MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - Limites e Continuidade

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1 MATEMÁTICA A - 12o Ano Funções - Limites e Continuidade Eercícios de eames e testes intermédios 1. Para um certo número real k, é contínua em R a função f definida por 2 + e +k se 0 f() = 2 + ln( + 1) se > 0 Qual é o valor de k? (A) 0 (B) 1 (C) ln 2 (D) ln 3 Eame 2015, 2 a Fase 2. Considere a função f, de domínio R, definida por e se < 4 4 f() = ln(2e e 4 ) se 4 Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, averigue se a função f é contínua em = 4 3. Considere, para um certo número real k positivo, a função f, de domínio R, definida por Determine k de modo que 3 1 e 2 se < 0 f() = ln k se = 0 ( ) 6 2 ln + 1 se > 0 Eame 2014, 1 a Fase lim 0 f() = f(0), recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. Eame 2013, Ép. especial Página 1 de 11

2 e 1 1 se < Considere a função f, de domínio R, definida por f() = ln se 1 Seja g uma outra função, de domínio R Sabe-se que a função f g é contínua no ponto 1 Em qual das seguintes opções pode estar representada parte do gráfico da função g? (A) (B) (C) (D) Teste Intermédio 12 o ano Para um certo número real k, positivo, seja f a função, de domínio ], 1[ definida por ln(k ) se 0 f() = 2e + 1 ln se 0 < < 1 Sabe-se que f é contínua. Qual é o valor de k? (A) ln 2 (B) e 2 (C) ln 3 (D) e Seja f a função, de domínio R, definida por f() = ln(3 11) 4 se 4 se > 4 Averigue se eiste lim 4 f(), recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. Teste Intermédio 12 o ano Teste Intermédio 12 o ano Página 2 de 11

3 7. Considere a função f, de domínio R, definida por sen 1 se < f() = 1 e k+1 se = 0 com k R 1 e 4 se > 0 Determine k, de modo que lim 0 +f() = f(0), recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. Eame 2012, 2 a Fase 8. Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. Oy, parte do gráfico de uma função g, de domínio [a, + [ com a < 1 3 Para esse valor de a, a função f, contínua em R, é definida por ( log 3 1 ) se < a 3 f() = g() se a Qual é o valor de a? (A) 28 3 (B) 25 3 (C) 19 3 (D) 8 3 Eame 2012, 1 a Fase 9. Seja f a função de domínio R definida por Averigue se a função f é contínua em = 2 e 2e 2 se < 2 2 f() = 3e + ln( 1) se 2 Teste Intermédio 12 o ano Página 3 de 11

4 10. Para um certo valor de α e para um certo valor de β, é contínua no ponto 0 a função g, definida por e 2 1 se < 0 g() = α se = 0 β Qual é esse valor de α e qual é esse valor de β? ln( + 1) se > 0 (A) α = 1 e β = 2 (B) α = 2 e β = 3 (C) α = 1 e β = 3 (D) α = 2 e β = 1 Teste Intermédio 12 o ano Considere a função f, de domínio R, definida por k + 1 e 1 se < 1 1 f() = + ln se 1 (k designa um número real) Determine k, sabendo que f é contínua em = 1, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. Eame 2011, Prova especial 12. Considere a função f, de domínio R, definida por se 1 1 e+1 f() = a + 2 se = 1 (a é um número real.) Determine a sabendo que f é contínua em = 1, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. Eame 2011, Ép. especial e 2 e se > Considere a função h, de domínio R, definida por h() = ln( 2 + 1) se 0 Estude a continuidade da função h em = 0, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. 14. De uma função h, de domínio R, sabe-se que: h é uma função par; lim (h() 2) = 0 + Qual é o valor de lim h()? (A) + (B) 2 (C) 0 (D) Eame 2010, Ép. especial Eame 2010, 2 a Fase Página 4 de 11

5 15. Seja a um número real diferente de zero. Qual é o valor de lim 0 e a 1 a 2 + a 2? (A) 1 a (B) 1 2a (C) 0 (D) + Teste Intermédio 12 o ano Seja f a função, de domínio R + se 0 < < 2 2, definida por f() = e se 2 Usando eclusivamente métodos analíticos, averigúe se a função f é contínua em = 2 Teste Intermédio 12 o ano se > Considere a função h, de domínio R, definida por h() = 2 se = 0 e 2 1 se < 0 Recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, estude a continuidade de h no domínio R. Eame 2009, 2 a Fase 18. Num certo dia, o Fernando esteve doente e tomou, às 9 horas da manhã, um medicamento cuja concentração C(t) no sangue, em mg/l, t horas após o medicamento ter sido ministrado, é dada por C(t) = 2te 0,3t (t 0) Recorrendo a métodos eclusivamente analíticos, calcule conteto da situação apresentada. lim C(t) e interprete esse valor no t Considere a função g, de domínio [ 12, + [, definida por 2 + ln(1 + 2 ) se 1 2 < 1 Eame 2009, 1 a Fase g() = 2 se = 1 1 se > 1 1 Verifique se a função g é contínua em = 1, sem recorrer à calculadora. Teste Intermédio 12 o ano Para um certo valor de a, é contínua em R a função f definida por 2 2 se < a g() = 2 3 se a Qual é o valor de a? (A) 3 (B) 2 (C) 2 (D) 3 Teste Intermédio 12 o ano Página 5 de 11

6 21. Aqueceu-se água num recipiente, durante um determinado tempo, num local onde a temperatura ambiente é constante e igual a 25 o Celsius. Interrompeu-se o processo de aquecimento, e nesse instante, a água começou a arrefecer. O arrefecimento da água segue a Lei do arrefecimento de Newton, de acordo com o modelo matemático: T (t) = e 0,05t, em que T (t) representa a temperatura da água em graus Celsius, t minutos após o início do arrefecimento. Recorrendo eclusivamente a métodos analíticos, determine T (0) e lim T (t). + Interprete os valores obtidos, no conteto do problema. Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos numéricos; sempre que proceder a arredondamentos, use quatro casas decimais. Eame 2008, Ép. especial 22. Num determinado dia, um grupo de amigos decidiu formar uma associação desportiva. Admita que, t dias após a constituição da associação, o número de sócios é dado, aproimadamente, por: N(t) = e 0,01t, t 0 Resolva, usando métodos analíticos, o item seguinte. Determine N(0) e lim N(t). + Interprete os valores obtidos, no conteto do problema. Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a arredondamentos, use aproimações às milésimas. Eame 2008, 1 a Fase 23. Seja f a função de domínio [ 3, 3] definida por e 1 + se 3 < 0 f() = 2 + ln(1 + 3) se o 3 y A f Na figura ao lado está representado o gráfico da função f Tal como a figura sugere: A é o ponto do gráfico de f de ordenada máima a abcissa do ponto A é positiva Utilizando métodos eclusivamente analíticos, mostre que, tal como a figura sugere, f é contínua no ponto Teste Intermédio 12 o ano Na figura ao lado, está representada parte do gráfico de uma função f, real de variável real. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? 1 (A) lim 3 f() = 0 1 (B) lim 3 f() = (C) lim 3 f() = (D) Não eite lim 3 f() Eame 2007, 2 a fase Página 6 de 11

7 1 25. Identifique o valor de lim (A) 0 (B) 1 (C) + (D) Eame 2007, 1 a fase 26. Considere a função f, de domínio R, definida por se < 0 f() = 2 se = 0 (ln designa logaritmo de base e) 3 2 ln( + 1) 2 se > 0 Utilizando métodos eclusivamente analíticos, averigúe se a função f é contínua em = 0. Justifique a sua resposta. 27. Considere a função g, de domínio R, definida por e 1 2 se < 0 g() = 2 se = se > 0 Teste Intermédio 12 o ano Relativamente à continuidade da função g, no ponto de abcissa 0, qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) É contínua (B) É contínua à esquerda e descontínua à direita (C) É contínua à direita e descontínua à esquerda (D) É descontínua à esquerda e à direita Eame 2006, Ép. especial Página 7 de 11

8 28. De duas funções, f e g, sabe-se que: o gráfico de f é uma reta, cuja ordenada na origem é igual a 2; o gráfico de g é uma hipérbole. Nas figuras seguintes estão representadas parte dessa reta e parte dessa hipérbole. A reta de equação = 1 é assíntota do gráfico de g f() Indique o valor de lim 1 + g() (A) 0 (B) 2 (C) + (D) Eame 2006, 2 a Fase 29. Para um certo valor de k, é contínua em R a função f definida por k + sen se 0 f() = (ln designa logaritmo de base e) 3 + ln(1 + ) se > 0 Qual é o valor de k? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 Eame 2005, Ép. especial Página 8 de 11

9 30. Admita que o número de elementos de uma população de aves, anos após o início de 1970, é dado aproimadamente por P (t) = 5, e (N M)t, t 0, em que N e M são duas constantes, denominadas, respetivamente, por taa de natalidade e taa de mortalidade da população. Sabendo que N < M calcule lim P (t) e interprete o resultado obtido, no conteto do problema, sem t + recorrer à calculadora, a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos. Eame 2005, 1 a Fase e 1 se < Seja f a função definida, em R, por f() = se 0 Sem recorrer à calculadora, justifique a seguinte afirmação: A função f é contínua em R. 32. Para um certo valor de k, é contínua em R a função g definida por k + cos se 0 g() = (ln designa logaritmo de base e) ln(1 + ) se > 0 Qual é o valor de k? (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 Eame 2004, Ép. especial Eame 2004, 1 a Fase 33. Na figura ao lado está parte da representação gráfica de uma função f, par e positiva, da qual a reta de equação y = 0 é assíntota. Qual é o valor de lim + 1 f()? (A) 0 (B) 1 (C) + (D) ( 34. Considere a função f, de domínio R +, definida por f() = ln + 1 ) Sem recorrer à calculadora, calcule lim (f() ln ) + Eame 2004, 1 a Fase Eame 2003, Prova para militares log 35. Indique o valor de lim e 1 (A) 0 (B) 1 (C) (D) + Eame 2003, 1 a fase - 2 a chamada Página 9 de 11

10 36. A Sofia preparou um pudim, para servir como sobremesa ao jantar. Depois de o ter confeccionado, a Sofia colocou o pudim a arrefecer, na bancada da cozinha. Uma hora depois, colocou-o no frigorífico, para ficar bem frio. Admita que a temperatura do pudim, em graus centígrados, t minutos depois de ter sido colocado na bancada, é dada, para um certo valor de A, por ,05t, 0 t < 60 f(t) = 6 + A 2 0,05(t 60), t 60 Atendendo a que a função é contínua, mostre que A = 24, utilizando métodos eclusivamente analíticos. 37. Para um certo valor de k, é contínua em R a função f definida por 0 se 0 f() = (ln designa logaritmo de base e) ln( + k) se > 0 Qual é o valor de k? (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) Seja h a função, de domínio R, definida por 1 + e se < 0 h() = 2 se = se > 0 Eame 2001, Prova para militares Eame 2001, 2 a Fase Relativamente à continuidade de h, no ponto de abcissa 0, qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) É contínua (B) É contínua à esquerda e descontínua à direita (C) É contínua à direita e descontínua à esquerda (D) É descontínua à esquerda e à direita 39. Na figura ao lado está representada parte do gráfico de uma função f, de domínio R. Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) (B) (C) (D) lim 4 4 f() = f(4) e lim f() = f(4) + lim f() = f(4) e lim f() f(4) lim 4 4 f() f(4) e lim f() = f(4) + lim f() f(4) e lim f() f(4) Eame 2001, 1 a fase - 2 a chamada Eame 2000, 1 a fase - 2 a chamada Página 10 de 11

11 40. Na figura ao lado está representada parte dos gráficos de duas funções f e g, contínuas em R. y O gráfico de f interseta o eio O no ponto de abcissa 3. indique o valor de f() lim 3 g() f g (A) 0 (B) 1 (C) (D) Eame 1999, 1 a fase - 2 a chamada (prog. antigo) Página 11 de 11