TRABALHO ELABORADO PELA PROFESSORA MÁRCIA OLIVEIRA DA SILVA GONÇALVES

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1 TRABALHO ELABORADO PELA PROFESSORA MÁRCIA OLIVEIRA DA SILVA GONÇALVES RESGATE DE CONTEÚDOS DO 6º AO 9º ANOS DO ENSINO FUNDAMENTAL E CONTEÚDOS DO º ANO DO ENSINO MÉDIO

2 ÍNDICE CONJUNTOS OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS PORCENTAGEM OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS EQUAÇÕES DO O GRAU RETA NUMÉRICA E INTERVALO FUNÇÃO DO o GRAU FUNÇÃO DO o GRAU

3 Conjuntos Observações Importantes: A = {a, b, c} P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b, c}, {a, b, c} } ) Cardinal de um conjunto A: n(a) É o número de elementos que o conjunto possui. Se A = {a, b, c}, então n(a) = Se B = {números menores que 0}, então n(b) = 0 5) Se A = B então A B e B A. 6) A A, A para todo A 7) A B é quase sempre diferente de B A. ) e só relacionam elementos com conjuntos {,, 7} está correto {} {,, 7} não está correto {} A = {,, {}, 7} está correto pois nesse caso o conjunto {} é um elemento do conjunto A ) Os símbolos,, e só relacionam conjunto com conjunto. {} {{},, } está incorreto pois neste caso {} é um elemento Eercícios ) Considerando os números 0, 7, 5, 48, 90, 00, 40, 90, 00 e 000, escreva: a) o conjunto A desses números que são pares. b) o conjunto B desses números que são ímpares. c) o conjunto C desses números que estão entre 0 e 00. d) o conjunto D desses números que são maiores que 000. {{}} {{},,,4} está correto {{},, } {{},,,} é correto 4) Se um conjunto é composto por n n elementos ele possui subconjuntos. Eemplo: Num conjunto de elementos, o numero de subconjuntos é 8. ) Observe o diagrama seguinte e, pela nomeação dos seus elementos, determine: a) o conjunto A. b) o conjunto B. c) o conjunto C.

4 ) Use um diagrama para representar o conjunto dos algarismos que formam o número de telefone ) Escreva, pela nomeação dos seus elementos, o conjunto A formado pelos algarismos da placa de automóvel BMF Esse conjunto tem quantos elementos? 8) Associe V ou F a cada uma das sentenças: a) {0,,,,4 } ( ) b) 0 ( ) c) 5 {0,,,,4 } ( ) d) {{ }} {} ( ) e) {0,,{},,4} ( ) f) 0 {0,,,,4 } ( ) 5) Que nome damos aos conjuntos que possui um só elemento? 6) Observando o diagrama, escreva pela nomeação de seus elementos: 9) Dados A {,,,4 } e B {,4 }, a) escreva com símbolos da teoria dos conjuntos as seguintes sentenças: º) é elemento de A º) não está em B º) B é parte de A a) o conjunto A. b) o conjunto B. c) o conjunto C. d) o conjunto D, formado pelos elementos que pertencem a A e a B, ao mesmo tempo. e) o conjunto E, formado pelos elementos que pertencem a B e a C, ao mesmo tempo. 7) Entre os conjuntos que você escreveu no eercício 6, há algum que seja conjunto unitário? 4º) B é igual a A 5º) 4 pertence a B b) classifique as sentenças anteriores em falsa ou verdadeira. 0) Indique se A B ou A B nos seguintes casos: a) A {, } e B {0,,,,4 } b) A {5,0} e B {0,0,0,0} c) A {6,0,4} e B = conjunto dos números menores que 0d) A {,7,,9} e B = conjunto dos 4

5 números ímpares compreendidos entre 0 e 40 ) Dados A {,, }, B {0,,,,4 }, C {0,,4,6} e D {0,,,,4,5,6,7 }, associe V ou F a cada uma das afirmações: a) A B b) B D c) B C d) A D e) A C f) C D ) Entre as sentenças { 0} {0,0,0,0} e { 0} {0,0,0,0}, qual é a verdadeira? ) Sendo A {, }, B {, }, C {,,4} e D {,,,4 }, classifique em V ou F cada sentença abaio e justifique. a) A D d) D B b) A B e) C = D c) B C f) A C 4) Quais das afirmações abaio são verdadeiras? a) { a, a, a, b, b} { a, b} b) {,} {,,4,5,6,7 } c) { } {,,4,5,6,7 } d) { } {{},,4,5,6,7 } 5) Diga se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentenças abaio: a) 0 {0,,,,4 } b) a { a,{ a}} c) { a} { a, b} d) { a} { a,{ a}} e) {0} f) {,{ a}} g) 0 h) {,{ a}} i) {a } j) { a, b} { a, b, c, d } 6) Faça um diagrama de Venn que simbolize a situação seguinte: A, B, C e D são conjuntos não vazios, D C B A. 7) Construa o conjunto das partes do conjunto A { a, b, c, d }. Qual a cardinalidade desse conjunto? Qual é a sua relação com a quantidade de elementos de A? 5

6 8) Escreva um subconjunto de A {,8,,8,} que possua três elementos. diagrama adequado para fazer a representação desses conjuntos? 9) Dados os conjuntos A { a, b, c}, B { c, d } e C { c, e}, determine A B, A C, B C e A B C. 4) Associe os conjuntos dados com o diagrama adequado para a sua representação: 0) Dados os conjuntos A { a, b, c, d }, B { b, c, d, e} e C { c, e, f }, descreva A B, A C, B C e A B C. ) Determine A B em cada caso: a) A {5,8,} e B {0,,} b) A {,7,} e B {4,8,} c) A {0,5,0} e B {0,5,0,0,40} d) A {,,5,7,9,,...} e B {,,5,7 } 5) Classifique em V ou F, admitindo que A, B e C são conjuntos quaisquer. a) ( A B ) b) ( A B ) ( A B ) c) ( A B ) A ) Dados os conjuntos A {,,5,7 } e B {0,,4,6,8}, qual é o diagrama que devo utilizar para fazer a representação desses conjuntos? d) B ( A B ) e) A ( A B ) f) ( A B ) ( A B C ) ) São dados os conjuntos A {5,0,5} e B {0,0,0}. Qual é o 6) Dados A {, y,5,6 } e B {4,5,6,7} e sabendo que A B {,4,5,6,7}, determine os valores de e y. 6

7 7) São dados os conjuntos A {0, } e B {0,,4,6,8}. Assinale o diagrama que representa A B. ) Observando o diagrama seguinte, determine: a) A B b) A C 8) Dados A {0,8 }, B {4,8,} e C {8,,6}, determine o conjunto A B C. c) B C ) Dados A {,4, } e B { 5,,} e sabendo que A B {9}, qual é o número? 9) Sabe-se que um conjunto A tem 4 elementos e um conjunto B tem 5 elementos. Nessas condições, responda: a) Quantos elementos, no mínimo, pode ter o conjunto A B? b) Quantos elementos, no máimo, pode ter o conjunto A B? ) Sabe-se que A B. Quantos elementos comuns há nos conjuntos A e B? 4) Dados os conjuntos A {,, }, B {,4} e C {,,4 }, determine o conjunto X tal que X B A C e X B. 0) Determine A B quando: a) A {0,0,0,40} e A {0,5,0,5,0} 5) Assinale no diagrama abaio, um de cada vez, os seguintes conjuntos: a) A B C b) A {,,4,8 } e A {,,5,7,9,} c) A {0,7,4} e A {0,,7,0,,4} b) A B C c) A B C A C B d) A {9,6,5} e A {,4,5,6 } d) A B C 7

8 6) Dados os conjuntos A e B, determine os conjuntos A e B, quando: a) A {,4,8,6,} e B {4,8,,6,0,4} b) A {0,,,,4,5,6,7 } e B {,,5,7,9 } c) A {5,0,5} e B {0,5,0,5,0} d) A {,0,00,000} e B {0,00,000} 40) Um conjunto A tem elementos e um conjunto B tem 7 elementos. Nessas condições, quantos elementos, no máimo, pode ter o conjunto A B? 4) Dados os conjuntos A {,,5,7 }, B e C {0,5 }, determine: a) A B C b) A B C 7) Dados os conjuntos A {0,0,40} e B {5,5,5,5}, assinale o diagrama que representa o conjunto A B : 4) Sejam os conjuntos A { a, b, c, d }, B { c, d, e, f, g} e C { b, d, e, g}. Determine: a) A - B d) A B B b) B - A e) A B C 8) São dados os conjuntos A {,4,6,8} e B {4,8,6,}. Represente esses dois conjuntos numa só figura e pinte a região que representa A B. 9) Dados os conjuntos A {5,0,5}, B {0,5,0} e C {5,0,5,0}, determine: a) A B C b) A B C c) C - B f) A B A C 4) Dados os conjuntos A {,,4,5,6,7}, B {,4,6,8,0} e A {,7,}, determine os conjuntos: a) A B C b) A B C c) A B C d) A B C 8

9 44) Numa turma de 5 alunos, 7 gostam de futebol, 6 de basquete e gostam dos dois esportes. Quantos não gostam nem de futebol e nem de basquete? 45) De um total de 800 pessoas eaminadas por um grupo de médicos pesquisadores, 500 tinham sintomas de uma doença A, 00 tinham sintomas de outra doença B e 0 tinham sintomas das duas doenças. Quantos não tinham sintomas nem da doença A nem da doença B? 46) Em uma escola que tem 45 alunos, estudam Inglês, 6 estudam Francês e 5 estudam ambas as línguas. Quantos alunos estudam Inglês ou Francês? Quantos alunos não estudam nenhuma das duas? 47) Um médico me disse: de 00 crianças que eu eamino 65 têm gripe e 45 têm gripe e outra doença. Quantas dessas 00 crianças eaminadas pelo médico têm outras doenças? 48) Dos meus 6 colegas de turma, 8 fizeram eames para a Escola Técnica e para o Colégio Militar. Só um deles não fez nenhum eame. Quantos fizeram eames só para o Colégio Militar? 49) Feito eame de sangue em um grupo de 00 pessoas, constatou-se o seguinte: 80 delas têm sangue com fator Rh negativo, 65 têm sangue tipo O e 5 têm sangue O com fator Rh negativo. Qual o número de pessoas com sangue do tipo diferente de O e com Rh positivo? 50) Dos 40 alunos de uma turma, 8 forma reprovados em Matemática, 6 em Português e 5 em Ciências. 5 foram reprovados em Matemática e Português, em Matemática e Ciências e em Português e Ciências. Sabendo que dois alunos foram reprovados nas três matérias, diga quantos foram reprovados só em Matemática. 5) Uma pesquisa entre telespectadores mostrou que, em cada 00 pessoas, 60 assistem a novela A, 50 assistem a novela B, 50 assistem a novela C, 0 assistem as novelas A e B, 0 as novelas B e C, 0 as novelas A e C e 0 as três novelas. a) Quantos não assistem a essas novelas? b) Quantos assistem pelo menos uma dessas novelas? c) Quantos assistem a somente uma das novelas? 9

10 Operações com Números Inteiros Adição e Subtração Sinais iguais : Soma-se e conserva-se o mesmo sinal , devo 5 reais e só paguei dez, fico devendo , tenho uma dívida de 5 reais e faço mais uma dívida de 8 reais, devo reais,ou seja -. Sinais diferentes : Diminui-se e dá-se o sinal do maior valor absoluto. Eemplos: a) (+) + (+7) = = +0 (tiramos os parênteses e conservamos os sinais dos números) Multiplicação e Divisão Aplica-se a regra dos sinais : (+). (+) = + (-). (+) = - (+). (-) = - (-). (-) = + b) (-9) + (-8) = = -7 (tiramos os parênteses e conservamos os sinais dos números) c) (+) + (-0) = = + (tiramos os parênteses e conservamos os sinais dos números) d) (+5) - (+5) = = - 0 (tiramos os parênteses e trocamos o sinal do número que estava depois da subtração) e) (-8) - (-) = = -6 (tiramos os parênteses e trocamos o sisal do números que estava depois da subtração) Lembrete: Para facilitar seu entendimento, efetue estas operações pensando em débito número negativo) e crédito (número positivo) : + + 7, tenho reais e ganhei 7 fico com 0. Eemplos : a) (+5). (+8) = + 40 b) (- 8). (- 7) = + 56 c) (- 4). (+ 7) = - 8 d) (+ 6). (- 7) = - 4 e) (- 8) : (- ) = + 4 f) (+ 8) : (-6) = - g) ( + 48 ) : ( + ) = + 4 Epressões Numéricas Observação: Pela ordem, resolver: o ( ) o [ ] o { } Eercício resolvido I : -.{4:(-7) -.[4 -( ):]}= -.{- -.[4 - (-4) : ]}= -.{- -.[4 +]}= -.{- -.6 }= -.{-0}= 60 0

11 Eercício resolvido II : {- 5 + [ (-4+9) - ]} = {- 5 + [ (+5) - ]} = {- 5 + [ ]} = {- 5 + [+4]} = {-5+4}= - Potenciação a n, onde: a = Base; n = Epoente; = Potência Casos Especiais: X X n n 0 0 X 0 Regras:. Epoente par: Resultado positivo Potências de Base 0 n a) n zeros n b) 0 0, n casas n zeros Radiciação de Números Inteiros a) 5 5 (lembre-se que 5. 5 = 5) b) 49 7 (lembre-se que 7. 7 = 49) c) 6 (lembre-se que não eiste raiz quadrada de número inteiro negativo) d) 8 9 (observe que neste caso o menos está fora da raiz, sendo assim eiste raiz) e) 8 (lembre-se que (-). (-). (-) = -8, neste caso é raiz cúbica e não raiz quadrada) f) 8 (lembre-se.. = 8). Epoente ímpar: Repete-se o sinal da base. Propriedades: m. a. a. a n a mn m n mn a a. a n a m m. n 4. a. b a. b m n m n 5. a b m m 6. n n a b m 7. a m a Pense um pouco!. Quantos números inteiros tem no intervalos real 0?. Quantos números racionais tem no intervalos anterior? Números opostos ou simétricos

12 Observe a distância do - até o zero é a mesma do que + até zero. Estes números são chamados opostos ou simétricos. Logo: - é oposto ou simétrico do +; +0 é oposto ou simétrico de -0; -00 é oposto ou simétrico de ) Responda : a) Qual a o sucessor de +9? b) Qual é o sucessor de -5? c) Qual a o sucessor de 0? d) Qual é o antecessor de +9? e) Qual é o antecessor de -5? f) Qual é o antecessor de 0? EXERCÍCIOS ) Represente as seguintes situações com números inteiros relativos: a) 8 o C acima de zero b) o C abaio de zero c) 5 o C abaio de zero d) 8 o C acima de zero ) Represente com números inteiros as seguintes situações econômicas: a) lucro de R$ 00,00 b) prejuízo de R$ 600,00 c) crédito de R$ 0,00 d) deposito de R$ 48,00 e) débito de R$,00 f) retirada de R$ 47,00 g) ganho de R$ 5.000,00 h) perda de R$ 7.900,00 i) nem ganho nem perda j) crédito de R$90,00 ) Silvia emitiu um cheque de R$ 5,000,00. Qual o saldo de Silvia no banco, sabendo que, antes de passar o cheque, possuía R$.600,00? 4) Represente na reta numérica dos números inteiros os números : -5, +, -, -9, -, -6, + 6, - 8, ) O que é melhor? a) Ter ou dever 4? b) Dever 5 ou dever 0? c) Ter 6 ou no ter nada? d) Dever ou não ter nada? 7) Qual é o maior número? a) + ou -0? b) -0 ou -0? c) -6 ou 0? d) +5 ou -0? e) -80 ou + 80? f) -50 ou -5? 8) Escreva os números em ordem crescente: a) -80, -, -6, +, -, -7, -9, -4, +6 b) -, +6, 0, -95, -84, -9, -750, + 68, +04 9) Escreva os números em ordem decrescente: a) +4, -, -7, +6, 0, +, +8, -, -5, +7, + b) -, +6, 0, -95, -84, -9, -750, +68, +04 0) Escreva o oposto ou simétrico de: a) + 5 b) 0 c) -4

13 d) e) - 4 f) + ) Descreva e represente o oposto em cada situação: a) 7 pontos ganhos. b) o C abaio de zero. c) credito de R$ 00,00 d) prejuízo de R$ 75,00 a) (+4) + (+) b) (+ 9) + (+66) c) (+)+ (+8) d) (+ 00) + (+ 400) e) (+64) + (+ 7) f) (-5) + (-) g) (- 8) +(-7) h) (-7) + (-6) i ) (- 4) + (-69) ) Indique com símbolos matemáticos: a) o valor absoluto ou módulo de cinco positivo. b) o valor absoluto ou módulo de doze negativo. c) o valor absoluto ou módulo de vinte e sete negativo. ) Complete a sentença por palavras convenientes: a) Os números -4 e +4 possuem mesmo, que é 4. b) Os números +6 e -6 possuem o mesmo, que é 6. 4) Escreva o símbolos que indica cada conjunto: a) conjunto dos números inteiros nãonulos. b) conjunto dos números inteiros negativos. c) conjunto dos números inteiros positivos. d) conjunto dos números inteiros. 5) Calcule as somas dos seguintes números inteiros: 6) Efetue as adições: a) (+ ) + (-5)+ (-4) +(-6) + (+) b) (+4) + (-) + (-7) + (+4) + (- ) c) (-) + (-) + (+) + (-6) + (-8) + (-4) d) (+ 0) + (-5) + (-0) + (+5) + (+0) + (-5) 7) Resolva problemas : a) Eu tenho R$.000,00 em um banco e retirei R$ 875,00. Meu saldo fica positivo ou negativo? Em quanto? b) Helena tem R$ 4.80,00 num banco e retira R$ 5.00,00. Seu saldo fica positivo ou negativo quanto? c) Um carro sai de São Paulo e percorre 45 km em direção a Campinas. Depois percorre 8 km em sentido contrário. A que distância está de São Paulo? d) Carolina tem num banco a quantia de R$ 0.000,00. No período da manhã, emite um cheque de R$ 7.00,00 e depois um outro de R$ ,00. À tarde faz um depósito de R$ 8.600,00. Determine o saldo no final desse dia. 8) Efetue as subtrações: a) 7 - (-) - b) 5- (-6) - (-8)

14 c) (+) - (-) d) 0 - (-5) (-) e) 8 - (-8) (-7) f) (-5) - - (-0) g) (-8) + (-) h) 0 - (-) - (-8) + (-9) ) Calcule o valor das seguintes epressões: a) 0 - {- + [ + (+4) - 8]} b) 8 -[ (- + )] c) - + [ - (+4 - ) + ] d) 7 - [-5 - (-5) +] + e) - + [ - (+4 + 5) - (+)] - f) - [ ( )] g) 0 - { - + [ + (+4) - 8]} h ) - { [ ( ) ] } i) - { [ 8 -(--) - (-5)]} j) 7 - { [ ( +) - (--)]} k) - {- - [- (+) - (-5) + (8-7)]} - (+5) l ) {- 7 - [ ( ) ]} m ) { + [ - - ( )]} } n) {[(-60-0) + + 9] +0} - 0 o) 0 - { - + [ + (+9-5)-] + 5-9} 0) Assinale a alternativa correta: a) Durante uma eperiência, a temperatura foi medida três vezes. A segunda leitura foi 0 graus menor que a primeira, e a terceira foi 5 graus menor do que a segunda. Se a primeira leitura foi 5 graus, qual foi a última? a) 0 graus b) 0 graus c) - 0 graus d) -0 graus ) O valor da epressão y z, para 0, y 0 e z 40 é: a) 50 b) 90 c) - 50 d) - 90 ) Efetue as operações indicadas: a) = b) 55-8= c) 8-55 = d) + (- 7) = e) - (- 7) = f ) = g ) ( - 6 ) = h ) ( - 6 ) = i). ( - 7 ) = j) ( - 8 ). 9 = l) (7 - ) : 4 = m ) ( - 8 ). ( - 4 ) = ) Efetue as operações indicadas. Lembre que, se várias operações aparecem em uma mesma epressões, as multiplicações e divisões feitas primeiro e depois as somas e subtrações. a) 4 + (- ) = b) : 6 = c) - - ( -0 )= 4) Escreve as temperaturas seguintes por ordem, da mais baia para a mais alta : 0 o C ; - 0 o C ; - 5 o C ; 0 o C ; + 0 o C. 5) Ao meio-dia,a temperatura era de 5 o C, mas às 8 horas baiou para o C e às horas desceu para - o C. Qual foi a decida de temperatura entre: 4

15 a) o meio-dia e às 8 horas? b) às 8 horas e às horas? 6) Escreva na ordem decrescente as temperaturas: - o C ;- 0 o C ; o C ; 0 o C. 7) Calcule os produtos: a) (+4). ( +) d) (-). (-6) b) (+ ). ( +8) e) ( -00). ( - 400) c) (+64). (- 7) f) (-5). ( - ) 8) Calcule as divisões dos seguintes números inteiros: a) (+4) : ( +) d) (+ 9) : (- ) b) (+ 6) : ( +8) e) ( +400) : ( - 4 ) c) (+64) : ( +8) f) (-5) : ( - ) g) (- 8). ( -) h) (-5) : (- ) i ) (- 4) : (-7 ) j) (- 8) : (+ ) h ) ( - 7 ) : ( - 9 ) i) (- 4) : (- ) 0) Efetue, observando as definições e propriedades: a) ( ) b) 4 ( ) c) 0 d) 0,5 e) f) g) h) i) j) l) m) 5 n) o) 8 p) 4 5 ) O valor de a) b) 04 8 c ) d ) e) n.d.a. é: 9) O valor de é: a) - b) 4 c) d ) 0 e) n.d.a ) Resolvendo encontramos: a ) 5.0 b) 00 c) 0 7 d) 0 e) n.d.a. 4 5

16 ) O valor de a) 0 9 b) 4 c) d) e) n.d.a. 6 4) O valor da epressão ( ) ( ).( ) ( 5 a) 6 5 b) 6 c) 5 d) 5 e) ) é: é: 5) O valor da epressão 6 4 é: a) b) 4 c) 6 d) e) 4 6) O valor da epressão 0 9 é: a) 4 b) 8 c) d) 0 e) 5 7) Resolva as epressões numéricas: a) -4 + {- [ 4(-) + (-50+9)]}= b) 4 + {5- [4 + (- 7+8)] - 0}= c) [-0. (4-9)] : (-5)= d) 6+8 : (-9)= e) 5 +. = f) = g ) 40 - [ 5 + ( - 7 )] = h) 50 -{ 5 + ( 4 : (0-) + 5.]} = i) 5 9 ( 0) : ( ) = 8) O valor da epressão ( 4) o ( 4) é: a) 8 b) -8 c) 5 d) -5 e) 0 9) O valor da epressão ( 0 0 ) ( 9) ( ) é: a) -7 b) 7 c) 0 d) 8 e) 6 40) O valor da epressão ( 7) ( ).( 4) ( 5) é: a) 7 b) 7 c) 4 d) 47 e) 7 6

17 4) O valor da epressão numérica 0 4 ( 5).( ) ( ) é: a) 7 b) 8 c) 5 d) -7 e) -5 7

18 Porcentagem É freqüente o uso de epressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 00 unidades. Alguns eemplos: a) A gasolina teve um aumento de 5%. Significa que em cada R$00 houve um acréscimo de R$5,00 b) O cliente recebeu um desconto de 0% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$00 foi dado um desconto de R$0,00 c) Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. Significa que em cada 00 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. Razão centesimal Toda a razão que tem para conseqüente o número 00 denomina-se razão centesimal. Alguns eemplos: 7 6, ,, Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: 6 00 cento) ,6 6% (lê-se: dezesseis por,5 5% (lê-se: cento e vinte e cinco por cento) As epressões 7%, 6% e 5% são chamadas taas centesimais ou taas percentuais. Considere o seguinte problema: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taa percentual (50%) sobre o total de cavalos % de cavalos 00 Logo, ele vendeu 5 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taa percentual a um determinado valor. Eemplos: a) Calcular 0% de ,07 7% (lê-se: sete por cento) 0 0% de

19 b) Calcular 5% de 00 kg. 5 5% de motoristas participam 80 candidatos; sabe-se que a taa percentual de renovação foi de 5%. Calcule o número de aprovados. Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada. EXERCÍCIOS ) Uma compra foi efetuada no valor de R$.500,00. Obteve-se um desconto de 5%. Qual foi o valor pago em reais? ) Um carro, que custava R$.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 0,% sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar? 6) Uma balsa é vendida por R$,00. Se seu preço fosse aumentado em 0%, quanto passaria a custar? 7) Certa mercadoria, que custava R$4,00, passou a custar R$0,00. Calcule a taa percentual do aumento. 8) Qual o preço de uma mercadoria que custa R$50,00 após dois aumentos sucessivos de 5% e 0%, respectivamente? ) Uma impressora a laser custou R$.000,00 para uma gráfica. No período de um mês, ela apresentou um lucro de R$ 00,00. De quanto porcento foi o lucro sabre o preço de compra? 4) Um determinado produto teve um acréscimo de 0%, sobre o seu preço de tabela. Após certo período, teve um decréscimo também de 5% sobre o preço que foi aumentado, obtendo assim o preço atual. Qual o percentual que o preço atual corresponde em relação ao primeiro valor (preço de tabela)? 5) De um eames para habilitação de 9) Qual o preço da mercadoria que custa R$00,00 após dois descontos sucessivos, de 0 % e de 0%. 0) Um comerciante aumenta o preço original P de certa mercadoria em 80%. Em seguida anuncia esse mercadoria com desconto de 0%, resultando um preço final de R$ 7,00. Calcule o valor do preço original P. ) Um investidor comprou um lote de ações por R$.500,00 e as revendeu um mês depois, por R$.00,00. Qual foi o percentual de lucro por ele obtido? 9

20 ) Em 0/0/06, um artigo que custava R$ 50,00 teve seu preço diminuído em p% do seu valor. Em 0/04/06, o novo preço foi nova novamente diminuído em p% do seu valor, passando a custar R$,60. O preço desse artigo em /0/06 era : a) 5,80 b) 8,00 c) 8,60 d) 0,00 e) 0,80 d) % de 500 e) 4 % de 700 f ) 9% de 9400 g) 8% de 500 h) 67% de ) Na minha cidade, foi feita uma pesquisa sobre o meio de transporte utilizado pelos alunos para chegarem à escola. Responderam à esse pergunta 000 alunos. Os resultados, em forma de percentagem, foram colocados na tabela abaio: ) Em uma corrida de cavalos, pagou aos seus apostadores R$ 9,00 por cada R$,00 apostado. O rendimento de alguém que apostou no cavalo vencedor foi de : a) 800 % b) 90 % c) 80 % d) 900 % e) 9 % 4) O salário de Antônio é 90% do de Pedro. A diferença entre os salários é de R$ 500,00. O salário de Antônio é: a) R$ 5500,00 b) R$ 4500,00 c) R$ 4000,00 d) R$ 5000,00 e) R$ 500,00 5) Calcule: a) 5% de 00 b) 80% de 00 c) 9% de Meio de transporte Porcentagem Ônibus 8% Automóvel 7% Bicicleta 0% A pé 5% Quantos dos entrevistados responderam: a) de ônibus? b) de automóvel? c) de bicicleta? d) a pé? 7) Uma liga de latão é formada com 65% de cobre e o restante de zinco. Que quantidade de cobre tem em uma peça de latão de 0 kg? 8) Uma conta no valor de R$75,00 foi pago com atraso e sofreu multa de 0%. Qual o valor da multa? 9) O salário de uma pessoa era de 0

21 R$400,00, até ser promovida e receber um aumento de 0 %. Qual o seu novo salário? 0) O candidato vencedor de uma eleição teve 5% dos lotos válidos. Se houve 500 votos válidos, quartos foram os votos do candidato vencedor? ) Segundo especialistas, em média, 5% do consumo de energia elétrica de uma residência deve-se ao chuveiro elétrico. A última conta de energia elétrica da casa de Bia deu R$0,5. Bia resolveu instalar equipamentos de captação de energia solar para alimentar o chuveiro. Com isso, não teria ônus com o consumo de energia, apesar do custo inicial da instalação. Qual a economia financeira que Bia vai ter na sua conta de energia elétrica?

22 Operações com Polinômios CASOS DE FATORAÇÃO: Fatorar uma epressão algébrica significa escrevê-la na forma de um produto de epressões mais simples. FATOR COMUM a + b + c =. (a + b + c) O fator comum é =. (4 - + ) O fator comum é. AGRUPAMENTO a + ay + b + by Agrupar os termos de modo que em cada grupo haja um fator comum. (a + ay) + (b + by) Colocar em evidência o fator comum de cada grupo: a( + y) + b( + y) Colocar o fator comum ( + y) em evidência: ( + y).(a + b) Este produto é a forma fatorada da epressão dada. DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS A epressão a - b representa a diferença de dois quadrados e sua forma fatorada é : (a + b) (a - b) E: - 6 = ( + 6) ( - 6) TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO a + ab + b Um trinômio é quadrado perfeito quando: - dois de seus termos são quadrados perfeitos (a e b ) - o outro termo é igual ao dobro do produto das raízes dos quadrados perfeitos (ab) a + ab + b = (a + b) E: = ( + ) a - ab + b = (a - b) E: = ( - ) TRINÔMIO DO O GRAU Trinômio do tipo + S + P Devemos procurar dois números a e b que tenham soma S e produto P. + S + P = ( + a) ( + b) E: = ( + ) ( + ) = ( + 4) ( - ) = ( - ) ( - ) = ( - 4) ( + )

23 SOMA DE DOIS CUBOS A epressão a + b representa a soma de dois cubos. Sua forma fatorada é : (a + b) (a - ab + b ) E: + 8 = ( + ) ( - + 4) DIFERENÇA DE DOIS CUBOS A epressão a - b representa a diferença de dois cubos. Sua forma fatorada é : (a - b) (a + ab + b ) E: - 7 = ( - ) ( + + 9) algébrico que divide eatamente os termos algébricos 4a b e 6ab, sem transformá-los em termos algébricos de coeficientes fracionários. E: Calculemos o M.D.C. entre m n p 4, 8m n 5 p e 6mn p 5. Decompondo os coeficientes numéricos em fatores primos, teremos: m n p 4 =.. m. n. p 4 ; 8m n 5 p =.. m. n 5. p e 6mn p 5 =.. m. n. p 5. Percebemos que os fatores comuns serão,, m, n e p e a parte literal, quando elevada aos menores epoentes nos levam a :.. m. n. p 5 = 6mn p 5 M.D.C. ENTRE TERMOS ALGÉBRICOS OU MONÔMIOS E: Calculemos o M.D.C. entre 4a b e 6ab. Decompondo os coeficientes numéricos em fatores primos, teremos: 4a b =.a.b e 6ab =..a.b. Como isso, podemos afirmar que o M.D.C. entre m n p 4, 8m n 5 p e 6mn p 5 é: 6mn p 5. Entendemos que 6mn p 5 é o maior termo algébrico que divide eatamente os termos algébricos m n p 4, 8m n 5 p e 6mn p 5, sem transformálos em termos algébricos de coeficientes fracionários. Percebemos que os fatores comuns serão, a e b e a parte literal, quando elevada aos menores epoentes nos levam a : ab. M.D.C. ENTRE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS OU POLINÔMIOS Como isso, podemos afirmar que o M.D.C. entre 4a b e 6ab é: ab. E entendemos que ab é o maior termo E: Calculemos o M.D.C. entre - y e + y

24 Fatorando cada epressão algébrica, teremos: - y = ( + y ).( - y ) e + y = + y. Percebemos que o fator comum será + y, pois ele se faz presente em ambos os polinômios Como isso, podemos afirmar que o M.D.C. entre - 4y + y ; 4-4y e 8-8y é: ( - y ). Entendemos que ( - y ) é a epressão algébrica que divide eatamente os polinômios - 4y + y ; 4-4y e 8-8y, sem transformá-los em polinômios de coeficientes fracionários. Como isso, podemos afirmar que o M.D.C. entre - y e + y é: + y. Entendemos que + y é a epressão algébrica que divide eatamente os polinômios - y e + y, sem transformá-los em polinômios de coeficientes fracionários. E: Calculemos o M.D.C. entre - 4y + y ; 4-4y e 8-8y Fatorando cada epressão algébrica, teremos: - 4y + y =. ( - y ) = =. ( - y ).( - y ) ; 4-4y = 4. ( - y ) = =4. ( - y ). ( + y + y ) e 8-8y = 8. ( - y ) Percebemos que o fator numérico comum será, pois ele se faz presente em ambos os polinômios e percebemos, também, que o binômio - y é o polinômio comum às três epressões algébricas. M.M.C. ENTRE TERMOS ALGÉBRICOS OU MONÔMIOS E: Calculemos o M.M.C. entre 6a 4 b e 8a b. Decompondo os coeficientes numéricos em fatores primos, teremos: 6a 4 b =.. a 4. b 8a b =. a. b. Percebemos que todos os fatores Presentes serão,, a e b e cada um deles quando elevados aos maiores epoentes nos levam ao termo:.. a 4. b = 4a 4 b Como isso, podemos afirmar que o M.M.C. entre 6a 4 b e 8a b será: 4a 4 b. Entendemos que 4a 4 b é o menor termo algébrico que será dividido eatamente pelos termos algébricos 6a 4 b e 8a b. E: Calculemos o M.M.C. entre m n p 4, 8m n5p e 6mn p 5. Decompondo os coeficientes numéricos em fatores primos, teremos: m n p 4 =.. m. n. p 4 ; 8m n 5 p =.. m. n 5. p e 6mn p 5 =.. m. n. p 5. e 4

25 Percebemos que todos os fatores presentes serão,, m, n e p e cada um deles quando elevados aos maiores epoentes nos levam ao termo :.. m. n 5. p 5 = 6m n 5 p 5 Como isso, podemos afirmar que o M.M.C. entre m n p 4, 8m n 5 p e 6mn p 5 será: 6m n 5 p 5. Entendemos que 6m n 5 p 5 é o menor termo algébrico que será dividido eatamente pelos termos algébricos m n p 4, 8m n 5 p e 6mn p 5. M.M.C. ENTRE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS OU POLINÔMIOS E: Calculemos o M.M.C. entre 5-5y e - y Fatorando cada epressão algébrica, teremos: 5-5y = 5. ( + y ).( - y ) e - y =. ( - y ). Percebemos que todos os fatores presentes serão 5 ; ( + y ) ; ( - y ) e e o produto entre todos eles nos dará o M.M.C. entre 5-5y e - y, que será : 5.. ( + y ). ( - y ) = 5 ( - y ) ou 5-5y E: Calculemos o M.M.C. entre + 6y + y ; 6-6y e 9-9y Fatorando cada epressão algébrica, teremos: + 6y + y = ( + y + y ) = ( + y ) 6-6y = 6. ( - y ) = =.. ( + y ). ( - y ) 9-9y = 9. ( - y ) =. ( - y ) Percebemos que todos os fatores presentes serão ; ; ( + y ) e ( - y ) e o produto entre todos eles, quando elevados aos maiores epoentes nos dará o M.M.C. entre + 6y + y ; 6-6y e 9-9y, que será :.. ( + y ). ( - y ) = 8. ( + y ) ( - y ) e que por facilidade podemos deiá-lo indicado dessa forma, sem efetuar o produto. Assim, o M.M.C. entre + 6y + y ; 6-6y e 9-9y será: 8 ( + y ) ( - y ) E: Determine o M.D.C. e o M.M.C. entre - 5; e 5 5. Fatorando cada uma das epressões algébricas, teremos: - 5 = ( + 5 ) ( - 5 ) = ( - 5) 5-5 = 5 ( - 5 ) Percebemos que o fator comum será: (-5) e elevado ao menor epoente será eatamente - 5. E este será o M.D.C. entre 5; e 5-5. Percebemos que todos os fatores presentes serão 5 ; ( + 5 ) e ( - 5 ) e o produto entre todos eles, quando elevados aos maiores epoentes nos dará o M.M.C. entre 5; e 5-5, que será: 5. ( - 5). ( + 5) e que por facilidade podemos deiá-lo indicado dessa forma, sem efetuar o produto. 5

26 Assim, o M.M.C. entre - 5; e 5-5 será : 5 ( - 5) ( + 5) b) a mn ay bm E: Determine o M.D.C. e o M.M.C. entre ; Fatorando cada uma das epressões algébricas, teremos: = ( + ) - ( + ) = ( + ) ( - ) = = ( + ) ( + ) ( - ) = =( + ) ( - ) = ( - ) - ( - )= = ( - ) ( - ) = =( - ) ( + ) ( - ) = =( + ) ( - ) Percebemos que os fatores comuns aos dois polinômios serão: ( + ) e ( - ) e elevado aos respectivos menores epoentes nos darão: ( + ) ( - ) = -. E este será o M.D.C. entre os polinômios apresentados. Percebemos que todos os fatores presentes serão ( + ) e ( - ) e o produto entre todos eles, quando elevados aos maiores epoentes nos dará o M.M.C. entre ( + ). ( - ) = ( - ) ou, se preferirmos indicar o produto, teremos: Assim, o M.M.C. entre ; será : ( + ) ( - ) ou, se preferirmos indicar o produto b c r s c) rs b c 4 a a d) c 5c e) 9 y 4 y 0 9 y 4d f) 5 0d y ) Efetue as divisões: b a) 5y a 7a a b) 9b 8a 4a c) 5bc bc 5 0 d) a b ab y y e) 4 5 a a b y y f) ab c b c EXERCÍCIOS ) Calcule: b a) 7a 5y ) Qual é o resultado da multiplicação y ab a? a by 6

27 4) Simplifique as epressões: d) 75, 90 e 0 a) b) c) a a a a 8 6 a b a ab 4 5 p p 8) Sabendo que 5.7 e y. 5.7, determine m.m.c. (, y). 9) Determine o m.m.c. dos monômios: d) 6 4 a 5 9a 4 a) ab, a c e bc b) 8a, 6a b,b 5) Se efetuar a multiplicação y a ay ab b vai encontrar? 4 a a 8, que fração c) 5a m,0am, 0a m d) y e 5 y e) 8a y e 4a y 9 f) a p, a p e 4a 9 p 5 6) Calcule: a) a 5 b 0) Determine o m.m.c. das epressões: 5 a) 6 e y b) 0 y 5m c) y b) y e y y c) 5ab, b - b e ab - a d) y e 4 - d) y 4 a ) Determine o m.m.c. dos polinômios: a) 5a - 5b, 7a 7b e a - b 7) Calcule o m.m.c. dos números: a) 00 e 50 b) 9, - 8e 8 8 c) 6 6y, 4y 4y e y 6y b) 60, 0, 80 c) 54 e 7 7

28 ) Dados A = ab a b + 6 e B = ab a, determine m.m.c. (A, B). 7) Escreva na forma mais simples cada uma das seguintes somas algébricas: ) Dados A = 6-4y - 9p 6py e B = 4 -p 9p. Calcule o menor dos múltiplos comuns desses dois polinômios. a) b) a a a a b a b b a 4) Determine o m.m.c. dos polinômios y, y y e - y y. y y c) y y d) y 5) Qual é o valor numérico do m.m.c. dos polinômio y, 6 6y, 4y 4y quando = - e y = -? e y 6y 8) Calcule: a b a) a a b 6) Calcule: b) 9 a) a 0 b 4y c) 4 5 b) 4y 7 5y 0y a d) a b a b a b c) b a d) 6 9 a by e) 8y y f) 0 5y 5y 9) A fração F é a diferença das frações a a b a. Qual é a fração F? a b e a a 0) Se A, B e a a C, determine A B C. a 8

29 ) Qual fração algébrica representa a 4y 4y soma? Dê o y y y valor numérico da fração quando = 0 e y = 6. b) c) y y y y y ) Você sabe a + b = 5 e ab = 4. Nessas condições, descubra o valor numérico da epressão. a b ab d) y y y y : y y y ) São dados os números reais e y, tais que e y. Qual y 4 5 é o valor de y? e) 7) Determine o m.m.c. dos polinômios: 4) Simplificar a epressão y a a y. a) 8 e -0 b) y e y c) a - a e - a d) y 5 e y 0y 5 5) Simplifique: e) 5a, - e a - a a a a) : a a a 8 b) a a f) a - b, a b e a - b g) - 7, - 49 e 4 h) y e 6 6y i) - 6 9, ( - ) e 4-6) Escreva cada uma das epressões abaio na forma mais simples: j) 5a 0, a 4 e a 6 l) a - 5, a -0a 5 e a 0a 5 a) y y y m) -, ( -) e - 9

30 6 5 8) Dados os polinômios a a a e a 0 a 5, determine o m.m.c. desses polinômios. d) a b c ( a b)( a c ) ( b c )( a b) ( a c )( b c ) 9) Efetue as operações indicadas no numerador e no denominador de cada uma das seguintes frações algébrica, simplificando a fração: ) Calcule: a) a) ( y )( y ) y y b) a 5ab a b a b b) ( a ( a ) ( a ) ) ( a ) c) a a 6 a 4 a c) a ay ( y ) y ( y ) d) a y y a d) ( y ) y ( 4) 4( y ) e) 6 9 a b a b ab 0 0 0) Se você simplificar a fração ( a b ) ( b c ) c, qual a fração que você a vai obter? )Efetue: a) y y y y y b) y y c) ( y ) y y a ay f) 4y 4y ) Efetue as divisões: 4 a) : a a y y b) : 7 7y 7 a a a c) : y y m 6 m d) : y y e) 4 a 7 6 9a : 0

31 f) : 4 g) y b a y b a 0 : 0 h) c b b b ab c b b ab a :

32 Equações do o Grau Eercícios Resolvidos Eemplo : Denomina-se equação do o grau na variável (incógnita), a qualquer epressão matemática que pode ser escrita sob a forma a b 0 onde a e b são números reais, com a 0. Determinar a solução de uma equação do o grau significa obter, através de propriedades ou processes algébricos, o valor da incógnita que verifica a igualdade. Os processos algébricos, utilizados para a resolução de uma equação, baseiamse nos seguintes princípios matemáticos: Se adicionarmos ou subtrairmos um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, obteremos uma outra igualdade. Eemplo: Se multiplicarmos ou dividirmos os dois membros de uma igualdade por um mesmo número, obteremos uma outra igualdade. Eemplo: Eemplo : 7 ( ) m. m. c.(4,6) 7 0 ( ) ( ). ( ) ( ) Eemplo : ( ) 5 ( ) 5 6 m. m. c.(,,6) 6.( ).5( ) ( ) 5( )

33 Problemas do o grau Eemplos: Resolva os seguintes problemas envolvendo equações do o grau. Problema : A soma da metade de um número com 0 resulta 5. Qual é esse número? Resolução: número: equação: Portanto, o número é 50. Problema : número: equação: 0 45 m. m. c m. m. c Problema 4: número: número maior: 0 equação: ( ) Problema 5: Número maior: número menor: 4 equação: ( 4) Eercícios ) Resolva as seguintes equações do o grau em : Problema : a).( ).( ) 5 número: 0 equação: 45 b) c).. 7 4

34 ) Resolva as seguintes problemas: a) A soma de dois números consecutivos é igual a 45. Quais são esses números? 4) A solução da equação 7 é: 8 8 a) 48 b) Em um quintal eistem 0 animais, entre galinhas e coelhos. Sabendo-se que o total de pernas é 8, calcule quanto são os coelhos e quantas são as galinhas. b) c) 4 d) 0 e) n.d.a. c) Numa caia, o número de bolas preta é o triplo de bolas brancas. Se retirarmos brancas e 6 pretas, o número de bolas de cada cor ficará igual. Qual a quantidade de bolas brancas? 5) O valor de tal que 4 é: a) 0 b) d) Eu tenho 0 cédulas, algumas de R$ 5,00 e outras de R$ 0,00. O Valor total das cédulas é de R$ 50,00. Quantas cédulas de R$ 5,00 e quantas cédulas de R$ 0,00 eu tenho? ) A solução da equação 5.( ) ( ) 0 é: a) b) c) 0 d) 9 e) c) d) 5 e) n.d.a. 6) A solução da equação.( ) 5( ) a) b) c) 6 5 é: 4

35 d) - e) n.d.a. e) n.d.a. 7) A raiz da equação.( ).( ) é um número racional: a) menor que - b) compreendido entre - e 0 c) compreendido entre 0 e d) maior que e) n.d.a. 0) Deseja-se cortar uma tira de couro de 0 cm de comprimento, em duas partes tais que o comprimento de uma seja igual ao triplo da outra. A parte maior mede: a) 75 cm b) 80 cm c) 90 cm d) 95 cm e) n.d.a. 8) O conjunto solução de equação a) S { } b) S {} c) S {} d) S e) n.d.a. * em R é: ) O número que somado aos seus resulta 0 é: a) ímpar b) primo c) divisor de 0 d) múltiplo de 9 e) n.d.a. 9) Numa caia há bolas brancas e bolas pretas num total de 60. Se o número de brancas é o quádruplo do de pretas, então o número de bolas brancas é: a) 7 b) 0 c) 40 d) 88 ) Diminuindo-se 6 anos da idade de minha filha obtém-se os de sua 5 idade. A idade de minha filha, em anos, é: a) 0 b) 5 c) 5

36 d) 8 e) n.d.a. b) 0 c) 8 d) 4 ) Um aluno recebe dólares por problema que acerta e paga dólares por problema que erra. Fez 50 problemas e recebeu 85 dólares. Podese dizer que acertou: a) 7 problemas b) problemas c) 7 problemas d) 5 problemas e) 5 problemas 4) Roberto disse a Valéria: pense num número, dobre esse número; some ao resultado; divida o novo resultado por. Quanto deu? Valéria disse: 5, ao que Roberto imediatamente revelou o número original que Valéria havia pensado. Calcule esse número. e) 0 7) O dono de uma empresa resolve dar um prêmio em dinheiro aos funcionários de certo setor e decide dividir a quantia do seguinte modo: cada funcionário do seo feminino deverá receber o dobro do que receber cada funcionário do seo masculino. Se em tal setor trabalham mulheres e 4 homens, que fração da quantia total caberá a cada mulher? a) b) 0 c) 5 d) 5) Na proporção a b ab 4. b 6 onde a e b, o valor numérico de é. 6) Achar um número inteiro tal que os 4 seus diminuídos de 7, seja igual a 5 metade aumentada de. e) 4 8) José gastou tudo o que tinha no bolso em três lojas. Em cada uma gastou (um) real a mais do que a metade do que tinha ao entrar. Qual tinha José quando entrou na primeira loja? a) 0 6

37 9) O conjunto solução da equação é: a) { 0} b) 5 c) { } d) e) n.d.a. 0) Uma certa importância deve ser dividida entre 0 pessoas em partes iguais. Se a partilha fosse feita somente entre 8 dessas pessoas, cada uma destas receberia R$5.000,00 a mais. Calcular a importância. ) Certo número foi dividido por 7, tendo como resto 5. O quociente obtido foi multiplicado por 8, obtendo-se assim, um valor igual a 5 +. O número é. ) Minha calculadora tem lugar para oito algarismos. Eu digitei nela o maior número possível, do qual subtraí o número de habitantes do Estado de São Paulo, obtendo, como resultado, Qual é a população do Estado de São Paulo? séculos. Um eemplo é o problema conhecido come ''Saudações a vós", que aparece no livro ''Antologia Grega'' de Metrodorus, século 5. Adaptado, apresenta-se assim: ''Bom dia, minhas cem pombas'', disse o gavião a um banco de avezinhas que passavam. ''Cem pombas não somos nós", disse uma delas. ''Para sermos cem é necessário outro tanto de nós, mais metade de nós, mais a quarta parte de nós, e contigo, gavião, cem aves seremos nós." Há no bando: a) 6 pombas b) 40 pombas c) 46 pombas d) 96 pombas e) 0 pombas 4) Um empresário decide presentear alunos com livros. Observou que, se ele der livros a cada aluno, sobrarão 0 livros e, se ele der livros a cada aluno, faltarão 0 livros. A quantidade de livros é: a) 50 b) 0 c) 70 d) 80 e) 00 ) É comum encontrarmos, na História da Matemática, problemas que, apesar de sua simplicidade, atravessam os 7

38 Reta Numérica e Intervalos Números Racionais Nem sempre a divisão entre dois números inteiros resulta em um número inteiro. Desta forma, o conjunto dos números racionais surgiu como uma etensão dos números inteiros. Intuitivamente, pode-se eplicar a origem dos números racionais a partir da divisão de um todo em várias partes, ou seja: 5 5, e, Estes números pertencem ao conjunto dos números irracionais. p I p Z, q Z, q 0 q N Z Q I Chama-se racional todo número que é o quociente entre dois números inteiros. p Q p Z, q Z, q 0 q Obs.: N Z Q Números Irracionais Eistem números, entretanto, que não podem ser obtidos como o quociente de dois números inteiros, tais como:, Números Reais O conjunto dos números reais é definido como a união entre os conjuntos dos números irracionais e racionais, ou seja: R Q I Importante: É possível a representação de todos os números em retas, onde cada ponto representa um número.,

39 Eercícios ) Dados os números do quadro a seguir, responda: A B C D E F G H L M e 0 0, ,... Intervalos. Intervalo Aberto N O ,5 0 0, É um subconjunto dos números reais, tais que a b ou seja, números que estão entre a e b. a) Quais são os números racionais? b) Quais são os números inteiros? c) Quais são os números irracionais? d) Quais são os números naturais? a b e) Eiste algum que não é real? a, b ] a, b[ R / a b. Intervalo Fechado É um subconjunto dos números reais, tais que a b ou seja, números de a até b. ) Se R / 5 R / 8 A e B, determinar A B, A B, A B e B A. ) Usando a notação de conjuntos, escreva os seguintes intervalos que estão representados a seguir: a) 5 a b [ a, b] R / a b b) c) 4 9

40 d) e) 0 6) Se designarmos por [ ;4] o intervalo fechado, em, de etremidades e 4, é correto escrever: f) 4 a) { ;4} [;4] b) { ;4} [;4] g) 0 4 c) { ;4} [;4] d) { ;4} [;4] 4) Seja R o conjunto dos números reais, N, o conjunto dos números naturais e Q o conjunto dos números racionais. Qual a afirmativa falsa? a) Q N R b) Q N R c) Q N R d) Q R Q e) Q R e) n.d.a. 7) Dados os conjuntos: A N / 5, B N / é ímpar e 7 e C N / 0, o conjunto solução de A B B C é: a) {, } 5) Seja os intervalos A (, ], B (0,) e C [, ]. O intervalo C A B é: a) (, ] b) [, ] b) {,4,5 } c) { 0,,,5,7 } d) {,,,4,5 } e) { 0,4,5} c) [ 0, ] d) ( 0, ] e) (, ] 8) Dados os intervalos A (, ] e B [0,], então A B e A B, são respectivamente: a) ( 0, ) e (,) b) [ 0, ] e (,] 40

41 c) [ 0, ) e [,] d) ( 0, ) e (,] e) [ 0, ) e [,) B R /, então, A B B A a) {-, } é o conjunto b) R / 9) Dado A R / a) A N b) A R, tem-se: c) R / d) R / e) R / c) A Z Z d) A Z A e) A N {} 0) São dados os conjuntos A N / é par B Z / 6 C N / 4 O conjunto X, tal que X B e B X A C, é: a) {0,, 5} b) {,, 5} ) Qual é a afirmação verdadeira? a) A soma de dois números irracionais positivos é um número irracional. b) O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional. c) O quadrado de um número irracional é um número irracional. d) A diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional. e) A raiz quadrada de um número racional é um número irracional. c) {0,,, 5} d) {-,,, 5} e) {-,,, 5, 6} ) Se A R / e 4

42 Função do º Grau Definição Chama-se função polinomial do º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f ( ) a b, onde a e b são números reais dados e a 0. Na função f ( ) a b, o número a é chamado de coeficiente de e o número b é chamado termo constante. Veja alguns eemplos de funções polinomiais do º grau: f ( ) 5, onde a 5 e b f ( ) 7, onde a e b 7 f ( ), onde a e b 0 Gráfico O gráfico de uma função polinomial do º grau, y a b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eios OX e OY. Eemplo: Vamos construir o gráfico da função y : Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auílio de uma régua: a) Para = 0, temos y = 0 - =-; portanto, um ponto é (0, -). b) Para y = 0, temos 0 = - ; portanto, e o outro ponto é,0. Marcamos os pontos (0, -) e,0 no plano cartesiano e ligamos os dois com uma régua. y 0 - y. 0. Já vimos que o gráfico da função afim y a b é uma reta. O coeficiente de, a, é chamado coeficiente angular da reta e está ligado à inclinação da reta em relação ao eio OX. O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para = 0, temos y a 0 b b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eio OY. Zero e Equação do º Grau Chama-se zero ou raiz da função polinomial do º grau f ( ) a b, a 0, o número real tal que f ( ) 0. Temos: b f ( ) 0 a b 0 a Eemplos: a) Obtenção do zero da função f ( ) 5 : 0 4

43 f ( ) b) Cálculo da raiz da função g ( ) 6 : g ( ) c) Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h ( ) 0 corta o eio das abscissas: O ponto em que o gráfico corta o eio dos é aquele em que h ( ) 0 ; então: h ( ) Crescimento e decrescimento Consideremos a função do º grau y. Vamos atribuir valores cada vez maiores a e observar o que ocorre com y: aumenta Observamos novamente seu gráfico: y. 0. Regra geral: A função do º grau f() = a + b é crescente quando o coeficiente de é positivo (a > 0); A função do º grau f() = a + b é decrescente quando o coeficiente de é negativo (a < 0); Justificativa: Para a > 0: se <, então a < a. Daí, a + b < a + b, de onde vem f( ) < f( ). Para a < 0: se <, então a > a. Daí, a + b > a + b, de onde vem f( ) > f( ). y y aumenta Notemos que, quando aumentos o valor de, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então que a função y é crescente. Sinal Estudar o sinal de uma qualquer y f ( ) é determinar os valor de para os quais y é positivo, os valores de para os quais y é zero e os valores de para os quais y é negativo. Consideremos uma função afim y f ( ) a b e estudemos seu sinal. Já vimos que essa função se anula para b raiz. Há dois casos possíveis: a 4

44 º) a > 0 (a função é crescente) b y 0 a b 0 a b y 0 a b 0 a Conclusão: y é positivo para valores de maiores que a raiz; y é negativo para valores de menores que a raiz. EXERCÍCIOS Produto Cartesiano, Relação, Domínio e Imagem )No plano cartesiano seguinte, dê as coordenadas dos pontos: a) A c) C e) E g) N b) B d) D f) M h) R º) a < 0 (a função é decrescente) b y 0 a b 0 a b y 0 a b 0 a ) No plano cartesiano abaio, responda: Conclusão: y é positivo para valores de menores que a raiz; y é negativo para valores de maiores que a raiz. a) Quais são as coordenadas dos vértices do quadrado ABCD? b) Quantas unidades de comprimento têm cada lado do quadrado? 44

45 ) Observando o triângulo ABC, no plano cartesiano seguinte, responda: b) Quantas unidades de comprimento tem o raio dessa circunferência? c) Qual é o eio tangente à circunferência? a) Quais são as coordenadas dos vértices desse triângulo? b) Como você classificaria esse triângulo quantos aos ângulos? c) Quantas unidades de comprimento tem o cateto AB? d) Quantas unidades de comprimento tem o cateto AC? 4) Marque no plano cartesiano os pontos e a seguir ligue-os: A(-4, ), B(- 4, -), C(, -) e D(, ). Responda: a) Qual o quadrilátero que você desenhou? b) Qual a área da região limitada por esse quadrilátero? 6) Localize no plano cartesiano os pontos: a) A (, 5) b) B (-, 6) c) C(4, -4) d) D(-, -) e) E(0, ) f) F(-9, -) g) G(-4, 0) h) H(5, 5) 7) Determine e y reais tais que: a) (+y, ) = (8, ) 5) Observe a circunferência seguinte, no plano cartesiano, e responda: b) (, y ) = (6, ) a) Quais as coordenadas do centro dessa circunferência? 45

46 8) O quadrado e o triângulo abaio têm a mesma área. Nessas condições: reais, qual é a fórmula matemática dessa função? + 8 a) Qual a medida do lado do quadrado? b) Qual é a área do quadrado? c) Qual é a área do triângulo? 9) Consideremos um quadrado cujo lado mede. Se representarmos por y o perímetro desse quadrado, observamos que o perímetro y depende da medida do lado desse quadrado. Logo, y é dado em função de. Nessas condições, escreva a fórmula matemática dessa função. 0) A área de um quadrado é dada em função da medida do seu lado. Sendo y a área e sendo a medida do lado, qual é a fórmula matemática dessa função? ) Um vendedor trabalha na base da comissão, logo seu ganho mensal y depende ou é dado em função do total de vendas que ele realiza durante o mês. Sabendo que esse vendedor recebe 5% do total de vendas, qual é a fórmula matemática dessa função? ) Uma firma que conserta geladeiras cobra uma taa fia de 0 reais pela visita e mais 0,0 real, por hora, de mão de obra. Logo, o preço y que se paga pelo conserto depende ou é dado em função dessas condições. Sabendose que foram empregadas horas de mão de obra, qual é a fórmula matemática que define essa função? 4) Um colégio paga a seus professores a quantia de 5 reais por aula mais uma quantia fia de 00 reais como abono mensal. Então, a quantia y que o professor recebe depende do número de aulas que ele dá durante o mês. Nessas condições, qual a fórmula matemática dessa função? ) Quando compramos laranja na feira, o preço y que pagamos ao feirante depende ou é dado em função do número de dúzias de laranja que compramos. Se a dúzia de laranja custa 5) Uma máquina produz 00 peças por hora. Então, a produção y de peças por dia depende ou é dada em função do número de horas que a máquina trabalha durante o dia. Nessas 46

47 condições, qual é a fórmula matemática dessa função? represente por meio de diagrama e verifique se ela é, ou não, função de A em B. 6) Vamos escrever a fórmula matemática que define cada uma das seguintes funções: a) A cada número real associar um número real y que representa o triplo do número. b) A cada número real associar um número real y que representa o dobro de menos 0. c) A cada número real associar um número real y que representa o inverso de. d) A cada número real associar um número real y que representa o quadrado de menos 4. e) A cada número real associar um número real y que representa a metade de aumentada de 5. 9) Sejam os conjuntos A = {,,, 4, }, B 0,,,,,,, e uma relação entre A e B dada pela formula y, em que A e y B, represente essa relação por meio de diagrama e verifique se ela é, ou não função. 0)Observe os diagramas abaio e assinale os que representam função de A em B. a) ) Sejam os conjuntos A = {0,, 4, 9, 6} e B = {0,,,, 4, 5} e uma relação entre A e B dada pela fórmula y, em que A e y B, b) represente essa relação por meio de um diagrama e verifique se ela é, ou não, uma função de A em B, f : A B. 8) Sejam os conjuntos A = {, 4, 6, 8}, B = {-, -, -, 0,,, } e uma relação entre A e B dada pela fórmula y 7, em que A e y B, c)

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