limaçon ou Caracol de Pascal Representação geométrica de equações polares do tipo r = a ± b cos θ ou r = a ± bsenθ 38 / 48

93 Limaçon r = 2 + 3senθ 39 / 48

94 Limaçon r = 3 7 cos θ 40 / 48

95 Limaçon Cardióide r = 3 3senθ 41 / 48

96 Limaçon (1) r = 3 3senθ (2) r = 3 15senθ (3) r = 3 2senθ 42 / 48

97 Lemniscata Lemniscata de Bernoulli Representação geométrica de equações polares do tipo r = a cos 2θ ou r = a sen2θ 43 / 48

98 Lemniscata r = 4 sen2θ 44 / 48

99 Lemniscata r = 8 cos 2θ 45 / 48

100 Espiral Espiral Representação geométrica de equações polares do tipo r = c.θ r = 3θ r = 2θ 46 / 48

101 Convertendo equações polares em cartesianas Exemplo 11 Converta a equação polar r = cartesiana. 2 cos θ + senθ em uma equação 47 / 48

102 Convertendo equações polares em cartesianas Exemplo 11 Converta a equação polar r = cartesiana. 2 cos θ + senθ em uma equação Multiplicando ambos os membros por cos θ + senθ, temos: 47 / 48

103 Convertendo equações polares em cartesianas Exemplo 11 Converta a equação polar r = cartesiana. 2 cos θ + senθ em uma equação Multiplicando ambos os membros por cos θ + senθ, temos: r(cos θ + senθ) = 2 47 / 48

104 Convertendo equações polares em cartesianas Exemplo 11 Converta a equação polar r = cartesiana. 2 cos θ + senθ em uma equação Multiplicando ambos os membros por cos θ + senθ, temos: r(cos θ + senθ) = 2 (r cos θ) + (rsenθ) = 2 47 / 48

105 Convertendo equações polares em cartesianas Exemplo 11 Converta a equação polar r = cartesiana. 2 cos θ + senθ em uma equação Multiplicando ambos os membros por cos θ + senθ, temos: r(cos θ + senθ) = 2 (r cos θ) + (rsenθ) = 2 x + y = 2 47 / 48

106 Convertendo equações polares em cartesianas Exemplo 12 Converta a equação polar r 2 = 9.sen2θ em uma equação cartesiana. 48 / 48

107 Convertendo equações polares em cartesianas Exemplo 12 Converta a equação polar r 2 = 9.sen2θ em uma equação cartesiana. r 2 = 9sen2θ 48 / 48

108 Convertendo equações polares em cartesianas Exemplo 12 Converta a equação polar r 2 = 9.sen2θ em uma equação cartesiana. r 2 = 9sen2θ r 2 = 9(2.senθ. cos θ) 48 / 48

109 Convertendo equações polares em cartesianas Exemplo 12 Converta a equação polar r 2 = 9.sen2θ em uma equação cartesiana. r 2 = 9sen2θ r 2 = 9(2.senθ. cos θ) r 2 = 18. y r.x r 48 / 48

110 Convertendo equações polares em cartesianas Exemplo 12 Converta a equação polar r 2 = 9.sen2θ em uma equação cartesiana. r 2 = 9sen2θ r 2 = 9(2.senθ. cos θ) r 2 = 18. y r.x r r 4 = 18xy (x 2 + y 2 ) 2 = 18xy 48 / 48

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