CPV especializado na ESPM ESPM Resolvida Prova E 10/novembro/2013

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1 CPV especializado na ESPM ESPM Resolvida Prova E 0/novembro/03 Matemática. As soluções da equação x + 3 x = 3x + são dois números: x + 3 a) primos b) positivos c) negativos d) pares e) ímpares x + 3 x = 3x + x + 3 x + 6x + 9 = 3x x x 8x 0 = 0 x x = 0 x = ou x = S =, } CPV ESPMNov03 [ ] Alternativa E. Se a matriz 3 x for multiplicada pelo valor do seu x + determinante, este ficará multiplicado por 9. Um dos possíveis valores de x é: a) b) 3 c) d) e) Sendo a matriz A = (a ij ) x, temos que: det(k. A) = k. det A, em que k, segundo o enunciado, é o det A. Assim, det (det A. (A)) = (det A). det A = 9. det A (det A) = 9 det A = ± Portanto: 3 x = x = det [ 3 x x + ] = ± ou ou 3 x = x = 0 ( ) ( ) 3. Os binomiais x e x + 3y y isso, são iguais. Seu valor é: a) 6 b) 330 c) d) 6 e) ( x ) = x + 3y y ( ) x + 3y = x = são complementares e, por x + y = y = Assim, ( 8 ) = ( 3 ) = 3.. = 6 Alternativa A. Se as raízes da equação x x = 0 são m e n, o valor de m + n a) b) 3 c) d) 3 e) é igual a: Se m e n são as raízes da equação x x = 0, temos: m + n = m + n m n = = Alternativa A

2 ESPM 0//03 CPV especializado na ESPM. O trinômio x + ax + b é divisível por x + e por x. O valor de a b é: a) 0 b) c) d) 3 e) Se x + ax + b é divisível por x + e x, temos: a + b = 0 a b = a = + a + b = 0 a + b = b = Logo, a b = 3 6. Se ( x ) = 6. x, o valor de x x é: a) b) c) d) e) ( x ) = 6. x x = +x x x + = 0 (x ) = 0 x = De onde obtemos x x = =. A função f(x) = ax + b é estritamente decrescente. Sabe-se que f(a) = b e f(b) = a. O valor de f(3) é: a) b) c) d) 0 e) Dado que f(x) = ax + b, temos: f(a) = b a + b = b a = b b = a f(b) = a ab + b = a ab + b = a a 3 + a = a a = b a = b a = b a 3 + a a = 0 a(a + a ) = 0 a = 0 ou a = ou a = a = 0 e b = 0 ou a = e b = ou a = e b = Como f é estritamente decrescente, temos que: f(x) = x + e f(3) = 8. As moedas de 0 e centavos de real têm, praticamente, a mesma espessura. 6 moedas de 0 centavos e 90 moedas de centavos serão empilhadas de modo que, em cada pilha, as moedas sejam do mesmo tipo e todas as pilhas tenham a mesma altura. O menor número possível de pilhas é: a) b) 3 c) d) e) 6 x quantidade de pilhas de R$ 0,0 y quantidade de pilhas de R$ 0, z quantidade de moedas por pilha z. x = 6 z. y = 90 x y = 9 Os menores valores para x e y respectivamente são 9 e. Então o menor número de pilhas é. CPV ESPMNOV03

3 CPV especializado na ESPM ESPM 0// Dois irmãos começaram juntos a guardar dinheiro para uma viagem. Um deles guardou R$ 0,00 por mês e o outro começou com R$,00 no primeiro mês, depois R$ 0,00 no segundo mês, R$,00 no terceiro e assim por diante, sempre aumentando R$,00 em relação ao mês anterior. Ao final de um certo número de meses, os dois tinham guardado exatamente a mesma quantia. Esse número de meses corresponde a: a) pouco mais de um ano e meio. b) pouco menos de um ano e meio. c) pouco mais de dois anos. d) pouco menos de um ano. e) exatamente um ano e dois meses. n quantidade de meses A quantia guardada pelo primeiro irmão é 0n. A quantia guardada pelo segundo irmão é uma P.A. de razão. Assim: a = a n = + (n ) = n S n = ( + n) n = n + n Como as duas quantias são iguais, temos: n + n = 0n n 9n = 0 n = 0 (não convém) ou n = 9 meses. Alternativa A 30. Apenas dois candidatos se apresentaram para a eleição ao cargo de prefeito de uma pequena cidade do interior. O candidato A recebeu 60% dos votos, sendo 0% de mulheres. O candidato B recebeu 3% dos votos, sendo 60% de homens. Sabendo-se que 60 pessoas votaram em branco ou anularam o voto, podemos avaliar que o número de mulheres que votaram em A ou em B foi: a) 86 b) c) 8 6 d) 8 e) 6 9 x = total de pessoas A B Branco ou Nulo Homens 0,8x 0,x Mulheres 0,x 0,x 0,60x 0,3x 0,0x 3. A distribuição dos alunos nas 3 turmas de um curso é mostrada na tabela abaixo. A B C Homens 36 6 Mulheres 8 3 Escolhendo-se uma aluna desse curso, a probabilidade de ela ser da turma A é: a) b) c) d) e) 3 A probabilidade é a razão entre o número de mulheres da classe A (8) e o número total de mulheres (8). Assim, P = 8 8 = 3 3. Durante uma manifestação, os participantes ocuparam uma avenida de 8 m de largura numa extensão de, km. Considerando-se uma taxa de ocupação de, pessoas por m, podemos estimar que o número de participantes dessa manifestação foi de aproximadamente: a) 0 mil b) 60 mil c) 0 mil d) 30 mil e) 0 mil A área da avenida é =.000 m. Se há, em média,, manifestantes por m, o número de manifestantes é.000., = 0.00 ~ 0 mil 0,0x = 60 x =.00 Total de mulheres: 0,x + 0,x = 6.9 Alternativa E ESPMNOV03 CPV

4 ESPM 0//03 CPV especializado na ESPM 33. Na figura abaixo, ABCD é um paralelogramo de área cm. M e N são pontos médios de BC e CD, respectivamente. 3. Um avião voava a uma altitude e velocidade constantes. Num certo instante, quando estava a 8 km de distância de um ponto P, no solo, ele podia ser visto sob um ângulo de elevação de 60º e, dois minutos mais tarde, esse ângulo passou a valer 30º, conforme mostra a figura abaixo. A área do polígono AMND é igual a: a) 0 cm b) 6 cm c) cm d) cm e) 8 cm Traçamos PM // AB, NQ // CM e DQ // NM Na figura obtida, observe que DPDQ º DNQD º DQNM º DCMN e DABM º DMPA. Se a área total do paralelogramo é cm, podemos fazer a seguinte divisão: A velocidade desse avião era de: a) 80 km/h b) 0 km/h c) 0 km/h d) 0 km/h e) 00 km/h Calculando-se os ângulos do ΔPAA', concluímos que ele é isósceles e, portanto, AP = AA' = 8 km. A 8 A' 30 P 3cm 3cm Q 6cm 6cm P A velocidade do avião era 8 km min = km = 0 km/h min Portanto, a área do polígono pedido é = cm CPV ESPMNOV03

5 CPV especializado na ESPM ESPM 0//03 3. Os pontos O(0; 0), P(x; ) e Q(; x + ) do plano cartesiano são distintos e colineares. A área do quadrado de diagonal PQ vale: a) b) 6 c) d) e) 9 Pela condição de alinhamento, temos: 0 0 x x+ = 0 Û x + x = 0 Û x = ou x = Para x =, temos P = Q e portanto não convém. Para x =, temos P = ( ; ) e Q = (; ), de onde esboçamos o gráfico: y 36. No sólido representado abaixo, sabe-se que as faces ABCD e BCFE são retângulos de áreas 6 cm e 0 cm, respectivamente. O volume desse sólido é de: a) 8 cm 3 b) 0 cm 3 c) cm 3 d) 6 cm 3 e) cm 3 Na face ABCD, temos AB. = 6 AB = 3 cm Na face BCFE, temos BE. = 0 BE = cm Aplicando o Teorema de Pitágoras no ΔABE, temos: AE + 3 = AE = cm O volume pedido é.. 3. = cm3 P 0 x Q A área do quadrado é (3) = 9. Alternativa E ESPMNOV03 CPV

6 6 ESPM 0//03 CPV especializado na ESPM 3. A figura abaixo mostra a trajetória de um móvel a partir de um ponto A, com BC = CD, DE = EF, FG = GH, HI = IJ e assim por diante. Considerando infinita a quantidade desses segmentos, a distância horizontal AP alcançada por esse móvel será de: a) 6 m b) m c) 80 m d) 96 m e) 00 m No triângulo ABC, temos AC = 6 + AC = 0 cm Observe que os triângulos da sequência são semelhantes entre si. Então, a razão de semelhança k = CD AB = 6 = 3 O segmento AP é a soma limite da P.G ( 0; ; ; 3 6 ) ;... AP = a q = 0 3 = 0 ( ) = 80 m 38. As coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência de equação x x + (y + ) = 0 são, respectivamente: a) (, ) e b) (, ) e c) (, ) e d) (, ) e e) (, ) e Da equação da circunferência, temos: x x + (y + ) = 0 x x + + (y + ) = (x ) + (y + ) = Portanto a circunferência tem centro C(; ) e raio r = 39. Se log x + log x + log x 3 + log x = 0, o valor de x é: a) 0 b) 0, c) 00 d) 0,0 e) Sendo x > 0, temos: log x + log x + log x 3 + log x = 0 log x + log x + 3 log x + log x = 0 0 log x = 0 log x = x = 0,0 0. Uma indústria de bebidas criou um brinde para seus clientes com a forma exata da garrafa de um de seus produtos, mas com medidas reduzidas a 0% das originais. Se em cada garrafinha brinde cabem ml de bebida, podemos concluir que a capacidade da garrafa original é de: a) 8 ml b) 938 ml c) ml d) 693 ml e) 6 ml A razão de semelhança é k = 0 00 =. A razão entre volumes de sólidos semelhantes é k 3. Sendo V 0 o volume da garrafa original, temos: V 0 = k 3 = V 0 ( ) 3 V 0 =. = 8 ml Comentário da prova de matemática Alternativa A A prova de Matemática do processo seletivo ESPM / novembro 03 mostrou-se simples e objetiva. Com enunciados claros, a prova abrangeu os conceitos clássicos da Matemática, tornando a prova bastante adequada aos propósitos da banca examinadora. A distribuição das questões foi a seguinte: 30% Geometria 0% Equações e Funções 0% Combinatória e Probabilidades % Matrizes, Determinantes e Sistemas 0% Polinômios 0% Progressões % Porcentagem CPV ESPMNOV03

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