Equações Diferenciais Ordinárias

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Equações Diferenciais Ordinárias"

Transcrição

1 Equações Diferenciais Ordinárias Uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma ou mais funções (desconhecidas com uma ou mais das suas derivadas. Eemplos: ( t dt ( t, u t d u ( cos( ( t d u + u ( t, u u ( (3 (4 As derivadas dizem-nos quais são as variáveis dependentes e as d d variáveis independentes. Por eemplo, as notações e em (3 dizem-nos que, nesta equação, é a variável dependente e é a variável independente. Em (, e dizem-nos que, nesta t u equação, é a variável dependente e u e t são as variáveis independentes. Se apenas houver uma variável independente, como em ( ou (3, então a equação diferencial diz-se equação diferencial ordinária. O nosso estudo irá apenas incidir sobre este tipo de equações diferenciais.

2 Aplicações: Uma aplicação comum à física é a lei de arrefecimento de ewton que diz que: um objecto, a taa de temperatura perdida é proporcional à diferença da temperatura da superfície do objecto, com a temperatura ambiente. Seja T (t a temperatura da superfície do objecto, no tempo t e seja S (t a temperatura ambiente, no tempo t. A lei pode ser epressa na seguinte forma: dt dt k( T S. (5 k é a constante de proporcionalidade determinada pelas características do objecto e do ambiente envolvente. Supõe-se que S é conhecida. A função T (t é desconhecida e, de um modo geral, pretende-se encontrar T (t resolvendo a equação diferencial. Suponha-se que um objecto de massa m está a uma distância de um ponto b (no tempo t e a lei é a seguinte: A força no objecto é inversamente proporcional ao quadrado da distância a b. Como F m a (se m é constante, tem-se física pode ser epressa na forma d F m dt d k m, (6 dt. Assim, a lei com k a constante de proporcionalidade. Pretende-se determinar a posição (t, resolvendo a equação diferencial.

3 Há 3 abordagens gerais para estudar uma equação diferencial, qualitativa, numérica e analítica. o nosso estudo, dar-se-á grande importância ao desenvolvimento analítico que consiste em obter fórmulas implícitas e eplícitas para as soluções. A ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada da função desconhecida (variável dependente que aparece na equação. Por eemplo, (5 é uma equação diferencial de ª ordem e (6 é uma equação diferencial de ª ordem. Uma equação diferencial de ordem n é linear se puder ser escrita na forma a ( n ( n d d d + a ( a( a ( f ( n n (7 n n ( 0 com a n ( 0 e a i ( funções de (conhecidas a que se chamam coeficientes. Eemplos: d 3 sen( 3 d d 3 + ; + + 0; d d d + sen cos + ; 4 3 ( ( sen( cos( + ( 4 ; 6 4 d ;.

4 A função ( é uma solução da equação diferencial se, ao ser substituída na mesma, resulta uma igualdade verdadeira para todos os valores de no domínio de (. Eemplos: ( sen + é uma solução da seguinte equação diferencial Verifique que ( d + +. Verifique que a função (, definida implicitamente pela equação + e, é uma solução da seguinte equação diferencial d. + Se a solução de uma equação diferencial tiver constantes arbitrárias, é solução para todos os valores das constantes e, além disso, toda a solução da equação diferencial é dessa forma então diz-se solução geral da equação diferencial. Caso a solução não contenha constantes arbitrárias diz-se solução particular.

5 Eemplos: 6 Verifique que + c + c, com c e c constantes arbitrárias, é solução geral da seguinte equação diferencial Determine os valores da constante r de forma a que cos( r solução da seguinte equação diferencial seja 3 Verifique que ce, com c constante arbitrária, é uma solução da equação diferencial d 3 3 e calcule c de forma que satisfaça a condição inicial (. Equações Diferenciais de ª Ordem O estudo que se segue irá incidir sobre equações diferenciais que se podem escrever na seguinte forma (forma eplícita d f (,. Antes de pensar em resolver uma equação diferencial é importante saber se esta tem solução e, caso eista, também é importante saber se é única.

6 Teorema: (Eistência e Unicidade Sejam 0 e 0 números reais tais que ( 0, 0 pertence ao domínio de f (,. Suponha-se que eistem números positivos ε e ε, tais que f (, e f (, são ambas contínuas no rectângulo {(, : < ε < ε }. 0 e este caso, eiste δ > 0 tal que no intervalo 0 < δ eiste uma única solução do problema de valor inicial d f (,, ( Eemplo: d

7 Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis A equação diferencial d f (, diz-se de variáveis separáveis se pode ser escrita na forma d h( g(. Dividindo ambos os membros por g ( obtém-se g( d h(. (8 Primitivando, agora, ambos os membros em relação à variável, d h(. (9 g( Ora, como d d, (9 pode ser escrita na forma d h( + C g(

8 Observa-se a partir de (8 que a equação diferencial pode ser escrita na forma d g( h( ou ainda h ( d 0. g( Esta é outra forma de escrever a equação diferencial que em geral se representa por M (, + (, d 0. (0 Assim, no caso de M (, P( e (, Q( (isto é, M (, e (, apenas dependem de e de, respectivamente a solução de (0 é dada por com C constante arbitrária. P ( + Q( d C, Eemplo: Determine a solução geral da equação d.

9 Equações Diferenciais Totais Eactas Definição: Consideremos a seguinte equação diferencial de ª ordem (0. A equação diferencial diz-se total eacta se eistir uma função F (, tal que df (, M (, + (, d. Se (0 é diferencial total eacta tem-se df (, 0 e, portanto, F (, C define implicitamente a solução geral de (0. Teorema: Se M (,, (,, M (, e (, são funções contínuas então M (, + (, d 0 é diferencial total eacta se e só se M. Eemplo: 3 Determine a solução geral da equação 3 ( + ( + d 0.

10 Equações Diferenciais Lineares de ª Ordem A equação diferencial linear de ª ordem d a ( + a0( f ( ( com coeficientes a ( e a (, é importante em muitas aplicações. 0 Se a 0(, a ( e f ( forem contínuas num intervalo I e, além disso, a ( nunca se anula em I então, aplicando o teorema da eistência e unicidade de soluções, conclui-se que: se 0 I e 0 é um número real qualquer então eiste uma única solução de ( tal que ( 0 0. Pelo facto de esta equação diferencial ser linear esta solução é única em todo o intervalo I. Os pontos tais que a ( 0 são chamados pontos singulares. Para resolver a equação diferencial ( começa-se por dividir ambos os membros por a ( d a0( f ( +. a ( a (

11 Seja a ( ( 0 P e a ( f ( Q ( a. A solução de ( é dada por ( e P( P( e Q( + C em que e arbitrária. P( se designa por factor integrante e C é uma constante Eemplo: Determine a solução geral da equação.

12 Equações Diferenciais De Bernoulli A equação diferencial de Bernoulli tem a forma + P( Q( n n 0, ( Se n 0 a equação é linear de ª ordem. Se n a equação é de variáveis separáveis. n n multiplicando ambos os membros de ( por ( Se 0, tem-se n ( n n + ( n P( ( n Q( n, Tomando z n n tem-se z ( n. Assim, z + ( n P( z ( n Q( é uma equação diferencial linear de ª ordem, na variável dependente z. Eemplo: Determine a solução geral da equação diferencial ( d 0.

13 Determinação de Factores Integrantes Consideremos a equação diferencial (0 e suponhamos que µ (função de e de é um factor integrante da equação. este caso, a equação 0, (, ( + µ µ d M deve ser diferencial total eacta; logo ( ( M µ µ ( ( ( ( M M + µ µ + µ µ M M µ µ µ. (3 Suponhamos agora que o factor integrante, µ, depende apenas de uma única variável. Seja então µ( µ. Assim a equação (3 toma a forma d M µ µ ; isto é, d M µ µ.

14 É claro que esta igualdade só tem significado se depender apenas de ; isto é, se M ϕ( M e, portanto, µ dµ ϕ( donde se conclui que µ ( e ϕ( é um factor integrante para a equação diferencial (0. Se µ é apenas função de pode-se mostrar, da mesma forma, que se M ψ( M então ψ( µ d ( e é um factor integrante para a equação diferencial (0. Eemplo: Determine a solução geral da equação diferencial ( ( + d 0.

15 Equações Diferenciais Homogéneas Definição: Uma função f (, diz-se homogénea, de grau de homogeneidade α, se f α ( λ, λ λ f (,, para todo o λ IR. Eemplos: f (, + + não é homogénea. f (, é homogénea de grau. 3 f (, ln é homogénea de grau 0. Definição: A equação diferencial (0 diz-se homogénea se as funções M (, e (, são homogéneas com o mesmo grau de homogeneidade. Lema : Se as funções M (, e (, são homogéneas com o M (, mesmo grau de homogeneidade então a função é homogénea (, de grau 0.

16 Lema : Se f (, é homogénea de grau 0 então f (, é função apenas de. Conclui-se a partir dos lemas e que no caso da equação (0 ser homogénea, então é possível escrevê-la na forma d g. Para resolver esta equação faz-se a mudança de variável dependente para v, definida por v, e obtém-se uma equação de variáveis separáveis. Eemplo: Determine a solução geral da equação diferencial ( + d 0.

17 Substituições Sugeridas Por Uma Epressão Se a equação diferencial (0 não for de nenhum dos tipos estudados até agora pode ser possível, através de uma mudança de variáveis, transformar a equação diferencial numa outra da qual saibamos calcular a solução geral. Por eemplo, na equação ( + + 3( + d 0 a função + aparece duas vezes. Se fizermos a substituição + v, como dv d, obtém-se a equação ( v dv + ( v + d 0 que é de variáveis separáveis. Eemplo: Determine a solução geral da equação diferencial + 3 sen( cos( d. ( ( 0

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas

Leia mais

Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos

Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de etremos O Teorema de Taylor estabelece que sob certas condições) uma função pode ser aproimada na proimidade de algum ponto dado) por um polinómio, de modo

Leia mais

Introdução ao estudo de equações diferenciais

Introdução ao estudo de equações diferenciais Matemática (AP) - 2008/09 - Introdução ao estudo de equações diferenciais 77 Introdução ao estudo de equações diferenciais Introdução e de nição de equação diferencial Existe uma grande variedade de situações

Leia mais

Guia de aulas: Equações diferenciais. Prof. Carlos Vidigal Profª. Érika Vidigal

Guia de aulas: Equações diferenciais. Prof. Carlos Vidigal Profª. Érika Vidigal Guia de aulas: Equações diferenciais Prof. Carlos Vidigal Profª. Érika Vidigal 1º Semestre de 013 Índice 1.Introdução... 3. Equações Diferenciais de 1ª Ordem... 7.1. Equações Diferenciais Separáveis...

Leia mais

Valores e Vectores Próprios. Carlos Luz Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal

Valores e Vectores Próprios. Carlos Luz Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal Valores e Vectores Próprios Carlos Luz Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal Ano Lectivo 24/25 Conteúdo Definição de Valor e Vector Próprios 2 2 Um Eemplo de Aplicação 8 3

Leia mais

x 1 f(x) f(a) f (a) = lim x a

x 1 f(x) f(a) f (a) = lim x a Capítulo 27 Regras de L Hôpital 27. Formas indeterminadas Suponha que desejamos traçar o gráfico da função F () = 2. Embora F não esteja definida em =, para traçar o seu gráfico precisamos conhecer o comportamento

Leia mais

INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS TRANSFORMADAS DE LAPLACE

INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS TRANSFORMADAS DE LAPLACE INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS TRANSFORMADAS DE LAPLACE Preliminares No estudo de sistemas de controle, e comum usar-se diagramas de blocos, como o da figura 1. Diagramas de blocos podem ser utilizados

Leia mais

Definição 1.1: Uma equação diferencial ordinária é uma. y ) = 0, envolvendo uma função incógnita y = y( x) e algumas das suas derivadas em ordem a x.

Definição 1.1: Uma equação diferencial ordinária é uma. y ) = 0, envolvendo uma função incógnita y = y( x) e algumas das suas derivadas em ordem a x. 4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 4.: Defiição e coceitos básicos Defiição.: Uma equação diferecial ordiária é uma dy d y equação da forma f,,,, y = 0 ou d d ( ) f (, y, y,, y ) = 0, evolvedo uma fução icógita

Leia mais

Numa turma de 26 alunos, o número de raparigas excede em 4 o número de rapazes. Quantos rapazes há nesta turma?

Numa turma de 26 alunos, o número de raparigas excede em 4 o número de rapazes. Quantos rapazes há nesta turma? GUIÃO REVISÕES Equações e Inequações Equações Numa turma de 6 alunos, o número de raparigas ecede em 4 o número de rapazes. Quantos rapazes há nesta turma? O objectivo do problema é determinar o número

Leia mais

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE ORDEM 2 HOMOGÊNEAS, COM COEFICIENTES CONSTANTES

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE ORDEM 2 HOMOGÊNEAS, COM COEFICIENTES CONSTANTES Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul Faculdade de Matemática Equações Diferenciais RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE ORDEM HOMOGÊNEAS, COM COEFICIENTES CONSTANTES FORMA

Leia mais

UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA CURSO BIETÁPICO EM ENGENHARIA CIVIL º ciclo Regime Diurno/Nocturno Disciplina de COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA Ano lectivo de 7/8 - º Semestre Etremos

Leia mais

Propriedades das Funções Deriváveis. Prof. Doherty Andrade

Propriedades das Funções Deriváveis. Prof. Doherty Andrade Propriedades das Funções Deriváveis Prof Doerty Andrade 2005 Sumário Funções Deriváveis 2 Introdução 2 2 Propriedades 3 3 Teste da derivada segunda para máimos e mínimos 7 2 Formas indeterminadas 8 2 Introdução

Leia mais

36 a Olimpíada Brasileira de Matemática Nível Universitário Primeira Fase

36 a Olimpíada Brasileira de Matemática Nível Universitário Primeira Fase 36 a Olimpíada Brasileira de Matemática Nível Universitário Primeira Fase Problema 1 Turbo, o caracol, está participando de uma corrida Nos últimos 1000 mm, Turbo, que está a 1 mm por hora, se motiva e

Leia mais

[ \ x Recordemos o caso mais simples de um VLVWHPD de duas HTXDo}HVOLQHDUHV nas duas LQFyJQLWDV [ e \.

[ \ x Recordemos o caso mais simples de um VLVWHPD de duas HTXDo}HVOLQHDUHV nas duas LQFyJQLWDV [ e \. &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV1 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV Å 1Ro}HV *HUDLV Recordemos o caso mais simples de um VLVWHPD de duas HTXDo}HVOLQHDUHV nas duas LQFyJQLWDV [ e \. [\ [\ É fácil verificar

Leia mais

FICHA DE TRABALHO DERIVADAS I PARTE. 1. Uma função f tem derivadas finitas à direita e à esquerda de x = 0. Então:

FICHA DE TRABALHO DERIVADAS I PARTE. 1. Uma função f tem derivadas finitas à direita e à esquerda de x = 0. Então: FICHA DE TRABALHO DERIVADAS I PARTE. Uma função f tem derivadas finitas à direita e à esquerda de = 0. Então: (A) f tem necessariamente derivada finita em = 0; (B) f não tem com certeza derivada finita

Leia mais

Prova de Admissão para o Mestrado em Matemática IME-USP - 23.11.2007

Prova de Admissão para o Mestrado em Matemática IME-USP - 23.11.2007 Prova de Admissão para o Mestrado em Matemática IME-USP - 23.11.2007 A Nome: RG: Assinatura: Instruções A duração da prova é de duas horas. Assinale as alternativas corretas na folha de respostas que está

Leia mais

INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Apontamentos: Curso de Conhecimentos Básicos de Matemática Cursos do Departamento de Gestão Maria Cristina

Leia mais

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente

Leia mais

Introdução às equações diferenciais

Introdução às equações diferenciais Introdução às equações diferenciais Professor Leonardo Crochik Notas de aula 1 O que é 1. é uma equação:... =... 2. a incógnita não é um número x R, mas uma função x(t) : R R 3. na equação estão presentes,

Leia mais

Introdução à Topologia Resoluções de exercícios. Capítulo 1

Introdução à Topologia Resoluções de exercícios. Capítulo 1 Introdução à Topologia Resoluções de exercícios Exercício nº5 (alíneas 3. e 4.) Capítulo 1 É imediato, directamente a partir da definição, que, dados r, s Q, d p (r, s) e que d p (r, s) = se e só se r

Leia mais

9. Derivadas de ordem superior

9. Derivadas de ordem superior 9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de

Leia mais

Problemas de Otimização. Problemas de Otimização. Solução: Exemplo 1: Determinação do Volume Máximo

Problemas de Otimização. Problemas de Otimização. Solução: Exemplo 1: Determinação do Volume Máximo UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Eemplo 1: Determinação

Leia mais

4 Operações aritméticas em sistema de vírgula flutuante

4 Operações aritméticas em sistema de vírgula flutuante 77 4 Operações aritméticas em sistema de vírgula lutuante 4. Introdução É imediato reconhecer que, dados dois números, F, o resultado de qualquer das operações aritméticas +, -,, com esses números pode

Leia mais

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y).

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y). PUCRS FACULDADE DE ATEÁTICA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PROF. LUIZ EDUARDO OURIQUE EQUAÇÔES EXATAS E FATOR INTEGRANTE Definição. A diferencial de uma função de duas variáveis f(x,) é definida por df = f x (x,)dx

Leia mais

CAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR

CAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA CAPÍULO 6 ANSFOMAÇÃO LINEA Introdução Muitos problemas de Matemática Aplicada envolvem o estudo de transformações, ou seja, a maneira como certos dados de entrada são

Leia mais

Circuitos de 2 ª ordem: RLC. Parte 1

Circuitos de 2 ª ordem: RLC. Parte 1 Circuitos de 2 ª ordem: RLC Parte 1 Resposta natural de um circuito RLC paralelo Veja circuito RLC paralelo abaixo: A tensão é a mesma e aplicando a soma de correntes que saem do nó superior temos: v R

Leia mais

1 A Integral por Partes

1 A Integral por Partes Métodos de Integração Notas de aula relativas aos dias 14 e 16/01/2004 Já conhecemos as regras de derivação e o Teorema Fundamental do Cálculo. Este diz essencialmente que se f for uma função bem comportada,

Leia mais

Teorema de Taylor. Prof. Doherty Andrade. 1 Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange. 2 Exemplos 2. 3 Exercícios 3. 4 A Fórmula de Taylor 4

Teorema de Taylor. Prof. Doherty Andrade. 1 Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange. 2 Exemplos 2. 3 Exercícios 3. 4 A Fórmula de Taylor 4 Teorema de Taylor Prof. Doherty Andrade Sumário 1 Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange 1 2 Exemplos 2 3 Exercícios 3 4 A Fórmula de Taylor 4 5 Observação 5 1 Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange

Leia mais

A otimização é o processo de

A otimização é o processo de A otimização é o processo de encontrar a melhor solução (ou solução ótima) para um problema. Eiste um conjunto particular de problemas nos quais é decisivo a aplicação de um procedimento de otimização.

Leia mais

ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 1996/97

ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 1996/97 ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 996/97 Teoria de Erros A Teoria de Erros fornece técnicas para quantificar erros nos dados e nos resultados de cálculos com números aproximados. Nos cálculos aproximados deve-se

Leia mais

6 SINGULARIDADES E RESÍDUOS

6 SINGULARIDADES E RESÍDUOS 6 SINGULARIDADES E RESÍDUOS Quando uma função f (z) não é diferenciável num complexo z 0 ; diremos que z 0 é uma singularidade de f (z) ; z 0 dir-se-á uma singularidade isolada de f (z) se, contudo, f

Leia mais

por séries de potências

por séries de potências Seção 23: Resolução de equações diferenciais por séries de potências Até este ponto, quando resolvemos equações diferenciais ordinárias, nosso objetivo foi sempre encontrar as soluções expressas por meio

Leia mais

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Terminologia e Definições Básicas No curso de cálculo você aprendeu que, dada uma função y f ( ), a derivada f '( ) d é também, ela mesma, uma função de e

Leia mais

Introdução aos Modelos Biomatemáticos - aulas

Introdução aos Modelos Biomatemáticos - aulas Introdução aos Modelos Biomatemáticos - aulas Teórico-Práticas Mestrado em BBC, 2008/2009 1 Capítulo 1 Nos exercícios 1) e 2) suponha que o crescimento é exponencial. 1. Entre 1700 e 1800 a população humana

Leia mais

(Testes intermédios e exames 2005/2006)

(Testes intermédios e exames 2005/2006) 158. Indique o conjunto dos números reais que são soluções da inequação log 3 (1 ) 1 (A) [,1[ (B) [ 1,[ (C) ], ] (D) [, [ 159. Na figura abaio estão representadas, em referencial o. n. Oy: parte do gráfico

Leia mais

Capítulo 5: Aplicações da Derivada

Capítulo 5: Aplicações da Derivada Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f

Leia mais

INSTITUTO TECNOLÓGICO

INSTITUTO TECNOLÓGICO PAC - PROGRAMA DE APRIMORAMENTO DE CONTEÚDOS. ATIVIDADES DE NIVELAMENTO BÁSICO. DISCIPLINAS: MATEMÁTICA & ESTATÍSTICA. PROFº.: PROF. DR. AUSTER RUZANTE 1ª SEMANA DE ATIVIDADES DOS CURSOS DE TECNOLOGIA

Leia mais

Teorema da Mudança de Coordenadas

Teorema da Mudança de Coordenadas Instituto uperior écnico Departamento de Matemática ecção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires eorema da Mudança de Coordenadas 1 Mudança de Coordenadas Definição 1 eja n um aberto. Diz-se que uma

Leia mais

Uma e.d.o. de segunda ordem é da forma

Uma e.d.o. de segunda ordem é da forma Equações Diferenciais de Ordem Superior Uma e.d.o. de segunda ordem é da forma ou então d 2 y ( dt = f t, y, dy ) 2 dt y = f(t, y, y ). (1) Dizemos que a equação (1) é linear quando a função f for linear

Leia mais

Karine Nayara F. Valle. Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta

Karine Nayara F. Valle. Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta Karine Nayara F. Valle Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta Professor Orientador: Alberto Berly Sarmiento Vera Belo Horizonte 2012 Karine Nayara F. Valle Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta Monografia

Leia mais

Exercícios 1. Determinar x de modo que a matriz

Exercícios 1. Determinar x de modo que a matriz setor 08 080509 080509-SP Aula 35 MATRIZ INVERSA Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou não singular, se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A, tal que: A A = A A = I n

Leia mais

Universidade Federal de São Carlos Departamento de Matemática 083020 - Curso de Cálculo Numérico - Turma E Resolução da Primeira Prova - 16/04/2008

Universidade Federal de São Carlos Departamento de Matemática 083020 - Curso de Cálculo Numérico - Turma E Resolução da Primeira Prova - 16/04/2008 Universidade Federal de São Carlos Departamento de Matemática 08300 - Curso de Cálculo Numérico - Turma E Resolução da Primeira Prova - 16/0/008 1. (0 pts.) Considere o sistema de ponto flutuante normalizado

Leia mais

Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro De Ciências Exatas e da Terra. Departamento de Física Teórica e Experimental

Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro De Ciências Exatas e da Terra. Departamento de Física Teórica e Experimental Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro De Ciências Exatas e da Terra Departamento de Física Teórica e Experimental Programa de Educação Tutorial Curso de Nivelamento: Pré-Cálculo PET DE FÍSICA:

Leia mais

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia) III Resolução de sistemas lineares por métodos numéricos. Objetivos: Veremos

Leia mais

Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp.

Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp. Álgebra Linear AL Luiza Amalia Pinto Cantão Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp.br Transformações Lineares 1 Definição e Exemplos 2 Núcleo e Imagem

Leia mais

Matemáticas Gerais. (Licenciatura em Geologia) Caderno de exercícios (exercícios propostos e tabelas) Armando Gonçalves e Maria João Rodrigues

Matemáticas Gerais. (Licenciatura em Geologia) Caderno de exercícios (exercícios propostos e tabelas) Armando Gonçalves e Maria João Rodrigues Matemáticas Gerais (Licenciatura em Geologia Caderno de eercícios (eercícios propostos e tabelas Armando Gonçalves e Maria João Rodrigues Departamento de Matemática Faculdade de Ciências e Tecnologia da

Leia mais

Exercícios Adicionais

Exercícios Adicionais Exercícios Adicionais Observação: Estes exercícios são um complemento àqueles apresentados no livro. Eles foram elaborados com o objetivo de oferecer aos alunos exercícios de cunho mais teórico. Nós recomendamos

Leia mais

Estudo das Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem

Estudo das Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem Estudo das Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem Ricardo Aparecido de Moraes 11 de novembro de 2011 1 Sumário 1 Introdução às Equações Diferenciais 4 1.1 Denições..................................

Leia mais

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante Capítulo 2 Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante 2.1 Introdução Neste capítulo, chamamos atenção para o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto

Leia mais

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS GRUPO Educação adistância Caderno de Estudos EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Prof. Ruy Piehowiak Editora UNIASSELVI 2012 NEAD Copyright Editora UNIASSELVI 2012 Elaboração: Prof. Ruy Piehowiak Revisão, Diagramação

Leia mais

ESPAÇOS MUNIDOS DE PRODUTO INTERNO

ESPAÇOS MUNIDOS DE PRODUTO INTERNO ESPAÇOS MUNIDOS DE PRODUTO INTERNO Angelo Fernando Fiori 1 Bruna Larissa Cecco 2 Grazielli Vassoler 3 Resumo: O presente trabalho apresenta um estudo sobre os espaços vetoriais munidos de produto interno.

Leia mais

Um estudo sobre funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto

Um estudo sobre funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto Um estudo sobre funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto Maria Angélica Araújo Universidade Federal de Uberlândia - Faculdade de Matemática Graduanda em Matemática - Programa de Educação

Leia mais

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 69 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Rafael de Freitas Manço (UNI-FACEF) Antônio Acra Freiria (UNI-FACEF) INTRODUÇÃO Nas mais diversas áreas das ciências as equações diferenciais aparecem em situações práticas.

Leia mais

Desta propriedade, caminhando no sentido inverso, retira-se a regra de primitivação por partes, que se apresenta no seguinte. f g = fg fg.

Desta propriedade, caminhando no sentido inverso, retira-se a regra de primitivação por partes, que se apresenta no seguinte. f g = fg fg. HÉLIO BERNARDO LOPES Resumo. Epõem-se neste teto os fundamentos do método de primitivação por partes, que se estuda nas disciplinas de Análise Matemática de muitos dos cursos de licenciatura de natureza

Leia mais

Problemas sobre Sistemas Não Lineares

Problemas sobre Sistemas Não Lineares Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Controlo em Espaço de Estados Problemas sobre Sistemas Não Lineares Organizada por J. Miranda Lemos 0 J. M. Lemos IST P. (Construção do

Leia mais

Equações Diferenciais

Equações Diferenciais Equações Diferenciais EQUAÇÕES DIFERENCIAS Em qualquer processo natural, as variáveis envolvidas e suas taxas de variação estão interligadas com uma ou outras por meio de princípios básicos científicos

Leia mais

29/Abril/2015 Aula 17

29/Abril/2015 Aula 17 4/Abril/015 Aula 16 Princípio de Incerteza de Heisenberg. Probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região. Posição média de uma partícula. Partícula numa caixa de potencial: funções de onda

Leia mais

v m = = v(c) = s (c).

v m = = v(c) = s (c). Capítulo 17 Teorema do Valor Médio 17.1 Introdução Vimos no Cap. 16 como podemos utilizar a derivada para traçar gráficos de funções. Muito embora o apelo gráfico apresentado naquele capítulo relacionando

Leia mais

ficha 3 espaços lineares

ficha 3 espaços lineares Exercícios de Álgebra Linear ficha 3 espaços lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12 3 Notação Sendo

Leia mais

Identifique todas as folhas Folhas não identificadas NÃO SERÃO COTADAS. Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa EXAME DE CÁLCULO I

Identifique todas as folhas Folhas não identificadas NÃO SERÃO COTADAS. Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa EXAME DE CÁLCULO I Identifique todas as folhas Folhas não identificadas NÃO SERÃO COTADAS Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa EXAME DE CÁLCULO I Ano Lectivo 009-10 - 1º Semestre Eame Final de ª Época em 0 de

Leia mais

Análise de regressão linear simples. Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu

Análise de regressão linear simples. Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Análise de regressão linear simples Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Introdução A análise de regressão estuda o relacionamento entre uma variável chamada a variável dependente

Leia mais

x As VpULHVGHSRWrQFLDV são um caso particularmente importante das séries de funções, com inúmeras aplicações tanto teóricas como práticas.

x As VpULHVGHSRWrQFLDV são um caso particularmente importante das séries de funções, com inúmeras aplicações tanto teóricas como práticas. Å 6pULHV GH SRWrQFLDV As VpULHVGHSRWrQFLDV são um caso particularmente importante das séries de funções, com inúmeras aplicações tanto teóricas como práticas. Um eemplo típico é a série, O cálculo do valor

Leia mais

Figura 2.1: Carro-mola

Figura 2.1: Carro-mola Capítulo 2 EDO de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes 2.1 Introdução - O Problema Carro-Mola Considere um carro de massa m preso a uma parede por uma mola e imerso em um fluido. Colocase o carro

Leia mais

CSE-020 Revisão de Métodos Matemáticos para Engenharia

CSE-020 Revisão de Métodos Matemáticos para Engenharia CSE-020 Revisão de Métodos Matemáticos para Engenharia Engenharia e Tecnologia Espaciais ETE Engenharia e Gerenciamento de Sistemas Espaciais L.F.Perondi Engenharia e Tecnologia Espaciais ETE Engenharia

Leia mais

Truques e Dicas. = 7 30 Para multiplicar fracções basta multiplicar os numeradores e os denominadores: 2 30 = 12 5

Truques e Dicas. = 7 30 Para multiplicar fracções basta multiplicar os numeradores e os denominadores: 2 30 = 12 5 Truques e Dicas O que se segue serve para esclarecer alguma questão que possa surgir ao resolver um exercício de matemática. Espero que lhe seja útil! Cap. I Fracções. Soma e Produto de Fracções Para somar

Leia mais

Processos Estocásticos

Processos Estocásticos Processos Estocásticos Terceira Lista de Exercícios 22 de julho de 20 Seja X uma VA contínua com função densidade de probabilidade f dada por Calcule P ( < X < 2. f(x = 2 e x x R. A fdp dada tem o seguinte

Leia mais

EA616 - Análise Linear de Sistemas Aula 28 - Estabilidade do Estado

EA616 - Análise Linear de Sistemas Aula 28 - Estabilidade do Estado Aula 28 EA616 - Análise Linear de Sistemas Aula 28 - Estabilidade do Estado Prof. Ricardo C.L.F. Oliveira Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação Universidade Estadual de Campinas 2 o Semestre

Leia mais

Correlação. Ivan Bezerra Allaman

Correlação. Ivan Bezerra Allaman Correlação Ivan Bezerra Allaman Introdução Vamos supor que um inspetor de segurança queira determinar se eiste uma relação entre o número de horas de treinamento de um empregado e o número de acidentes

Leia mais

Lista 1 para a P2. Operações com subespaços

Lista 1 para a P2. Operações com subespaços Lista 1 para a P2 Observação 1: Estes exercícios são um complemento àqueles apresentados no livro. Eles foram elaborados com o objetivo de oferecer aos alunos exercícios de cunho mais teórico. Nós sugerimos

Leia mais

Equações Diferenciais Ordinárias

Equações Diferenciais Ordinárias Capítulo 8 Equações Diferenciais Ordinárias Vários modelos utilizados nas ciências naturais e exatas envolvem equações diferenciais. Essas equações descrevem a relação entre uma função, o seu argumento

Leia mais

Análise de Regressão Linear Simples e Múltipla

Análise de Regressão Linear Simples e Múltipla Análise de Regressão Linear Simples e Múltipla Carla Henriques Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Carla Henriques (DepMAT ESTV) Análise de Regres. Linear Simples e Múltipla

Leia mais

Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias

Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática Aplicada - Mestrados

Leia mais

FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE

FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO ASSUNTO: INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS, EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM SEPARÁVEIS, HOMOGÊNEAS, EXATAS, FATORES

Leia mais

MATEMÁTICA I ECONOMIA (5598) Ficha de exercícios 1 (2012/2013)

MATEMÁTICA I ECONOMIA (5598) Ficha de exercícios 1 (2012/2013) Universidade da Beira Interior - Departamento de Matemática MATEMÁTICA I ECONOMIA (5598) Ficha de eercícios (0/03). Determine o conjunto dos pontos interiores, eteriores e fronteiros dos seguintes conjuntos:

Leia mais

Electricidade e magnetismo

Electricidade e magnetismo Electricidade e magnetismo Circuitos eléctricos 3ª Parte Prof. Luís Perna 2010/11 Corrente eléctrica Qual a condição para que haja corrente eléctrica entre dois condutores A e B? Que tipo de corrente eléctrica

Leia mais

CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS

CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS 15 CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS Um dos problemas que ocorrem mais frequentemente em trabalhos científicos é calcular as raízes de equações da forma: f() = 0. A função f() pode ser um polinômio em

Leia mais

APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II z t t C C α y β y Colaboradores para elaboração da apostila: Elisandra Bär de Figueiredo, Enori Carelli, Ivanete Zuchi Siple, Marnei Luis Mandler, Rogério

Leia mais

Evocar os conceitos do MRUV (movimento retilíneo uniformemente variado), do MRU (movimento retilíneo uniforme) e a decomposição de forças.

Evocar os conceitos do MRUV (movimento retilíneo uniformemente variado), do MRU (movimento retilíneo uniforme) e a decomposição de forças. 14 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos Objetivos da segunda aula da unidade 1: Evocar os conceitos do MRUV (movimento retilíneo uniformemente variado), do MRU (movimento retilíneo uniforme) e a decomposição

Leia mais

Aula 29. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil

Aula 29. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil A integral de Riemann - Mais aplicações Aula 29 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 20 de Maio de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia Mecânica

Leia mais

Séries de Potências de x

Séries de Potências de x Séries de Potências de x As séries de potências de x são uma generalização da noção de polinómio. Definição: Chama-se série de potências de x com coeficientes a 0, a 1,, a n,, a qualquer série da forma

Leia mais

PARECER DOS RECURSOS

PARECER DOS RECURSOS Associação Catarinense das Fundações Educacionais ACAFE PROCESSO SELETIVO ADMISSÃO DE PROFESSORES EM CARÁTER TEMPORÁRIO EDITAL Nº 15/ 2012/ SED PARECER DOS RECURSOS CARGO: Professor de Matemática 11) Uma

Leia mais

Teorema da Mudança de Variáveis

Teorema da Mudança de Variáveis Instituto Superior écnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires eorema da Mudança de Variáveis 1 Mudança de Variáveis Definição 1 Seja R n um aberto. Di-se que uma

Leia mais

Métodos Quantitativos Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo. Funções Exponenciais e Logarítmicas Progressões Matemáticas

Métodos Quantitativos Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo. Funções Exponenciais e Logarítmicas Progressões Matemáticas Métodos Quantitativos Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo Funções Exponenciais e Logarítmicas Progressões Matemáticas Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Objetivos

Leia mais

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma

Leia mais

(Testes intermédios e exames 2010/2011)

(Testes intermédios e exames 2010/2011) (Testes intermédios e eames 00/0) 57. Na Figura, está parte da representação gráfica da função f, de domínio +, definida por f() = log 9 () Em qual das opções seguintes está definida uma função g, de domínio,

Leia mais

Estudo do Sinal de uma Função

Estudo do Sinal de uma Função Capítulo 4 Estudo do Sinal de uma Função 4.1 Introdução Neste Capítulo discutimos o problema do estudo do sinal de uma função, assunto muitas vezes tratado de forma rápida e supercial nos ensinos básico

Leia mais

28 de agosto de 2015. MAT140 - Cálculo I - Derivação Impĺıcita e Derivadas de Ordem Superior

28 de agosto de 2015. MAT140 - Cálculo I - Derivação Impĺıcita e Derivadas de Ordem Superior MAT140 - Cálculo I - Derivação Impĺıcita e Derivadas de Ordem Superior 28 de agosto de 2015 Derivação Impĺıcita Considere o seguinte conjunto R = {(x, y); y = 2x + 1} O conjunto R representa a reta definida

Leia mais

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO VERSÃO 1

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO VERSÃO 1 EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos PROVA 435/9 Págs. Duração da prova: 120 minutos 2005 1.ª FASE

Leia mais

(Exames Nacionais 2000)

(Exames Nacionais 2000) (Eames Nacionais 000) 1.a) Seja [ABC] um triângulo O ângulo, assinalado na figura, tem o seu vértice no centro isósceles em que BA = BC. Seja α da Terra; o seu lado origem passa no perigeu, o seu lado

Leia mais

FUNÇÃO DE 1º GRAU. = mx + n, sendo m e n números reais. Questão 01 Dadas as funções f de IR em IR, identifique com um X, aquelas que são do 1º grau.

FUNÇÃO DE 1º GRAU. = mx + n, sendo m e n números reais. Questão 01 Dadas as funções f de IR em IR, identifique com um X, aquelas que são do 1º grau. FUNÇÃO DE 1º GRAU Veremos, a partir daqui algumas funções elementares, a primeira delas é a função de 1º grau, que estabelece uma relação de proporcionalidade. Podemos então, definir a função de 1º grau

Leia mais

3 Matemática financeira e atuarial

3 Matemática financeira e atuarial 3 Matemática financeira e atuarial A teoria dos juros compostos em conjunto com a teoria da probabilidade associada à questão da sobrevivência e morte de um indivíduo são os fundamentos do presente trabalho.

Leia mais

5. Sistemas Não lineares

5. Sistemas Não lineares Modelação e Simulação 5.Sistemas não lineares 5. Sistemas Não lineares Objectivo: Após completar este módulo, o aluno deverá ser capaz de: ) Aproimar um sistema não linear por um sistema linearizado em

Leia mais

2) A área da parte mostarda dos 100 padrões é 6. 9. 2. 3) A área total bordada com a cor mostarda é (5400 + 3700) cm 2 = 9100 cm 2

2) A área da parte mostarda dos 100 padrões é 6. 9. 2. 3) A área total bordada com a cor mostarda é (5400 + 3700) cm 2 = 9100 cm 2 MATEMÁTICA 1 Um tapete deve ser bordado sobre uma tela de m por m, com as cores marrom, mostarda, verde e laranja, da seguinte forma: o padrão quadrado de 18 cm por 18 cm, mostrado abaio, será repetido

Leia mais

4 Mudança de Coordenadas

4 Mudança de Coordenadas Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Última atualização: 14 de outubro de 006 4 Mudança de Coordenadas Translação e Rotação de Curvas no R² Introdução O enfoque dos 3 primeiros capítulos

Leia mais

I. Cálculo Diferencial em R n

I. Cálculo Diferencial em R n Análise Matemática II Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Ano Lectivo 2010/2011 2 o Semestre Exercícios propostos para as aulas práticas I. Cálculo Diferencial em R n Departamento

Leia mais

2ª fase. 19 de Julho de 2010

2ª fase. 19 de Julho de 2010 Proposta de resolução da Prova de Matemática A (código 635) ª fase 19 de Julho de 010 Grupo I 1. Como só existem bolas de dois tipos na caixa e a probabilidade de sair bola azul é 1, existem tantas bolas

Leia mais

24/Abril/2013 Aula 19. Equação de Schrödinger. Aplicações: 1º partícula numa caixa de potencial. 22/Abr/2013 Aula 18

24/Abril/2013 Aula 19. Equação de Schrödinger. Aplicações: 1º partícula numa caixa de potencial. 22/Abr/2013 Aula 18 /Abr/013 Aula 18 Princípio de Incerteza de Heisenberg. Probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região. Posição média de uma partícula. Partícula numa caixa de potencial: funções de onda e níveis

Leia mais

CURSO DE CÁLCULO INTEGRAIS

CURSO DE CÁLCULO INTEGRAIS CURSO DE CÁLCULO MÓDULO 4 INTEGRAIS SUMÁRIO Unidade 1- Integrais 1.1- Introdução 1.2- Integral Indefinida 1.3- Propriedades da Integral Indefinida 1.4- Algumas Integrais Imediatas 1.5- Exercícios para

Leia mais

NIVELAMENTO 2007/1 MATEMÁTICA BÁSICA. Núcleo Básico da Primeira Fase

NIVELAMENTO 2007/1 MATEMÁTICA BÁSICA. Núcleo Básico da Primeira Fase NIVELAMENTO 00/ MATEMÁTICA BÁSICA Núcleo Básico da Primeira Fase Instituto Superior Tupy Nivelamento de Matemática Básica ÍNDICE. Regras dos Sinais.... Operações com frações.... Adição e Subtração....

Leia mais

Exercícios Complementares 5.2

Exercícios Complementares 5.2 Exercícios Complementares 5.2 5.2A Veri que se a função dada é ou não solução da edo indicada: (a) y = 2e x + xe x ; y 00 + 2y 0 + y = 0: (b) x = C e 2t + C 2 e 3t ; :: x 0 : x + 6x = 0: (c) y = ln x;

Leia mais