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1 CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV FGV ADM Objetiva Prova A 03/junho/01 matemática 01. Em um período de grande volatilidade no mercado, Rosana adquiriu um lote de ações e verificou, ao final do dia, que ele sofrera uma valorização de 8% em relação ao preço pago na compra. No final do dia seguinte, o mesmo lote sofrera uma desvalorização de 6% em relação ao valor do final do dia anterior; nesse momento, isto é, no final do segundo dia, Rosana decidiu vender o lote e recebeu por ele R$ 10.15,00. Entre a compra e a venda, ela ganhou x reais. A soma dos algarismos de x é: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 Sendo P o valor do lote adquirido por Rosana, temos: 8 6 P = Þ P = R$ Assim, o ganho de capital x é: x = = R$ 15,00 A soma pedida é, portanto, = 8 Alternativa D 0. Em um paralelogramo, as coordenadas de três vértices consecutivos são, respectivamente, (1; 4), ( ; 6) e (0; 8). A soma das coordenadas do quarto vértice é: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 1 No paralelogramo, a intersecção entre as diagonais é o ponto médio das mesmas. D C (0; 8) M A (1; 4) B ( ; 6) Portanto: x M = x A + x C 1 = = y M = y A + y C 4 = + 8 = 6 x x x x B + D 1 D M = = + xd = 3 y y y y B + D D M = = yd = 6 D( 3; 6 ) A soma pedida é, portanto, = 9. Alternativa B CPV fgv1junadm 1

2 FGV 03/06/01 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 03. Quando o preço por unidade de certo modelo de telefone celular é R$ 50,00, são vendidas unidades por mês. Quando o preço por unidade é R$ 00,00, são vendidas unidades mensalmente. Admitindo que o número de celulares vendidos por mês pode ser expresso como função polinomial do primeiro grau do seu preço, podemos afirmar que, quando o preço for R$ 65,00, serão vendidas: a) 1.90 unidades b) unidades c) unidades d) 1.30 unidades e) unidades Sendo x o preço do celular, y a quantidade vendida e y = ax + b a função do 1 o grau, temos: 1400 = a b a = 6 e b = = a b Assim, a função é: y = 6x a 04. A matriz b é a solução da equação matricial AX = M em que: c 1 5 A = a) 67 b) 68 c) 69 d) 70 e) 71 Como AX = M, temos: 1 5 a b = c 9 8 e M = 15. Então a + b + c vale: 9 Multiplicando-se as matrizes, obtemos o seguinte sistema: a + b + 5c = 8 b + 4c = 15 3c = 9 Þ a = 7 b = 3 c = 3 Para x = 65, temos: y = Þ y = Serão, portanto, vendidas unidades. Portanto, a + b + c = = 67 Alternativa A Alternativa C CPV fgv1junadm

3 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV FGV 03/06/ Considere a região do plano cartesiano cujos pontos satisfazem simultaneamente às inequações: x + y 6 x + y 4 x 0 y 0 A área dessa região é: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 Representando graficamente a região solicitada, temos: 4 y 06. Aplicando 1 real a juros compostos durante 1 anos, obtémse um montante de 64 reais. Usando a tabela abaixo, x x 1 1,414 1,731,361,4495 pode-se dizer que a taxa anual de juros é: a) 41,4% b) 73,1% c) 100% d) 13,61% e) 144,95% Dos dados do enunciado e utilizando a fórmula de juros compostos, temos: 64 = 1. (1 + i) 1 Þ 1 + i = 1 6 Þ i = 1 Pela tabela fornecida, concluímos que i = 41,4%. Alternativa A 3 P 4 P 3 P P 1 4 r 6 r 1 x O ponto P 3 é obtido pela intersecção entre r 1 e r : x + y= 6 x + y= 4 Þ P 3 (; ) Finalmente, obtemos a área solicitada decompondo o quadrilátero em dois triângulos: P 4 A1 A P 3 3 P 3 P 1 P 1 4 P Portanto, A T = A 1 + A = = 7 Alternativa B fgv1junadm CPV

4 4 FGV 03/06/01 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 07. Uma loja vende semanalmente x relógios quando seu preço por unidade p, em reais, é expresso por p = x. A receita semanal de vendas desse produto é R$ 5.000,00 para dois valores de p. A soma desses valores é: a) R$ 400,00 b) R$ 450,00 c) R$ 500,00 d) R$ 550,00 e) R$ 600,00 Equação da receita: Para R = 5000, devemos ter: R = p. x R = (600 10x). x (600 10x). x = 5000 Þ 10x + 600x 5000 = 0 Þ x 60x = 0 x1= 10 p1= 500 x = 50 p = O número de soluções inteiras da inequação x x é: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) infinito Montando o quadro de sinais, temos: x x S = { 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5, 6} O número de soluções inteiras é, portanto, 10. Alternativa C A soma desses valores é, portanto, p 1 + p = 600. Alternativa E CPV fgv1junadm

5 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV FGV 03/06/ Sob certas condições ambientais, o número de bactérias de uma colônia cresce exponencialmente (isto é, y = ab x, em que y é o número de bactérias e x, o tempo), de modo que esse número dobra a cada hora. Se em determinado instante há n bactérias, quanto tempo levará para que seu número atinja o valor 0n? Use a tabela abaixo para resolver: x log x 0 0,30 0,48 0,60 0,70 a) 4,1 horas b) 4,3 horas c) 4,5 horas d) 4,7 horas e) 4,9 horas Do enunciado, temos: y = a b x. b = Þ y = a. x Considerando que y = n, para x = 0: 10. Uma indústria química produz dois produtos A e B em quantidades diárias x e y, respectivamente. As quantidades x e y, expressas em toneladas, relacionam-se pela equação x y + = A máxima quantidade do produto A que a empresa consegue produzir diariamente é: a) 5 toneladas b) 10 toneladas c) 15 toneladas d) 0 toneladas e) 5 toneladas x y + = 1 Þ x = 4y Para que x seja máximo, y deve ser mínimo. Como y, porém, representa a quantidade de produtos B, y 0: x= 4y y = 0 Þ x = 400 = 0 Alternativa D n = a. 0 Þ a = n 0n = n x Para y = 0n, temos:. n 0 Þ 0 = x Þ log 0 = log x Þ log + log 10 = x log Þ x = 13, 4,3 horas Alternativa B fgv1junadm CPV

6 6 FGV 03/06/01 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 11. Na figura abaixo, o ângulo  do triângulo ABC inscrito na circunferência é reto. O lado AB mede 4, e o lado AC mede Uma doença D atinge 1% de certa população. Um exame e sangue detecta a doença (dá resultado positivo) em 95% das pessoas que a têm. Por outro lado, o exame detecta erroneamente (dá resultado positivo) em 10% das pessoas que não a têm. Se uma pessoa, escolhida ao acaso na população, fizer o exame e o resultado for positivo, a probabilidade de que ela tenha, de fato, a doença é, aproximadamente: a) 11% b) 13% c) 5% d) 7% e) 9% A área do círculo da figura é: a) 9,75π b) 10π c) 10,5π d) 10,50π e) 10,75π Como  = 90 o e o ângulo está inscrito na circuferência, temos que BC é o diâmetro. Dessa forma: (BC) = Þ BC = 41 O raio da circuferência vale, portanto, Logo, a área do círculo é: A = π = π = 10,5π Alternativa C A partir das informações do enunciado, podemos montar um "diagrama de árvore": 1% 95% Positivo Doentes 5% Negativo População 10% Positivo Sem doença 99% Negativo 90% Assim, temos: Resultado Positivo: 1%. 95% + 99%. 10% Doentes com resultado positivo: 1%. 95% Logo, a probabilidade pedida é dada por: 1%. 95% P = = = 0, 087 1%. 95% + 99%. 10% Portanto, aproximadamente, 9%. Alternativa E CPV fgv1junadm

7 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV FGV 03/06/ No intervalo [0, 4π ], a equação sen 3 x sen x 5sen x + 6 = 0 tem raízes cuja soma é: a) b) c) 6 d) π / e) 3π sen 3 x sen x 5sen x + 6 = 0 Considerando sen x = y, temos: y 3 y 5y + 6 = 0 Aplicando Briot - Ruffini para y = 1, temos: 14. As raízes da equação x k 9 = 8 têm soma igual a: k = 0 a) 3 b) c) 1 d) 0 e) 1 x k 9 = 8 Þ k = 0 0 x 0 + x + x 4 x = = Þ 1 x = 1 x 8 Þ 8 = 9 9x Þ 9x 1 = 0 Portanto, (y 1) (y y 6) = 0 Þ y = 1 ou y = 3 ou y = Logo, sen x = 1 Þ x = p + kπ, k ÎZ. Þ x = 1 3 ou x = Portanto, a soma das raízes é 0. Alternativa D k = 0 Þ x = p k = 1 Þ x = 5 p Portanto, a soma das raízes é π 5 + π = 3π Alternativa E fgv1junadm CPV

8 8 FGV 03/06/01 CPV o Cursinho que Mais Aprova na GV 15. Um prisma hexagonal tem duas faces hexagonais paralelas, as bases, e seis faces laterais retangulares. Quantas diagonais, não das faces, tem esse prisma? COMENTÁRIO DO CPV A prova de Matemática da Fundação Getúlio Vargas Administração Junho/01 mostrou-se, como de costume, bem elaborada, com assuntos distribuídos de forma bastante equilibrada e abrangente. a) 18 b) 19 c) 0 d) 1 e) A G H B F I C E D J A dificuldade da prova foi adequada, o que deverá favorecer aos propósitos da Banca, selecionando os canditados mais preparados. Distribuição das Questões 6,66% - Progressão Geométrica 6,66% - Inequações 6,66% - Trigonometria 6,66% - Probabilidades 6,66% - Matrizes e Sistemas Lineares 6,66% - Geometria Plana 6,66% - Geometria Espacial 13,33% - Geometria Analítica 13,33% - Matemática Financeira 6,66% - Funções L K Vamos considerar o número de diagonais que partem do vértice A: AI, AJ, AK, isto é, 3 diagonais. Podemos realizar o mesmo raciocínio para os vertices B, C, D, E, F. Portanto, o número de diagonais, não das faces, do prisma hexagonal é d = 6. 3 = 18. Alternativa A CPV fgv1junadm

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