EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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1 GRUPO Educação adistância Caderno de Estudos EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Prof. Ruy Piehowiak Editora UNIASSELVI 2012 NEAD

2 Copyright Editora UNIASSELVI 2012 Elaboração: Prof. Ruy Piehowiak Revisão, Diagramação e Produção: Centro Universitário Leonardo da Vinci UNIASSELVI Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri Grupo UNIASSELVI Indaial P613e Piehowiak, Ruy Equações diferenciais / Ruy Piehowiak. Indaial : Uniasselvi, p. : il ISBN Equações diferenciais. I. Centro Universitário Leonardo da Vinci.

3 APRESENTAÇÃO Caro(a) acadêmico(a)! Seja bem-vindo(a) à disciplina de Equações Diferenciais. Para estudar Equações Diferenciais não há como desvincular o estudo do Cálculo Diferencial e Integral, pois as palavras equação e diferencial sugerem que estudemos equações que envolvam derivadas. As derivadas são estudadas no segmento da matemática chamado de cálculo diferencial, que, consequentemente, nos leva ao cálculo integral. O cálculo utiliza ideias da matemática elementar e as estende para situações mais gerais, ou seja, o cálculo consiste na matemática elementar (álgebra, geometria, trigonometria) aperfeiçoada pelo processo do limite. Nesta disciplina, você irá aprimorar seus conhecimentos sobre o Cálculo Diferencial e Integral. Se você já se interessou pelo que foi estudado no cálculo, vai ver que neste caderno terá tópicos mais abrangentes e, também, interessantes. A disciplina fornece uma série de ferramental necessária a outras disciplinas, como, por exemplo, a Física. O cálculo é considerado um dos maiores feitos do intelecto humano. Espero que, além de perceber a utilidade, também perceba a beleza matemática. O entendimento do conteúdo e das nuances que circundam este estudo é apenas a ponta do iceberg, principalmente para aqueles acadêmicos que pretendem avançar seus estudos, como em especialização, mestrado etc. Prof. Ruy Piehowiak UNI Quero enfatizar a postura que um(a) acadêmico(a) de matemática deve ter ao estudar. Inicialmente, para ler um texto de matemática, principalmente na modalidade de ensino a distância, é bastante diferente de ler uma revista ou um jornal. Assim, não desanime se precisar ler um conceito ou a resolução de um exemplo mais de uma vez para entendê-lo. Sugiro que possua um papel, lápis e computador com software matemático (por exemplo, o winplot) à sua mão para entender o conteúdo trabalhado no Caderno de Estudos e desenvolver ainda mais a sua habilidade algébrica. iii

4 UNI Oi!! Eu sou o UNI, você já me conhece das outras disciplinas. Estarei com você ao longo deste caderno. Acompanharei os seus estudos e, sempre que precisar, farei algumas observações. Desejo a você excelentes estudos! UNI iv

5 SUMÁRIO UNIDADE 1 FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS... 1 TÓPICO 1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS OU MAIS INTRODUÇÃO Recordando a Função de Uma Variável Funções de duas variáveis gráficos DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS RESUMO DO TÓPICO AUTOATIVIDADE TÓPICO 2 CURVAS DE NÍVEL INTRODUÇÃO Curvas de nível RESUMO DO TÓPICO AUTOATIVIDADE TÓPICO 3 LIMITE E CONTINUIDADE INTRODUÇÃO DEFINIÇÕES BÁSICAS LIMITE DE FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS RESUMO DO TÓPICO AUTOATIVIDADE TÓPICO 4 DERIVADAS PARCIAIS INTRODUÇÃO RELEMBRANDO ALGUMAS regras de derivação DERIVADAS PARCIAIS DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA GENERALIZAÇÃO DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR LEITURA COMPLEMENTAR RESUMO DO TÓPICO AUTOATIVIDADE AVALIAÇÃO UNIDADE 2 DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MÚLTIPLAS v

6 TÓPICO 1 REGRA DA CADEIA E DERIVAÇÃO IMPLÍCITA INTRODUÇÃO REGRA DA CADEIA DERIVAÇÃO IMPLÍCITA RESUMO DO TÓPICO AUTOATIVIDADE TÓPICO 2 DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE INTRODUÇÃO DIFERENCIABIBLIDADE DIFERENCIAL GRADIENTE DERIVADAS DIRECIONAIS RESUMO DO TÓPICO AUTOATIVIDADE TÓPICO 3 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS INTRODUÇÃO EXTREMOS LOCAIS PROBLEMAS ENVOLVENDO MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS RESUMO DO TÓPICO AUTOATIVIDADE TÓPICO 4 INTEGRAIS MÚLTIPLAS INTRODUÇÃO INTEGRAL DUPLA INTEGRAL DUPLA SOBRE RETÂNGULO INTEGRAIS ITERADAS INTEGRAL DUPLA SOBRE REGIÕES GENÉRICAS LEITURA COMPLEMENTAR RESUMO DO TÓPICO AUTOATIVIDADE AVALIAÇÃO UNIDADE 3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS TÓPICO 1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM INTRODUÇÃO definições e terminologias TipoS de uma Equação Diferencial Ordem de uma Equação Diferencial Linearidade de uma Equação Diferencial vi

7 2.4 Solução de uma Equação Diferencial Solução geral Solução particular Equação Diferencial Separável Método de resolução da equação diferencial Equações diferenciais Lineares de 1ª ordem Método de resolução da equação diferencial Equações Exatas Método de resolução da equação diferencial RESUMO DO TÓPICO AUTOATIVIDADE TÓPICO 2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM substituições INTRODUÇÃO Equações de Bernoulli Método de resolução da equação diferencial Equações Diferenciais HOMOGÊNEAS FUNÇÕES HOMOGÊNEAS EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS Método de resolução da equação diferencial RESUMO DO TÓPICO AUTOATIVIDADE TÓPICO 3 Equações Diferenciais lineares de SEGUNDA Ordem INTRODUÇÃO Equações Diferenciais lineares de SEGUNDA Ordem Equações Diferenciais lineares de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes Método de resolução da equação diferencial LEITURA COMPLEMENTAR RESUMO DO TÓPICO AUTOATIVIDADE AVALIAÇÃO REFERÊNCIAS vii

8 viii

9 UNIDADE 1 FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS Objetivos de aprendizagem Ao final desta unidade você deverá ser capaz de: conhecer os principais conceitos que envolvem funções de diversas variáveis; identificar o domínio de funções de diversas variáveis; reconhecer as curvas de níveis de forma algébrica; reconhecer as curvas de níveis geometricamente; calcular os limites de funções de diversas variáveis; identificar a continuidade de funções de diversas variáveis; calcular as derivadas parciais; interpretar geometricamente as derivadas parciais. PLANO DE ESTUDOS Esta unidade está dividida em quatro tópicos, apresentando os conceitos e a utilização das funções de diversas variáveis. No Tópico 1 é apresentado o estudo do domínio de uma função de diversas variáveis e as curvas de nível, seguido de vários exemplos para auxiliá-lo(a) na compreensão e resolução dos exercícios propostos no final de cada tópico. No Tópico 2 daremos uma atenção especial às curvas de nível, tanto na representação gráfica como no seu reconhecimento algébrico. No Tópico 3 serão estendidos os conceitos de limite e continuidade estudados para as funções de uma variável. No Tópico 4 aprenderemos como derivar funções de diversas variáveis e, sobretudo, entender o significado geométrico das derivadas parciais. Finalizamos a unidade com um texto complementar onde será dada ênfase às personalidades matemáticas que contribuíram no desenvolvimento do cálculo diferencial e integral e, consequentemente, das equações diferenciais. TÓpico 1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS OU MAIS TÓpico 2 CURVAS DE NÍVEL TÓpico 3 LIMITES E CONTINUIDADE TÓpico 4 DERIVADAS PARCIAIS

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11 UNIDADE 1 TÓPICO 1 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS OU MAIS 1 INTRODUÇÃO Você já estudou limites, derivadas e integrais: conceitos vistos em funções de uma variável. Nesta unidade estudaremos as funções de duas ou mais variáveis, e veremos que as regras do cálculo para funções de uma variável permanecem essencialmente as mesmas. Funções com mais de uma variável independente se apresentam mais costumeiramente em modelos matemáticos aplicados à engenharia, por exemplo, do que funções de uma variável. Os estudos de probabilidade, estatística, dinâmica dos fluidos e trabalho são exemplos que conduzem, de uma maneira natural, a funções de mais de uma variável; daí a importância do seu estudo. 2 Recordando a Função de Uma Variável Representamos a função de uma variável por duas variáveis x e y, sendo que chamamos de x a variável independente da função e de y a variável dependente da função. Assim, denotamos a relação entre as variáveis por y = f (x), deixando explícito que y depende de x. Exemplo 1 y = 2x + 1. x Exemplo 2 f (x) = x Habitualmente, ao trabalharmos com funções, um dos primeiros cuidados que devemos ter é em relação ao conjunto domínio das funções, isto é, para que valores reais às funções estão definidas. Então, dada uma função f(x), devemos encontrar valores para os quais a

12 4 função tenha imagem. TÓPICO 1 UNIDADE 1 Exemplo 3 Encontre o domínio da função f(x) = A função f(x) é uma função racional, pois temos a variável x no denominador. Esta função tem dois cuidados a serem tomados em relação ao domínio. (i) Desde que iniciamos nossos estudos com frações, sabemos que não é possível ter zero no denominador das frações. (ii) Temos a variável x no radicando da raiz quadrada. Como estamos considerando f(x) uma função real, o radicando não pode assumir valores negativos. x² 16 > 0 Assim, juntando as condições (i) e (ii), teremos x² 16 > 0. Observe que temos que resolver uma inequação do 2º grau. Para isso, consideramos inicialmente apenas a equação (igualdade) a fim de obtermos as raízes. x² - 16 = 0. Determinando as raízes desta equação do segundo grau incompleta: x² = 16 x = x = Analisando a função quadrática f(x) = x² - 16, sabemos que seu gráfico corresponde a uma parábola com concavidade voltada para cima e zeros de função em x = - 4 e x = 4. Logo, os valores de x que satisfazem a inequação são x < - 4 ou x > 4. Assim, D(f) = {x R x < - 4 ou x > 4}.

13 UNIDADE 1 TÓPICO 1 5 FIGURA 1 ANÁLISE DO SINAL DA FUNÇÃO f (x) = x² - 16, ATRAVÉS DE SEU ESBOÇO GRÁFICO Fonte: O autor 3 Funções de duas variáveis Definição Suponha que D seja um conjunto de pares ordenados de números reais (x,y). Uma função real f de duas variáveis em D é uma regra que associa um único número real z = f(x,y) a cada par ordenado (x,y) em D. O conjunto D(f) é o domínio de f(x,y). Os números x, y e z são denominados variáveis. Como os valores da função f(x,y) dependem de x e de y, e os valores de z dependem da escolha de x e de y, então x e y são denominadas variáveis independentes e z é denominada variável dependente. Uma função de duas variáveis é uma função cujo domínio é um subconjunto do R 2 e cuja imagem é um subconjunto de R. Uma maneira de visualizá-la é através de um diagrama de flechas, conforme a seguir: FIGURA 2 DIAGRAMA DE FLECHAS REPRESENTANDO O DOMÍNIO E A IMAGEM DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS Fonte: O autor

14 6 TÓPICO 1 UNIDADE 1 Exemplo 4 Dada a função que calcula o perímetro de um retângulo f(x,y) = 2(x + y), calcule o valor de f (2,5). x y Basta substituir, em f(x,y), o x por 2, o y por 5 e calcular. Então: f(2,5) = 2(2 + 5) f(2,5) = 2 7 f(2,5) = 14 Exemplo 5 A função T (x,y) = 60-2x² - 3y² representa a temperatura em qualquer ponto de uma chapa. A temperatura oscila em relação à distância percorrida no sentido dos eixos positivos x e y. Calcule a temperatura da chapa (Figura 3) no ponto (3, 1) em graus Celsius. T (3,1) = ² - 3 1² T (3,1) = T (3,1) = 39 C FIGURA 3 AQUECIMENTO DE UMA CHAPA FONTE: O autor Exemplo 6 Dada a função f(x,y) = x² + y², calcule f(1, - 2)..

15 UNIDADE 1 TÓPICO 1 7 f(x,y) = x² + y² f(1, 2) = 1² + ( 2)² f(1, 2) = f(1, 2) = 5 NOTA! No estudo do domínio de uma função devemos avaliar quais números reais são possíveis atribuir para as variáveis x e y para obtermos valores reais para z = f(x,y). Vamos relembrar algumas restrições! Consideremos os casos a seguir em que A e B são expressões em função de x e y. Se f(x,y) = A então, necessariamente, B 0. B Se f(x,y) =, onde n é par, então, necessariamente, A 0. Se f(x,y) = log c A com c > 0 e c 1 então, necessariamente, A > 0. Exemplo 7 Encontre o conjunto domínio da função f (x,y) = 3x² y². Esta função não apresenta nenhuma restrição para os valores de x e y. Portanto, D(f) = {(x, y) R 2 } ou D( f ) = R 2. Exemplo 8 Determine o conjunto domínio de f (x,y) = e o represente grafi camente. Esta função apresenta restrição para os valores de x e y, pois o radicando 3x 2y não pode ser negativo. 3x 2y 0 2y 3x ordem: Multiplicando ambos os membros da desigualdade por ( 1) e alterando a relação de 2y 3x y 3 x 2

16 8 TÓPICO 1 UNIDADE 1 Portanto, Para fazer o gráfico do conjunto domínio da função f (x y) do exemplo anterior, primeiro trace o gráfico de y = 3 x e depois determine qual a região correspondente à desigualdade 2 y 3 2 x. O gráfico de y = 3 x corresponde a uma reta crescente que contém a origem. Note 2 que esta reta divide o plano em duas regiões. Para identificar qual região expressa o domínio de f (x,y), atente para a desigualdade estabelecida. Neste exemplo, como se trata de uma reta e a relação de ordem é dada pelo sinal, então isto implica que o domínio é expresso pelos infinitos pontos que se encontram na reta e abaixo dela. FIGURA 4 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DOMÍNIO DE f. FONTE: O autor Exemplo 9 Determine o conjunto domínio de f (x,y) = 5x y x². Esta função apresenta restrição para os valores de x e y, pois o denominador y x² não pode tornar-se nulo.

17 UNIDADE 1 TÓPICO 1 9 Então, y x² 0 y x² Portanto, 5x Para fazer o gráfico do conjunto domínio da função f (x,y) = procedemos do y x² mesmo modo que no exemplo anterior. A função que expressa o domínio é dada por y x², cuja representação no plano é uma parábola com concavidade voltada para cima e que possui seu vértice na origem. A relação de diferença, porém, implica que pertencem ao domínio todos os pontos do plano, exceto os que se encontram sobre a parábola expressa pela relação y = x². FIGURA 5 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DOMÍNIO DE f FONTE: O autor Exemplo 10 Determine o conjunto domínio de f(x,y) = e o represente graficamente. Esta função apresenta restrição para os valores de x e y, pois o radicando 3x² + y² 18 não pode ser negativo. 3x² + y² x² + y² 18

18 10 TÓPICO 1 Dividindo ambos os membros da desigualdade por 18: 3x ² y ² x² y² UNIDADE 1 A função x² y² + = 1representa uma elipse centrada na origem do plano cartesiano, 6 18 cujo eixo maior, definido sobre o eixo das ordenadas, é igual a 2 8,48 e cujo eixo menor, definido sobre os eixos das abscissas, é igual a 2 4,90. Atribuídas as características geométricas da função que define o domínio, traçamos o seu gráfico. A relação de desigualdade estabelecida é. Isto implica que os pontos que pertencem ao domínio se encontram sobre a elipse e fora dela. ATENÇÃO! Ao sentir dificuldade em caracterizar as funções quanto à sua representação geométrica, retome os estudos realizados na disciplina de Geometria Analítica. FIGURA 6 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DOMÍNIO DE f FONTE: O autor

19 UNIDADE 1 TÓPICO 1 11 Exemplo 11 Determine o conjunto domínio de f (x,y) = h (x 3y + 1) e o represente graficamente. Como In (x 3y + 1) é definido somente quando x 3y + 1 > 0, então, x 3y + 1 > 0 x 3y > 1 3y > x 1 ordem: Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (-1) e alterando a relação de 3y < x + 1 y < x Neste exemplo a função domínio, expressa pela desigualdade y < x + 1 3, representa, no plano, uma região que se encontra abaixo da reta y = x + 1. Observe que os pontos sobre 3 a reta não pertencem ao conjunto domínio. FIGURA 7 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DOMÍNIO DE f FONTE: O autor

20 12 TÓPICO 1 Exemplo 12 Determine o conjunto domínio de f (x,y) = UNIDADE 1 e o represente graficamente. Esta função apresenta restrição para os valores de x e y. A expressão que representa o radicando, 4 x² y², não pode ser negativa. 4 x² y² 0 x² y² 4 ordem: Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (-1) e alterando a relação de x² + y² 4 O conjunto domínio da função f (x,y) =, expresso pela desigualdade x² + y² 4, compreende os infinitos pontos interiores juntamente com os infinitos pontos pertencentes à circunferência centrada na origem do plano cartesiano, de raio 2. FIGURA 8 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DOMÍNIO DE f FONTE: O autor

21 UNIDADE 1 TÓPICO gráficos DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Se f é uma função de duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x,y,z) em R 3 tal que z = f (x,y) e (x,y) D. Fazer a representação gráfica das funções de duas variáveis é normalmente complicado e requer habilidade manual. Assim, vamos recorrer ao uso de programas computacionais matemáticos que fazem os gráficos de superfícies. O objetivo aqui é apenas mostrar os gráficos das funções de duas variáveis e não a construção manual dos gráficos. Os gráficos, que você encontrará ao longo do Caderno de Estudos, foram construídos através do Winplot, que é um software livre disponível na internet, e do Maple 11, um software comercial que possui inúmeros recursos matemáticos. DICAS! Caro(a) acadêmico(a)! Você pode baixar o software Winplot diretamente da internet ou do material de apoio da disciplina no AVA. Exemplo 13 Represente graficamente a função f (x,y) = 2 3x 4y. FIGURA 9 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO f (x,y) = 2 3x 4y FONTE: O autor

22 14 TÓPICO 1 Exemplo 14 Represente graficamente a função f (x,y) = 3x² y². UNIDADE 1 FIGURA 10 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO f (x,y) = 3x² y² FONTE: O autor Exemplo 15 Represente graficamente a função f (x,y). FIGURA 11 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO f (x,y) = FONTE: O autor

23 UNIDADE 1 TÓPICO 1 15 Exemplo 16 Represente graficamente a função f (x,y) = sen x sen y FIGURA 12 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO f (x,y) = sen x sen y FONTE: O autor 4 FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS Definição Seja D um subconjunto de R n. Uma função real f de n variáveis reais definida em D é uma relação entre D e R, que associa a cada ponto (x 1, x 2,..., x n ) D um único valor real z, denotado por z = f (x 1, x 2,..., x n ). Notação: As variáveis (x 1, x 2,..., x n ) são as variáveis independentes, e z é a variável dependente. O conjunto de todos os valores possíveis de f é chamado imagem de f, e é denotado por lm(f). Assim,

24 16 TÓPICO 1 UNIDADE 1 Definição Seja f uma função de n variáveis. O gráfico de f é o conjunto de todos os pontos do espaço R n+1 dado por: No caso em que n = 1, f será uma função de uma variável e seu gráfico será uma curva C com equação y = f (x 1 ). Quando n = 2, f será uma função de duas variáveis e seu gráfico será uma superfície S com equação z = f (x 1,x 2 ). dimensão 4. Quando n = 3, não podemos esboçar o gráfico da função f, pois ele está no espaço de Exemplo 17 Esboce o gráfico da função f (x,y) = 6 2x + 3y. Para esboçar o gráfico de uma função, temos que conhecer o domínio desta função. O domínio desta função f é D(f) = R² e o gráfico da função f é o conjunto: graf (f) = {(x,y,z) R³ z = 6 2x + 3y} Geometricamente, o gráfico de f representa um plano. Vamos fazer algumas considerações sobre a função e os eixos, como se fôssemos traçar o gráfico manualmente. Então começamos encontrando os pontos onde o plano intercepta cada um dos três eixos coordenados. Se na equação z = 3 2x 3y fizermos: x = 0 e y = 0, vem z = 6 x = 0 e z = 0, vem y = 2 y = 0 e z = 0, vem x = 3. Obtemos assim os pontos A 1 = (0, 0, 6), A 2 = (0, 2, 0) e A 3 = (3, 0, 0), nos quais o plano intercepta os eixos coordenados. A porção do gráfico que está no primeiro octante está esboçada na figura a seguir.

25 UNIDADE 1 TÓPICO 1 17 FIGURA 13 PLANO COM EIXOS COORDENADOS FONTE: O autor Exemplo 18 Determine o conjunto domínio e o conjunto imagem da função f (x, y, z) = Esta função não apresenta restrição para os valores de x, y e z. Assim, D(f) = R ³ (todo o espaço). Já para o conjunto imagem, teremos apenas os reais não negativos. Logo, Im (f) = R +.

26 18 TÓPICO 1 UNIDADE 1 RESUMO DO TÓPICO 1 Neste tópico, os principais assuntos estudados foram: Definição de função de diversas variáveis. Conjunto domínio e conjunto imagem de função. Representação gráfica do domínio. Representação gráfica das superfícies z = f (x,y) usando recurso computacional. Listamos algumas situações envolvendo o estudo do domínio para funções de diversas variáveis que impõem restrições ao conjunto domínio. Consideremos os casos a seguir, em que A e B são expressos em função de x e y. ü Se f (x,y) = então devemos considerar B 0. ü Se f (x,y) =, onde n é par, então devemos considerar A 0. ü Se f (x,y) =, onde n é par, então devemos considerar A 0 e B 0. ü Se f (x,y) =, onde n é par, então devemos considerar B > 0. ü Se f (x,y) = log c com c > 0 e c 1 então devemos considerar A > 0.

27 UNIDADE 1 TÓPICO 1 19 Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado sobre funções de diversas variáveis. 1 Nos problemas a seguir, calcule o valor da função nos pontos específi cos: a) f (x,y) = (x 1)² + 2xy³ ; f (2, 1); f (1,2) 3x + 2y b) f (x,y) = ; f (1,2) ; f ( 4,6) 2x + 3y c) g (x,y) = ; g (4,5); g ( 1,2) d) g (u,v) = 10u ½ v ⅔ ; g (16,27); g (4 1331) e) f (x,y) = y + x ; f (1,2); f(2, 3) x y 2 Nos problemas a seguir, descreva o domínio das funções e represente-o graficamente: 5x + 2y a) f (x,y) = 4x + 3y b) g (x,y) = 36 x² + y² c) f (x,y) = x + y 2 3x + 5y d) f (x,y) = x² + 2y² 4 e) f (x,y) = In (x + y 4) f) g (x,y) = e xy x 2y

28 20 TÓPICO 1 UNIDADE 1

29 UNIDADE 1 TÓPICO 2 CURVAS DE NÍVEL 1 INTRODUÇÃO Neste tópico veremos como representar uma superfície (figura tridimensional) em um gráfico bidimensional. Talvez você já tenha visto algum gráfico nesta situação: na prática, são chamados mapas topográficos. Nestes mapas, uma paisagem tridimensional, como a extensão de uma montanha, por exemplo, está representada por linhas de contorno bidimensionais ou curvas de elevação constante, conforme pode ser visto na figura a seguir. FIGURA 14 MAPA DE CONTORNO DE UMA MONTANHA FONTE: Disponível em: <http://arqaulas.wordpress.com/category/ topografia>. Acesso em: 11 jul

30 22 TÓPICO 2 UNIDADE 1 O objetivo deste tópico é mostrar como reconhecer algebricamente e geometricamente as curvas de nível. Muitas das curvas que encontraremos correspondem a gráficos de funções já conhecidas, as quais você estudou na disciplina de Geometria Analítica, tais como: reta, parábola, cúbica, circunferência, elipse e hipérbole. 2 Curvas de nível O conjunto de todos os pontos onde uma função f (x,y) tem um valor constante c R é chamado de curva de nível de f. Assim, as curvas de nível são obtidas a partir de funções de duas variáveis z = f (x,y) interceptadas por planos paralelos ao plano xy. Definição Seja c um número real. O conjunto de pontos no plano onde uma função f (x,y) tem um valor constante f (x,y) = c é chamado de curva de nível de f. Exemplo 1 Identifique as curvas de nível para g (x,y) = 4 x y em c = 0 e c = 6. Represente graficamente. g (x,y) = c para c = 0 g (x,y) = 4 x y 0 = 4 x y y = 4 x y = x + 4 Esta função representa uma reta decrescente (coeficiente angular 1) que intercepta o eixo y em 4. g (x,y) = c para c = 6 g (x,y) = 4 x y 6 = 4 x y y = 4 6 x y = x 2 Esta função representa uma reta decrescente (coeficiente angular 1) que intercepta o eixo y em 2.

31 UNIDADE 1 TÓPICO 2 23 FIGURA 15 CURVAS DE NÍVEL DE g (x,y) = 4 x y FONTE: O autor Outro exemplo que ilustra as curvas de nível é o que muitos autores chamam de mapa de contorno, conforme figura a seguir. FIGURA 16 MAPA DE CONTORNO DE g (x,y) = 4 x y FONTE: O autor IMPORTANTE! Considerando diferentes valores para a constante c, igualmente espaçados, obtemos um conjunto de curvas de nível chamado mapa de contorno, representadas no mesmo plano cartesiano.

32 24 TÓPICO 2 UNIDADE 1 Exemplo 2 Identifique as curvas de nível para f (x,y) = x² y² em c = 0, c = -3 e c = 4. Represente graficamente. f (x,y) = c para c = 0 x² y² = 0 y² = x² y = ± { y = x y = x Estas duas equações representam duas retas (Figura 17). A reta de equação y = x representa, no plano, a bissetriz dos quadrantes ímpares, enquanto que a reta de equação y = - x representa a bissetriz dos quadrantes pares. f (x,y) = c para c = 3 x² y² = 3 x² y² x² y² + = x² y² A equação + = 1 representa uma hipérbole equilátera, com a = b = 3 que 3 3 tem uma concavidade voltada para cima e a outra para baixo (Figura 17). f (x,y) = c para c = 4 x² y² = 4 x² y² 4 = x² y² = Esta equação representa uma hipérbole equilátera, com a = b = 2, centrada na origem do plano cartesiano, com uma concavidade voltada para a direita e outra para a esquerda (Figura 17).

33 UNIDADE 1 TÓPICO 2 25 FIGURA 17 CURVAS DE NÍVEL DE f (x,y) = x² y² FONTE: o autor FIGURA 18 MAPA DE CONTORNO DE f (x,y) = x² y² FONTE: o autor DICAS! Caro(a) acadêmico(a)! Para desenhar os mapas de contorno, sugiro que utilize um software matemático, como, por exemplo, o Winplot. Na internet você encontra diversos tutoriais sobre o Winplot, inclusive onde baixar o programa, que é freeware. Agora tente você, identifique as curvas de nível para g (x,y) = 4 2x² y² em c = 0 e c = 2 e as represente graficamente.

34 26 TÓPICO 2 UNIDADE 1 Exemplo 3 Identifique as curvas de nível para f (x,y) = 5 x ² y ² em c = 1 e c = 2. Represente graficamente. f (x,y) = c para c = 1 5 x ² y ² = 1 5 x ² y ² = 1 x ² y ² = 4 (-1) x² + y² = 4 Esta equação representa uma circunferência centrada na origem do plano cartesiano, com raio igual a 2 (Figura 19). f (x,y) = c para c = 2 5 x ² y ² = 2 5 x ² y ² = 4 x ² y ² = 1 ( 1) x ² + y ² = 1 Esta equação representa uma circunferência centrada na origem do plano cartesiano, com raio igual a 1 (Figura 19). FIGURA 19 CURVAS DE NÍVEL DE f (x,y) = 5 x ² y ² FONTE: o autor

35 UNIDADE 1 TÓPICO 2 27 FIGURA 20 MAPA DE CONTORNO DE f (x,y) = 5 x ² y ² FONTE: o autor

36 28 TÓPICO 2 UNIDADE 1 RESUMO DO TÓPICO 2 Neste tópico fizemos análises e representações gráficas das curvas de nível de uma função f, que são curvas resultantes da interseção de planos paralelos ao plano xy com a superfície z = f (x,y). E ainda estudamos: Representação gráfica das curvas de nível. Reconhecimento algébrico das curvas de nível.

37 UNIDADE 1 TÓPICO 2 29 Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado sobre funções de diversas variáveis. 1 Associe as superfícies de 1 a 4 aos mapas de contorno de A a D. (A) (1) (2) (B) 3 3

38 30 TÓPICO 2 UNIDADE 1 (3) (C) (4) (D) 2 Nas questões a seguir, identifique algebricamente as curvas de nível para valores de c dados. a) f (x,y) = x ² + y ² 9 c { 4, 2, 1, 0}; b) f (x,y) = y ² x c {0, 1, 2, 3} 3 Nas questões a seguir, represente graficamente as curvas de nível das funções. Agora, você escolherá alguns valores para c. É importante que você faça os gráficos manualmente e, se for possível, utilize o software Winplot para conferir ou como apoio nos estudos. a) f (x,y) = x ² + 9y ² b) f (x,y) = y ² x³ c) g (x,y) = 3 + 2x y

39 UNIDADE 1 TÓPICO 3 LIMITE E CONTINUIDADE 1 INTRODUÇÃO O que estudaremos agora já foi estudado no Cálculo Diferencial e Integral, onde o conceito de limite e continuidade foi empregado para função de uma variável. Neste tópico estenderemos o conceito de limite às funções de duas variáveis, um conceito fundamental do cálculo do qual decorrem outros, como, por exemplo, a noção de continuidade. Para isso, enunciaremos algumas definições de Análise Matemática. Tente entender os conceitos e só depois avance para a próxima seção. 2 DEFINIÇÕES BÁSICAS Definição Sejam P = (x 1, x 2,..., x n ) e A = (a 1, a 2,...a n ) pontos em R n. A distância entre P e A, denotada por P A, é dada por: P A = (x 1 a 1 )² + (x 2 a 2 )² (x n a n )² Exemplo 1 Dados os pontos P = (1, 2, 3) e A = (3, 1, 2) em R³, encontre P A. P A = (1 3)² + ( 2 1)² + (3 ( 2))² = 8 u.c. Definição Sejam A = (a 1, a 2,..., a n ) R n e r > 0 um número real. A bola aberta de centro em A e raio r, que indicaremos por B(A; r), é definida como sendo o conjunto de todos

40 os pontos P = (x 1, x 2,..., x n ), tais que P A < r, ou seja: B(A; r) = {(x 1, x 2,...,x n ) R n ; x 1 a 1 )² + (x 2 a 2 )² (x n a n )² < r Exemplo 2 a) Em R, a bola aberta B(a; r) é o intervalo aberto (a r, a + r). FIGURA 21 INTERVALO EM R FONTE: O autor b) Em R², a bola aberta B((a 1, a 2 ); r) representa o conjunto dos pontos internos à circunferência de centro em (a 1, a 2 ) e raio r. FIGURA 22 r de A FONTE: O autor Definição Seja S um subconjunto de R n. Um ponto A é um ponto de acumulação de S, se toda bola aberta de centro em A possui uma infinidade de pontos de S, mesmo que A não necessariamente pertença a S. Exemplo 3 Seja S = {(x,y) R² x > 0 e y < 2}. Mostre que todos os pontos pertencentes ao conjunto S são pontos de acumulação. Todos os pontos pertencentes a S são pontos de acumulação de S, pois atendem à Definição Ainda, os pontos (0,y), com y 2, e (x, 2), com x > 0, são pontos de acumulação de S e não pertencem a S. (Figura 23).

41 UNIDADE 1 TÓPICO 3 33 FIGURA 23 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO CONJUNTO S FONTE: O autor Exemplo 4 Seja S = {(x,y) N 2 2 x 4 e 1 y 5}. Mostre que o conjunto S não possui pontos de acumulação. Mostraremos que os pontos de S não são pontos de acumulação de S pois não atendem à Definição Para qualquer ponto P(x,y) R 2, a bola aberta de centro P e raio r < 1 não contém uma infinidade de S. Portanto, o conjunto S não possui pontos de acumulação. (Figura 24). FIGURA 24 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO CONJUNTO S FONTE: O autor

42 34 TÓPICO 3 UNIDADE 1 3 LIMITE DE FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS A seguir, definiremos limite de uma função de diversas variáveis. Definição Sejam f : S R n R uma função, e A um ponto de acumulação de S. Dizemos que o limite de f (X) quando X se aproxima de A é um número real L se, dado ε > 0, existir δ > 0 tal que f (X) L < ε sempre que X S e 0 < X A < δ. Neste caso, escrevemos lim f (X) = L x A O estudo de funções de três ou mais variáveis (n 3) difere pouco do estudo de funções de duas variáveis. Desta forma, por simplicidade de apresentação, vamos estudar as funções de duas variáveis no restante desta unidade. Começaremos reescrevendo a definição de limite de funções de duas variáveis. Definição Sejam f : S R 2 R uma função, e (a, b) um ponto de acumulação de S. Dizemos que o limite de f (x,y) quando (x,y) se aproxima de (a,b) é um número real L se, dado ε > 0, existir δ > 0 tal que f (x,y) L < ε sempre que (x,y) S e 0 < (x a) 2 + (y b) 2 < δ Neste caso, escrevemos lim (x,y) (a,b) f (x,y) = L A definição de limite de função pode ser reformulada utilizando o conceito de bola aberta que vimos anteriormente. De fato, escrever lim (x,y) (a,b) f (x,y) = L, equivale a dizer que, dado qualquer ε > 0, podemos encontrar δ > 0 tal que, para todo (x,y) B ((a,b); δ) tenhamos f (x,y) (L ε, L + ε). A figura a seguir ilustra, no caso de uma função f : A R n R, a definição de limite. FIGURA 25 FUNÇÃO f : A R n R FONTE: Disponível em: <http://www.icmc.usp.br/~cmmendes/calculoii/ Calculo2Diferencia%E7%E3o.pdf>. Acesso em: 18 jun

43 UNIDADE 1 TÓPICO 3 35 Exemplo 5 Usando a definição de limite, mostre que lim (4x) (3y) = 5. (x,y) (2,1) Devemos mostrar que ε > 0, δ > 0 tal que (4x 3y) 5 < ε sempre que (x,y) (2,1) < δ Com o objetivo de encontrar o δ desejado, trabalharemos com a desigualdade que envolve ε. Assim, usando propriedades do valor absoluto, podemos escrever: (4x 3y) 5 = 4x 3y (8 3) = 4x 8 3y + 3 = 4x 8 (3y 3) = 4 (x 2) 3(y 1) 4 x y 1 Como 0 < (x 2) 2 + (y 1) 2 < δ podemos escrever x 2 (x 2) 2 + (y 1) 2 < δ e y 1 (x 2) 2 + (y 1) 2 < δ, temos que 4 x y 1 < 4 δ + 3 δ. Assim, tomando δ = ε 7, temos (4x 3y) 5 4 x y 1 < 4 ε = ε 7 = ε sempre que 0 < (x 2) 2 + (y 1) 2 < δ. Portanto, lim (4x 3y) = 5 (x,y) (2,1) Teorema Sejam f : S R 2 R uma função de duas variáveis, S 1 e S 2 subconjuntos de S e (a,b) um ponto de acumulação de S 1 e S 2. Se f (x,y) tem limites diferentes quando (x,y) tende (a,b) através dos pontos de S 1 e S 2 então lim f (x,y) não existe. (x,y) (a,b) ATENÇÃO! Lembre-se de que o fato de o ponto (a,b) ser um ponto de acumulação de S 1 e S 2 não significa que (a,b) S 1 S 2. Exemplo 6 Usando a definição de limite, mostre que lim (x,y) (0,0) 5xy não existe. x y

44 36 TÓPICO 3 UNIDADE 1 Observemos que o conjunto domínio de f é R 2 (0,0). Para mostrar que o limite não existe, usaremos o Teorema Consideremos o conjunto de retas que passam pela origem {y = kx k R, (x,y) R 2 }. Calculando f (x,y) com y = kx, temos f (x,kx) = = = 5xkx x 2 + (kx) 2 5kx 2 x 2 (1+ k 2 ) 5k 1+ k 2 Então, lim f (x, kx) = lim (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) 5k 1+ k 2 Assim, o limite de f depende do percurso do ponto (x,y) quando ele tende à origem. Por exemplo, considere k = 0 e k = 1 (dois caminhos diferentes). lim f (x,x) = lim (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) = Note que f assume um valor constante sobre cada reta que passa pela origem. De fato, para cada coeficiente angular k R, f (x,kx) = 5k 1+k 2, qualquer que seja x R, corroborando, assim, o cálculo do limite desenvolvido anteriormente. Portanto, concluímos através do Teorema que lim 5xy x 2 + y 2 não existe. O teorema a seguir é muito parecido com o que já foi visto em cálculo nas propriedades de limites de funções de uma variável. (x,y) (0,0) Teorema Se lim f (x,y) = L e lim g (x,y) = M, e c R então: (x,y) (a,b) (x,y) (a,b)

45 UNIDADE 1 TÓPICO 3 37 Vamos utilizar este teorema nos exemplos a seguir. Exemplo 7 Calcule Exemplo 8 Calcule Temos lim (x 3 x 2 y) = 0 e lim (x 2 y 2 ) = 0. (x,y) (2,2) (x,y) (2,2) Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 0. Para resolver o limite, fatoram-se o 0 numerador e denominador fazendo as simplificações possíveis, como fazíamos com limites indeterminados, no caderno de Cálculo Diferencial e Integral. Então,

46 38 TÓPICO 3 UNIDADE 1 4 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS Você se recorda da definição de continuidade estudada na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral? Agora estudaremos esta definição aplicada às funções de diversas variáveis. Acompanhe a seguir: Definição Sejam f : S R 2 R uma função, e (a,b) S um ponto de acumulação de S. Dizemos que f é contínua no ponto (a,b) se as seguintes condições forem satisfeitas: (i) f está definida no ponto (a,b) (ii) lim f(x,y) existe; (x,y) (a,b) (iii) lim f(x,y) = f(a,b). (x,y) (a,b) Quando uma ou mais destas condições não é satisfeita, dizemos que a função é descontínua no ponto (a,b). Dizemos que f é contínua, se f for contínua em todos os pontos do domínio de f. Exemplo 9 Considere a função de duas variáveis f(x,y) = 3x + y 2. a) Mostre que f é contínua no ponto (2, 3). b) Mostre que f é contínua. a) Precisamos verificar se a função satisfaz as três condições da Definição (i) f (2,3) = = 15 (ii) lim f(x,y) = lim (3x + y 2 ) = = 15 (x,y) (2,3) (iii) lim (3x + y 2 ) = f (2,3) (x,y) (2,3) (x,y) (2,3) Logo, f é contínua no ponto (2, 3). b) Seja (a,b) D (f) = R 2

47 UNIDADE 1 TÓPICO 3 39 lim f(x,y) = lim (3x + y 2 ) = 3a + b 2 = f (a,b). (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) Como (a,b) é um ponto qualquer, segue que f (x,y) é contínua. Exemplo 10 c) Verifique se a função f (x,y) = In (xy + 3x) é contínua no ponto (3,2). Verificaremos se a função satisfaz as três condições da Definição Logo, f é contínua no ponto (3, 2). Exemplo 11 Verifique se a função f (x,y) = é contínua no ponto (3,3). Precisamos verificar se a função satisfaz as três condições da Definição (i) f (3,3) = 5, pois x = y (ii) =, portanto o limite não existe. (iii) Como lim f(x,y) f(3,3), concluímos que a função é descontínua no ponto (3,3). (x,y) (3,3) Teorema Se g(x) for contínua em a e h(y) for contínua em b, então f(x,y) = g(x) h(y) é contínua em (a,b).

48 40 TÓPICO 3 UNIDADE 1 Teorema Se h(x, y) for contínua em (a,b) e g(u) for contínua em u = h (a,b), então a composição f(x,y) = g(h(x,y)) é contínua em (a,b). Exemplo 12 Use o Teorema para mostrar que a função f(x,y) = 7x 3 y 5 é contínua. Os polinômios g(x) = 7x 3 e h(y) = y 5 são contínuos em cada ponto da reta real. Logo, pelo Teorema 3.4.1, a função f(x,y) = 7x 3 y 5 é contínua em cada ponto (x,y) do plano xy, ou seja, f(x,y) é contínua. Exemplo 13 Use o Teorema para mostrar que a função f(x,y) = cos (7x 3 y 5 ) é contínua. Como h(x,y) = (7x 3 y 5 ) é contínua em cada ponto do plano xy e g(u) = cos u é contínua em cada ponto u da reta real, segue do Teorema que a composição f(x,y) = cos (7x 3 y 5 ) é contínua em todo R 2.

49 UNIDADE 1 TÓPICO 3 41 RESUMO DO TÓPICO 3 Caro(a) acadêmico(a)! Neste tópico os principais assuntos estudados foram: O conceito de limite de função de diversas variáveis. Definição de função contínua e suas propriedades. É importante saber analisar se uma função é contínua ou não. Destacamos a Definição 3.4.1, que trata da continuidade. Lembre que f : S R 2 R uma função, e (a,b) S um ponto de acumulação de S. Dizemos que f é contínua no ponto (a,b) se as seguintes condições forem satisfeitas: (i) f está definida no ponto (a,b); (ii) lim f(x,y) existe; (x,y) (a,b) (iii) lim f(x,y) = f(a,b). (x,y) (a,b) Lembre-se de que, se uma destas condições não for satisfeita, a função é descontínua em (a,b).

50 42 TÓPICO 3 UNIDADE 1 Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado sobre limite e continuidade de funções de diversas variáveis. 1 Use a definição de limite para mostrar que lim (2x + 6y) = 12 2 Nos exercícios a seguir, calcule os limites. a) lim (x 2 y 3 2xy + 4). (x,y) (2, 1) (x,y) (3,1) b) lim (x,y) (2, 1) c) lim (x,y) (0,0) d) lim (x,y) (0,0) x + 4y 2x 2 + 3xy x 3 + 2x 2 + xy 2 + 2y 2 x 2 xy x + x 2 + y 2 y 3 Mostre que lim (x,y) (0,0) x 2 y não existe. x y 4 Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f (x,y) = 3x 2 + y Verifique se a função f(x,y) = 4x2 3x + y x 2 + y 2 1 { xy, (x,y) (0,0) 6 Verifique se a função f(x,y) = 5x 2 + y 2 0, (x,y) = (0,0) é contínua no ponto (1,3).

51 UNIDADE 1 TÓPICO 4 DERIVADAS PARCIAIS 1 INTRODUÇÃO e Integral? Você se recorda das regras de derivação estudadas na disciplina de Cálculo Diferencial Aqui veremos como elas se aplicam às funções de duas variáveis independentes, que permitem uma visualização gráfica, possibilitando um entendimento, de maneira simples, do conceito de derivadas parciais. Os resultados aqui obtidos podem ser generalizados para os casos de funções com um número maior de variáveis. As regras de derivação que você aprendeu na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral serão utilizadas neste momento novamente. 2 RELEMBRANDO ALGUMAS regras de derivação Se u é uma variável real e c, α R, então: (c) = 0 (e u ) = e u u (c u) = c (sen u) = cos u u (u α ) = α u α 1 u (cos u) = sen u u Exemplo 1 Se f(x) = 5x 3 4x + 3e x 5, então f (x) = 15x e x.

52 44 TÓPICO 4 UNIDADE 1 Lembre-se de que se y = f (x), então a taxa de variação de y em relação a x é dada pela derivada de f em relação a x, que é definida por f (x) = lim Δx 0 f(x + Δx) f(x) Δx 3 DERIVADAS PARCIAIS Nesta seção estudaremos sobre as derivadas parciais. Acompanhe! 3.1 DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS A definição de derivada parcial de uma função de duas variáveis é parecida com a enunciada para funções de uma variável, sendo utilizadas as mesmas regras de derivação. A diferença aqui é que, como se tem duas variáveis, uma delas deve ser mantida fixa enquanto se dá acréscimos para a outra, conforme veremos nas definições a seguir. Definição Seja f : A R 2 R uma função de duas variáveis. As derivadas parciais de f em relação a x e a y são funções f x e f definidas por y f x = lim h 0 f (x + h,y) f (x,y) h f y = lim h 0 f (x,y + h) f (x,y) h desde que os limites existam. O símbolo chama-se D-rond (pronuncia-se derron), que significa D-redondo, em francês. Esta notação é apenas um outro tipo de simbologia para a derivada que, quando trabalhamos com funções de uma variável, era representada por d. É conveniente ter essa maneira distinta de estender a notação diferencial de Leibniz para um contexto de diversas variáveis, pois aqui não tem sentido falarmos simplesmente em derivada, apenas em derivadas parciais.

53 UNIDADE 1 TÓPICO 4 45 z = f (x,y) Existem outras notações para representar as derivadas parciais. Se, escrevemos: f x = f x (x,y) = z x = D x f f y = f y (x,y) = z y = D y f ATENÇÃO! Preste muita atenção na simbologia de derivada. Quando estamos derivando uma função de uma variável, por exemplo, y = f (x), então a derivada é identificada por dy. Mas quando estamos dx derivando uma função de duas ou mais variáveis, por exemplo, z = f (x,y), então as derivadas são identificadas por z x e z y. Exemplo 2 Aplicar a definição para achar f x e f y para f (x,y) = 3x2 2xy. f x = lim h 0 = lim h 0 = lim h 0 = lim h 0 f (x + h,y) f (x,y) h 3 (x + h) 2 2 (x + h)y 3x 2 + 2xy h 3x 2 + 6xh + 3h 2 2xy 2hy 3x 2 + 2xy h 6xh + 3h 2 2hy h = lim h 0 h (6x + 3h 2y) h = lim 6x + 3h 2y h 0 = 6x 2y.

54 46 TÓPICO 4 UNIDADE 1 f y = lim h 0 = lim h 0 = lim h 0 = lim h 0 f (x,y + h f (x,y) h 3x 2 2x (y + h) 3x 2 + 2xy h 3x 2 2xy 2xh 3x 2 + 2xy h 2xh h = lim ( 2x) h 0 = 2x. Logo, obtemos f x = 6x 2y e f y = 2x. Exemplo 3 Encontre as derivadas parciais de f (x,y) = 5x 3 4xy + 3e xy³ 5. Para encontrar a derivada parcial de f em relação a x, devemos olhar para a variável y da função f como uma constante, e derivamos apenas a variável x, ou seja, aplicaremos as regras de derivação somente na variável x. f x = 5 3x2 4 1 y + 3e xy³ 1 y 3 0 = 15x 2 4y + 3y 3 e xy³ De forma análoga, para derivar parcialmente f em relação a y, devemos olhar para a variável x da função f como uma constante, e derivamos apenas a variável y, ou seja, aplicaremos as regras de derivação somente na variável y. f y = 0 4x 1 + 3exy³ x 3y 2 0 = 4x + 9xy 2 e xy³ Exemplo 4 Encontre as derivadas parciais de f (x,y) = 3x 2 = xy + y. Derivando f em relação a x, (lembre-se de considerar o y como constante) f x = 6x y

55 UNIDADE 1 TÓPICO 4 47 f y = x + 1 E derivando f em relação a y, (agora considere o x como constante) Exemplo 5 Encontre as derivadas parciais de f (x,y) = e x y e y x. f x = ex y 1 e y x ( 1) = e x y + e y x f y = ex y ( 1) e y x 1 = e x y e y x Exemplo 6 Calcule as derivadas parciais de f (x,y) = (x + y) sen (x y). Observe que a função f é um produto de outras duas funções u e v. Assim, lembramos que (u v) = u v + u v f x = 1.sen(x y) + (x + y) 1 cos (x y) = sen (x y) + (x + y) cos (x y) f y = 1 sen (x y) + (x + y) ( 1) cos (x y) = sen (x y) (x + y) cos (x y) Exemplo 7 Calcule as derivadas parciais de f (x,y) = e xy + In (x 2 + y). f x = y exy 2x x 2 + y f y = x 1 exy x 2 + y Utilizamos a regra (In u) = u u

56 48 TÓPICO 4 UNIDADE 1 Até aqui, estivemos preocupados com o cálculo da derivada parcial de uma função em relação a uma de suas variáveis. Isso quer dizer que calculamos a derivada ao longo de uma curva sem ponto fixado. Passemos, agora, a ver como se calcula a derivada fixando um ponto da superfície. Se (x 0, y 0 ) for um ponto do domínio de uma função f (x,y), o plano vertical y = y 0 cortará a superfície z = f (x,y) na curva z = f (x, y 0 ). (Figura 26) Definição A derivada parcial da função f em relação à variável x é representada por f x e é definida num ponto P (x, y ) do domínio por: 0 0 f x (x 0, y 0 ) = lim Δ x 0 f (x 0 + Δ x, y 0 ) f (x 0, y 0 ), se este limite existir. Δ x FIGURA 26 FUNÇÃO f (x,y) FONTE: Disponível em: <http://www.matematiques.com.br/download. php?tabela=documentos&id=646>. Acesso em: 7 jul Se (x 0, y 0 ) for um ponto do domínio de uma função f (x,y), o plano vertical x = x 0 cortará a superfície z = f (x,y) na curva z = f (x,y 0 ). (Figura 27) Definição A derivada parcial da função f em relação à variável y é representada por f y e é definida num ponto P (x, y ) do domínio por: 0 0 f y (x 0, y 0 ) = lim Δ x 0 f (x 0, y 0 + Δ x ) f (x 0, y 0 ), se este limite existir. Δ x

57 UNIDADE 1 TÓPICO 4 49 FIGURA 27 FUNÇÃO f (x,y) FONTE: Disponível em: <http://www.matematiques.com.br/download. php?tabela=documentos&id=646>. Acesso em: 7 jul Exemplo 8 Sendo f (x,y) = 2x 2 y 4y 3, calcule f x, f y, f (3,1), f x y (3,1). f x = 2 2x y 0 f x = 4xy f (3,1) = = 12 x f y = 2x y 2 f y = 2x 2 12y 2 f y (3,1) = f (3,1) = = = 6 y Exemplo 9 { 5xy, se (x,y) (0,0) Sendo f (x,y) = 2x + 3y, calcule f 0, se (x,y) = (0,0) x e f. y

58 ( 50 TÓPICO 4 UNIDADE 1 Nos pontos (x,y) (0,0), podemos aplicar as regras de derivação. Assim, temos f x = = = 5y (2x + 3y) 5xy 2 (2x + 3y) 2 10xy + 15y 2 10xy (2x + 3y) 2 15y 2 (2x + 3y) 2 f y = = 5x (2x + 3y) 5xy 3 (2x + 3y) 2 10x 2 (2x + 3y) 2 Para calcularmos as derivadas de f na origem, usamos a definição de derivada parcial, ( f x (0,0) = lim h 0 ( f (0 + h, 0 ) f (0,0) h ( 5h 0 = lim h 0 2h h 0 ( = 0. f y (0,0) = lim h 0 ( f (0,0 + h) f (0,0) h = lim h 0 ( 5 0 h 0 3h h ( = 0. Assim, obtemos as derivadas parciais da função f com relação a x e com relação a y em todos os pontos (x,y) do domínio. 3.2 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA A interpretação das derivadas parciais é análoga à interpretação da derivada simples. Sabemos que, para a função y = f (x), a derivada f (x 0 ) pode ser interpretada ou como a taxa de variação de y em relação a x no ponto x 0 ou como a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x 0.

59 UNIDADE 1 TÓPICO 4 51 Para interpretar as derivadas parciais, consideramos a função z = f (x,y) e as suas derivadas parciais no ponto (x 0, y 0, z 0 ). Vamos interpretar f x (x, y ): então suponha que C é a interseção da superfície z = f (x,y) com o plano y = y 0 (o que equivale a considerar y como constante). Geometricamente, f x (x, y ) pode ser interpretada como a inclinação da reta tangente 0 0 à curva C 1 no ponto (x 0, y 0 ) que se denota por f x (x, y ) = tg α. 0 0 Da mesma forma, supondo C 2 a interseção da superfície z = f (x,y) com o plano x = x 0 (o que equivale a considerar x como constante), interpretamos f y (x 0, y 0 ) geometricamente como a inclinação da reta tangente à curva C 2 no ponto (x 0, y 0 ) que se denota por f y (x 0, y 0 ) = tg b. Veja na Figura 28 a situação descrita anteriormente. A derivada parcial f x (x, y ) também pode ser interpretada como a taxa de variação 0 0 de z em relação a x ao longo da curva C 1. E a derivada parcial f y (x, y ) também pode ser 0 0 interpretada como a taxa de variação de z em relação a y ao longo da curva C 2. Assim, estes valores representam a velocidade com que z cresce (ou decresce) quando apenas uma variável está sendo alterada. FIGURA 28 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS FONTE: Disponível em: <http://www.matematiques.com.br/download. php?tabela=documentos&id=646>. Acesso em: 7 jul Exemplo 10 A função T (x,y) = 60 2x 2 3y 2 representa a temperatura em qualquer ponto de uma chapa. Encontre a razão de variação da temperatura em relação à distância percorrida ao longo da chapa da direção dos eixos positivos x e y, no ponto (1, 2). Considere a temperatura medida em graus Celsius, e a distância em cm. T T = 0 2 2x = 4x x = (1, 2) = 4 1 = 4 C / cm x

60 52 TÓPICO 4 UNIDADE 1 Assim, podemos interpretar o valor 4 C / cm obtido na derivada em x da seguinte forma: a temperatura está diminuindo 4 C à medida que x aumenta uma unidade. T T = 0 2 3y = 6y y = (1, 2) = 6 2 = 12 C / cm y Assim, o valor 12 C / cm significa que a temperatura diminui 12 C à medida que y aumenta uma unidade. Exemplo 11 Suponha que D = x 2 + y 2 é o comprimento da diagonal de um retângulo, cujos lados têm comprimentos x e y que são permitidos variar. Determine uma fórmula para a taxa de variação de D em relação a x, se x varia, com y considerado constante, e utilize esta fórmula para determinar a taxa de variação de D em relação a x no ponto x = 3 e y = 4. A fórmula para a taxa de variação de D em relação a x é D = x 2 + y 2 D = (x 2 + y 2 ) ½ D x = 1 2 (x 2 + y 2 ) -½ (2x) D x = x x 2 + y 2 A taxa de variação instantânea de D em relação a x, no ponto (3, 4), é D x (3, 4) = 3 = Assim, D aumenta a uma taxa de 3 5 no ponto (3, 4). de unidade para cada unidade de aumento de x 4 GENERALIZAÇÃO Na seção anterior estudamos as derivadas parciais de funções de duas variáveis. Agora vamos generalizar este conceito para as derivadas parciais de funções de n variáveis reais. Definição Seja f : A R n R uma função de n variáveis, e seja x = (x 1, x 2,..., x n ) A. Definimos a derivada parcial de f no ponto x em relação a x i por ( f (x) = lim f (x,..., x + h,..., x,..., x ) 1 i i n, quando esse limite existir. x h 0 i h (

61 UNIDADE 1 TÓPICO 4 53 Definição Seja f : A R n R uma função de n variáveis e seja B A o conjunto formado por todos os pontos x tais que f (x) existe. Definimos a função derivada parcial de x i 1ª ordem de f em relação a x i como a função que a cada x B associa o número f (x) dado x i por f (x) = lim f (x,..., x + h,..., x ) f (x,..., x,..., x ) 1 i n 1 i n. x h 0 i h ( ( Exemplo 12 Calcule as derivadas de primeira ordem da função f (x, y, z) = 1 + xy 2 2z 3. Exemplo 13 Ao derivar f em relação a x, lembre-se de considerar y e z como constantes f x = y 2 Derivando f em relação a y, (agora considere x e z como constantes) f y = 2xy E derivando f em relação a z, (considere x e y como constantes) f z = 6z2 Calcule as derivadas de primeira ordem da função f (x, y, z) = yz In (xy). Observe primeiramente que a função é dada por um único termo e teremos que usar as regras do produto e do logaritmo natural. Derivando f em relação a x, (considere y e z como constantes). Como a variável x aparece apenas no logaritmando, usaremos a regra do logaritmo natural. f x = yz y xy = yz x Derivando f em relação a y, (considere x e z como constantes). Como a variável y aparece no fator que multiplica o logaritmo e também no logaritmando, então aplicaremos a regra do produto e junto à regra do logaritmo natural. f y = z In (xy) + yz x xy = z In (xy) + z E derivando f em relação a z, (considere x e y como constantes). A variável z aparece apenas no fator que multiplica o logaritmo, então aplicaremos a regra da derivada simples em z. f z = y In (xy).

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