1 ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA

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1 Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA II 1 ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA Circunferência é o conjunto de pontos que está a uma mesma distância (chamaremos essa distância de raio) de um ponto fixo (chamaremos de centro da circunferência) Na prática: Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato Observação MUITO importante: (aprenda muito bem porque isso cai MUITO nos vestibulares): O R Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência Em uma figura: Figura 1 circunferência de centro e raio Na figura 1, todos os pontos da curva pontos estão à mesma distância do centro da circunferência Teremos especial interesse no cálculo da área do círculo e do perímetro da circunferência, dados por as seguintes fórmulas: Lembrando agora algumas retas e segmentos especiais que possuem relação com a circunferência : Figura 3 retas tangentes à circunferência Temos aqui retas tangentes em dois pontos: e Note que em ambos, a tangente é perpendicular ao raio que liga o ponto de tangência ao centro da circunferência Observação: Imagine uma corda da circunferência Caso baixemos um perpendicular à corda passando pelo centro da circunferência, encontraremos o ponto Este ponto será tal que Figura 4 perpendicular à corda da circunferência Figura 2 circunferência e retas e segmentos especiais Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência é uma corda que passa pelo centro da circunferência Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência e vale o dobro do raio Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer 2 ÂNGULOS Depois de aprender a medir comprimentos, áreas e volumes na aula passada, vamos ver como medir e calcular algo que você tem que dominar muito bem: ângulos Ângulo nada mais é que a abertura entre duas retas Geralmente eles são medidos em graus ou em radianos Uma volta completa tem ou radianos CASD Vestibulares Geometria 1

2 21 Classificação quanto à medida Ângulo agudo: É aquele que tem medida menor que 22 Classificação quanto à soma Dois ângulos são complementares quando somam Nesse caso, dizemos que um é o complemento do outro Exemplos: e, e Figura 5 ângulo agudo Ângulo reto: É aquele que tem medida igual a Figura 10 dois ângulos complementares Figura 6 ângulo reto Dois ângulos são suplementares quando somam Nesse caso, dizemos que um é o suplemento do outro Exemplos: e, e Ângulo obtuso: É aquele que tem medida maior que Figura 11 dois ângulos suplementares Figura 7 ângulo obtuso Ângulo raso ou de meia volta: É aquele que representa meia volta de uma circunferência e vale Dois ângulos são replementares quando somam Dizemos que um é o suplemento do outro Exemplos: e, e Figura 8 ângulo raso Agora bastante atenção para a próxima definição Será algo utilizado exaustivamente durante o ano Ângulos opostos pelo vértice (OPV) Figura 12 dois ângulos replementares 3 CONVERSÃO DE UNIDADES A unidade de medida mais comum e mais importante é o grau Ele pode ser definido da seguinte forma: Definição: o grau (º) é o ângulo cuja medida é de uma volta completa (uma circunferência) Figura 9 ângulo opostos pelo vértice Ângulos opostos pelo vértice, como na figura acima, sempre possuem mesma medida possui Da definição, tem-se que uma circunferência Assim, uma semicircunferência possui e um quarto de circunferência possui No entanto, o grau não é a única unidade de ângulos Outra unidade que é bastante utilizada (principalmente em trigonometria) é o radiano (rad) E como vamos saber quantos radianos um ângulo tem? Para saber isso, temos que dividir o comprimento do arco que o ângulo determina em uma circunferência pelo raio da circunferência Observe os exemplos: 2 Geometria CASD Vestibulares

3 Um ângulo de determina um arco de uma volta completa em uma circunferência Se o raio da circunferência é, o comprimento do arco de uma volta completa é Dividindo esse comprimento pelo comprimento do raio, chegamos ao número Logo um ângulo de possui radianos Um ângulo de determina uma semicircunferência em uma circunferência Se o raio da circunferência é, o comprimento da semicircunferência é Dividindo esse comprimento pelo comprimento do raio, chegamos ao número Logo um ângulo de possui radianos Exercício Resolvido 1: Atividade para Sala nº 1, Geometria Plana II Sejam o centro e o raio da semicircunferência Logo Como, tem-se que Então a figura do problema é a seguinte: Um ângulo de determina um arco de um quarto de circunferência em uma circunferência Se o raio da circunferência é, o comprimento de um quarto de circunferência é Dividindo esse comprimento pelo comprimento do raio, chegamos ao número Logo um ângulo de possui radianos Observe que sempre que dividimos a medida de um ângulo em graus é diretamente proporcional à medida do mesmo ângulo em radianos Além disso, observe que 1 semicircunferência e 1 semicircunferência Logo: Figura 13 figura do exercício resolvido 1 A relação acima é muito importante quando queremos converter graus em radianos e vice-versa 31 Submúltiplos do grau Como é um quadrado de lado, a sua área é Além disso, como a área de um círculo é, a área do semicírculo da figura é Logo, a área total do canteiro é a área do quadrado mais a área do semicírculo: Nós acabamos de ver que o grau é de uma circunferência Agora, vamos conhecer os submúltiplos do grau, que são ainda menores do que ele! Minuto: 1 minuto é de um grau, ou seja, 1 grau equivale a 60 minutos Portanto, pode-se dizer que Além disso, a área do canteiro é Então: Segundo: 1 segundo é de um minuto, ou seja, 1 minuto equivale a 60 segundos Portanto, podese dizer que Resposta: Alternativa E Agora podemos falar que um ângulo pode medir (que precisão!) Note que não é correto dizer que um ângulo vale : como temos mais de 60 minutos, devemos dividir o total de minutos por 60, converter o excesso de minutos em graus, de modo a sobrar apenas o resto Observe: Exercício Resolvido 2: Atividade para Sala nº 3, Geometria Plana II voltas voltas voltas Assim: Resposta: Alternativa B CASD Vestibulares Geometria 3

4 Exercício Resolvido 3: Exercício Resolvido 5: Determine o valor de e de acordo com a figura abaixo: Converta em radianos Aplicando uma regra de três simples, tem-se que: Figura 14 figura do exercício resolvido 3 Logo: Resposta: equivale a e são ângulos opostos pelo vértice, logo são iguais Então, temos: Exercício Resolvido 6: Converta em graus deles é e são ângulos suplementares, logo a soma Então, temos: Aplicando uma regra de três simples, tem-se que: Resposta: e Logo: Exercício Resolvido 4: Qual é o ângulo cujo suplemento excede de quádruplo do seu complemento? Esta questão à primeira vista parece um pouco confusa, mas ela fica bem bacana depois que você organiza os dados Vamos lá: Seja o ângulo que queremos descobrirlogo: Suplemento de : Complemento de : Quádruplo do complemento de : Agora, de acordo com o enunciado, o suplemento de excede de (isto é, tem um excesso de ) o quádruplo do seu complemento Matematicamente falando: o Resposta: equivale a Expresse Exercício Resolvido 7: na maneira correta Para expressar na maneira correta, os números nas casas dos minutos e dos segundos devem ser menores que 60 Então: Vamos converter o excesso de segundos: Vamos converter o excesso de minutos: Resposta: expresso na maneira correta é Resposta: o ângulo cujo suplemento excede de quádruplo do seu complemento é o 4 Geometria CASD Vestibulares

5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Os exercícios abaixo (quando indicados por Atividade Proposta nº ) referem-se às Atividades Propostas do capítulo Geometria Plana II Nível I 1 Atividade Proposta nº 5 2 (UFPB - 07) Um ciclista, para vencer uma competição, percorreu em uma bicicleta com rodas de raio (incluindo o pneu) O número de voltas completas que cada roda da bicicleta deu, para percorrer essa distância, foi: (use ) 3 (UFTM - 11) O maior relógio de torre de toda a Europa é o da Igreja St Peter, na cidade de Zurique, Suíça, que foi construído durante uma reforma do local, em 1970 (O Estado de SPaulo Adaptado) O mostrador desse relógio tem formato circular, e o seu ponteiro dos minutos mede Considerando, a distância que a extremidade desse ponteiro percorre durante minutos é, aproximadamente, 4 (UFC - 04) Na figura ao lado, a razão entre o perímetro da região hachurada e o perímetro da circunferência é: 5 Atividade Proposta nº 2 8 Atividade Proposta nº 3 9 Determine a medida do ângulo igual ao triplo do seu complemento 10 Exprima em radianos os seguintes ângulos: a) b) c) d) e) f) 11 Exprima os ângulos abaixo em graus: a) b) c) d) Nível II 12 Você tem dois pedaços de arame de mesmo comprimento e pequena espessura Um deles você usa para formar o círculo da figura I, e o outro você corta em partes iguais para formar os três círculos da figura II Se é a área do círculo maior e é a área de um dos círculos menores, a relação entre e é dada por: 13 (UFV - 99) Aumentando-se no raio de uma circunferência, o comprimento e a área, respectivamente, aumentam: a) e b) e c) e d) e e) e 14 Calcule o ângulo abaixo a) 6 Atividade Proposta nº 10 7 Determine nos casos abaixo: a) b) b) c) 15 Atividade Proposta nº 1 CASD Vestibulares Geometria 5

6 16 A razão entre dois ângulos suplementares é igual a Determine o complemento do menor 17 O complemento da terça parte de um ângulo excede o complemento desse ângulo em Determine o ângulo 18 Exprima em radianos os seguintes ângulos: f) g) h) i) j) 19 Exprima os ângulos abaixo em graus: f) g) h) i) j) DICAS E FATOS QUE AJUDAM 1 Comprimento da circunferência (não se esqueça de que ) 2 Comprimento da circunferência (não se esqueça de que ) 3 Comprimento da circunferência (não se esqueça de que o ponteiro dos minutos dá uma volta completa em, logo ele dá de volta em ) 4 Seja o raio da circunferência A região hachurada corresponde a dois pedaços, cada um sendo igual a de um círculo Note que o contorno de cada pedaço é formado por dois segmentos retos (cada um igual a ) e um arco de de circunferência (de comprimento ) Assim, o perímetro de cada pedaço é: 6 Note que o diâmetro do semicírculo é, logo o seu raio é Assim, a altura do retângulo é Agora some a área do retângulo com a área do semicírculo (a área do semicírculo é metade da área do círculo) 7a) Note que 7b) Note que 7c) Note que 8 Um ângulo de possui Dividindo por, o quociente é e o resto é Logo a pizza é dividida em fatias idênticas de e a fatia menor mede 9 Seja o ângulo que queremos descobrirlogo: Complemento de : Triplo do complemento de : Como o ângulo é igual ao triplo do seu complemento, matematicamente falando, tem-se: 10 Conversão de graus para radianos 11 Conversão de radianos para graus 12 O perímetro do círculo grande é o triplo do perímetro de um dos círculos pequenos, logo o raio do círculo grande é o triplo do raio de um dos círculos pequenos 13 Sejam o comprimento da primeira circunferência e a área do primeiro círculo Então, tem-se: Aumentando-se no raio, formou-se uma nova circunferência de comprimento e um novo círculo de área O aumento do comprimento é: Como a região hachurada é formada por dois pedaços, o perímetro da região hachurada é: Como o perímetro da circunferência é, a razão entre o perímetro da região hachurada e o perímetro da circunferência é 5 Diferença entre a área do quadrado e a área dos círculos (não se esqueça de que o diâmetro é o dobro do raio) O aumento da área é: 14 a) Note que e são opostos pelo vértice, logo Além disso, e são suplementares, logo 14 b) Note que e são opostos, pelo vértice, logo Além disso, e são suplementares, logo Resolva o sistema e calcule e Finalmente, note que e são opostos pelo vértice, logo 6 Geometria CASD Vestibulares

7 15 Como o diâmetro da circunferência é, o seu raio é e o seu comprimento é Dividindo o comprimento do menor arco pelo comprimento da circunferência, tem-se que: 1 B 2 B 3 B GABARITO Logo o menor arco corresponde a do comprimento da circunferência, correspondendo a um ângulo de Como o menor arco e o menor arco juntos formam uma semicircunferência (que corresponde a um ângulo de ), o menor arco corresponde a um ângulo de Assim, como o ângulo do setor é dobro do ângulo do setor, o setor representa o dobro de eleitores do setor, num total de eleitores 16 Seja um dos ânguloslogo o outro ângulo é Como a razão entre eles é, matematicamente falando, tem-se: 4 D 5 B 6 B 7 a) b) c) 8 C 9 O ângulo é 10 a) b) c) d) e) f) 11 a) b) c) d) 12 C Assim, o primeiro ângulo é e o segundo ângulo é Assim, o menor ângulo é e o seu complemento é 17 Seja o ângulo que queremos descobrirlogo: Complemento de : Terça parte de : Complemento da terça parte: Agora, de acordo com o enunciado, o complemento da terça parte de excede de (isto é, tem um excesso de ) o complemento de Matematicamente falando: 13 B 14 a) b) 15 C 16 O complemento do menor ângulo é 17 O ângulo é 18 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) Conversão de graus para radianos f) g) h) i) j) 19 Conversão de radianos para graus CASD Vestibulares Geometria 7