EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO VERSÃO 1

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1 EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos PROVA 435/9 Págs. Duração da prova: 120 minutos ª FASE PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA VERSÃO 1 Na sua folha de respostas, indique claramente a versão da prova. A ausência desta indicação implicará a anulação de todo o GRUPO I. A prova é constituída por dois Grupos, I e II. O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla. O Grupo II inclui seis questões de resposta aberta, algumas delas subdivididas em alíneas, num total de onze. V.S.F.F. 435.V1/1

2 Formulário Comprimento de um arco de circunferência! < (! amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; < raio) Áreas de figuras planas Losango: Trapézio: H < H /89< F+=/ 7+39< F+=/ 7/89< E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro Apótema Sector circular:! < (! amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; < raio) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 <1 ( < raio da base; 1 geratriz) 1 Área de uma superfície esférica: % < ( < raio) Volumes Pirâmide: " $ Cone: " $ Esfera: Área da base Altura Área da base Altura % $ Trigonometria $ 1 < ( < raio) sen Ð+,Ñ œ sen + Þ cos, sen, Þ cos + cos Ð+,Ñœ cos +Þ cos, sen +Þ sen, tg Ð+,Ñ œ tg + tg, " tg + Þ tg, Complexos a3-3= ) b 8 œ 38-3= Ð8 ) Ñ È8 3 ) È8 ) 5 1-3= œ 3-3= 8 ß 5 Ö!ß ÞÞÞß 8 " Progressões Soma dos 8 primeiros termos de uma Prog. Aritmética:?"? 8 8 " < Prog. Geométrica:? " " < Regras de derivação œ? œ 8 8 " Ð? Ñ œ 8 Þ? Þ? Ð8 Ñ Ð sen?ñ œ?þ cos? Ð cos?ñ œ?þ sen?? Ð tg?ñ œ cos??? Ð/ Ñ œ?þ/?? Ð+ Ñ œ? Þ + Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ? Ð ln?ñ œ?? Ð log +?Ñ œ?þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ Limites notáveis Ä! Ä! Ä! Ä _ Ä _ sen œ" / " œ" ln Ð "Ñ œ" ln œ! / : œ _ Ð: Ñ V1/2

3 Grupo I As sete questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas apenas a letra seleccionar para responder a cada questão. correspondente à alternativa que Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos, nem justificações. 1. Na figura, está representada parte do gráfico de uma função 0, contínua em. A função 0 tem apenas dois zeros: $ e ". Seja 1 a função definida por 1ÐÑ œ È 0ÐÑ Qual dos seguintes conjuntos pode ser o domínio da função 1? (A) (C) Ó _ß "Ó () Ï Ö $ß " Ó _ß $ c (D) c $ß _ c V.S.F.F. 435.V1/3

4 2. Considere uma função 0, de domínio Ö&, contínua em todo o seu domínio. Sabe-se que: 0ÐÑ œ $ Ä& Ä _ 0ÐÑ œ Ä _ Ò0ÐÑ Óœ! Em cada uma das opções seguintes, estão escritas duas equações, representando cada uma delas uma recta. Em qual das opções as duas rectas assim definidas são as assimptotas do gráfico da função 0? (A) (C) Cœ e Cœ () Cœ e œ& Cœ e œ& (D) Cœ $ e œ 3. Considere a função 0, de domínio, definida por 0ÐÑ œ cos. Qual das expressões seguintes dá a derivada de 0, no ponto 1? (A) Ä1 cos " 1 () Ä! cos 1 (C) Ä1 cos cos 1 (D) 1 Ä! 4. Na figura junta, está representada, em referencial o.n. SC, parte do gráfico da função 0, definida, em Ó "ß _Ò, por 0ÐÑ œ log a " b Na mesma figura, está também representado um triângulo rectângulo ÒEFSÓ. O ponto E tem abcissa $ e pertence ao gráfico de 0. O ponto F pertence ao eixo SC. Qual é a área do triângulo ÒEFSÓ? (A) " () (C) $ (D) % 435.V1/4

5 5. Seja H o espaço de resultados (com um número finito de elementos) associado a uma certa experiência aleatória. Sejam \ e ] dois acontecimentos (\ H e ] H ). Apenas uma das afirmações seguintes não é equivalente à igualdade TÐ\ ]Ñ œ!. Qual? (A) \ e ] () \ e ] são acontecimentos incompatíveis. não podem ocorrer simultaneamente. (C) Se \ ocorreu, ] não pode ocorrer. (D) \ e ] são ambos impossíveis. 6. A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória \ é dada pela tabela 3! % TÐ\ œ Ñ +,, 3 A média da variável aleatória \ é igual a ". Qual é o valor de + e qual é o valor de,? ( + e, designam números reais). (A) (C) +œ ",œ () +œ,œ % & & +œ,œ (D) +œ,œ $ ' ' 1 7. Em, conjunto dos números complexos, considere D œ-3= e D œ3. " % Sejam T e T as imagens geométricas, no plano complexo, de D e de D, respectivamente. " " Sabe-se que o segmento de recta T " T é um dos lados do polígono cujos vértices são as imagens geométricas das raízes de índice de um certo número complexo. Qual é o valor de 8? 8 A (A) % () ' (C) ) (D) "! V.S.F.F. 435.V1/5

6 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Seja o conjunto dos números complexos; 3 designa a unidade imaginária Considere Aœ " 3 3 Sem recorrer à calculadora, escreva A na forma trigonométrica Considere D œ -3=Ð! Ñ e D œ -3= Š! " Mostre que a imagem geométrica, no plano complexo, de bissectriz dos quadrantes ímpares. 1 D D " pertence à 2. Admita que o número de elementos de uma população de aves, > anos após o início de 1970, é dado aproximadamente por ( TÐ>Ñœ& "!, / ÐR QÑ >, >!, em que R e Q são duas constantes, denominadas, respectivamente, taxa de natalidade e taxa de mortalidade da população. Sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos, resolva as duas alíneas seguintes: 2.1. Sabendo que R Q calcule TÐ>Ñ >Ä _ e interprete o resultado obtido, no contexto do problema., 2.2. No início de 2000, a população era metade da que existia no início de Sabendo que a taxa de natalidade é (&',, determine a taxa de mortalidade. Apresente o resultado arredondado às centésimas. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 435.V1/6

7 3. Na figura está representada uma circunferência com centro no ponto S e raio $. Os diâmetros ÒIJ Ó e ÒKLÓ são perpendiculares. Considere que o ponto F se desloca sobre o arco JK. Os pontos E, G e H acompanham o movimento do ponto F, de tal forma que: as cordas ÒEFÓ e ÒGHÓ permanecem paralelas a ÒIJ Ó ; ÒEHÓ e ÒFGÓ são sempre diâmetros da circunferência. Os pontos M e N também acompanham o mesmo movimento, de tal forma que são sempre os pontos de intersecção de ÒKLÓ com ÒEFÓ e ÒGHÓ, respectivamente. Para cada posição do ponto F, seja a amplitude, em radianos, do ângulo JSF Š!ß Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de, por EÐÑ œ ") a sen Þ cos b Sugestão: use a decomposição sugerida na figura Recorra à calculadora para determinar graficamente a solução da equação que lhe permite resolver o seguinte problema: Qual é o valor de para o qual a área da região sombreada é igual a metade da área do círculo? Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de algum, ou de alguns, ponto(s). Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas. V.S.F.F. 435.V1/7

8 4. Seja 0 uma função, de domínio, tal que a sua derivada é dada por 0ÐÑœ ln, a Sem recorrer à calculadora, resolva as alíneas seguintes: 4.1. Seja < a recta tangente ao gráfico de 0 no ponto de abcissa ". Seja T o ponto de intersecção da recta < com o eixo S. Sabendo que 0Ð"Ñ œ $, determine a abcissa do ponto T Estude a função 0 quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão. 5. Num saco, estão três bolas pretas e nove bolas brancas, indistinguíveis ao tacto. Extraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, as doze bolas do saco. Determine: 5.1. A probabilidade de as duas primeiras bolas extraídas não serem da mesma cor. Apresente o resultado na forma de fracção irredutível A probabilidade de as três bolas pretas serem extraídas consecutivamente (umas a seguir às outras). Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. 6. Considere um prisma regular em que cada base tem 8 lados. Numa pequena composição, justifique que o número total de diagonais de todas as faces do prisma (incluindo as bases) é dado por 8 Ð G 8Ñ 8 FIM 435.V1/8

9 COTAÇÕES Grupo I Cada resposta certa Cada resposta errada Cada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II TOTAL V1/9

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