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1 O cursinho que mais aprova na GV FGV ADM Objetiva 06/junho/010 MATemática 01. O monitor de um notebook tem formato retangular com a diagonal medindo d. Um lado do retângulo mede 3 do outro. 4 A área do monitor é dada por: a) 0,44 d b) 0,46 d c) 0,48 d d) 0,0 d e) 0, d d x De acordo com a figura: x + 3 x 4 = d Þ x = 16 d. A área do monitor é dada por: A = x. 3 x 3x 3 16d = =. Þ A = 0,48d O gráfico seguinte apresenta os lucros (em milhares de reais) de uma empresa ao longo de 10 anos (ano 1, ano, até ano 10). 3x 4 O lucro médio é: x = 10 x = 8, O lucro ficou mais próximo da média no ano 4 (lucro = 60). 03. O transporte aéreo de pessoas entre duas cidades A e B é feito por uma única companhia em um único voo diário. O avião utilizado tem 180 lugares, e o preço da passagem p relaciona-se com o número x de passageiros por dia pela relação p = 300 0,7 x. A receita máxima possível por viagem é: a) R$ ,00 b) R$ 9.900,00 c) R$ 9.800,00 d) R$ 9.700,00 e) R$ 9.600,00 O preço p da passagem é dado por p = 300 0,7 x (0 x 180). A receita R é dada pela parábola abaixo: R (x) V R (x) = (300 0,7 x) x R (x) = 0,7x x x (0 x 180) O ano em que o lucro ficou mais próximo da média aritmética dos 10 lucros anuais foi: a) Ano b) Ano 3 c) Ano 4 d) Ano e) Ano 9 que atingiria seu máximo no vértice V = (00; ). Como x = 00 não pertence ao domínio da função, a receita máxima é obtida quando todos os lugares estiverem ocupados: R (180) = 0,7. (180) Þ R máx =

2 FGV 06/06/010 o cursinho que mais aprova na GV 04. No final do ano 000, o número de veículos licenciados em uma cidade era 400 e, no final de 008, esse número passou para 60 veículos. Admitindo que o gráfico do número de veículos em função do tempo seja formado por pontos situados em uma mesma reta, podemos afirmar que, no final de 010, o número de veículos será igual a: a) 80 b) 90 c) 600 d) 610 e) 60 O número de veículos é dado por uma função do tipo f (t) = at + b, com t = 0 correspondendo ao ano 000. f (0) = 400 f (8) = 60 f (0) = 400 \ b = 400 f (8) = a = 60 8a = 160 \ a = 0 f (t) = 0 t f (10) = = t No final de 010, o número de veículos será A função polinomial P(x) = x 3 + (1 + ) x + (4 + )x + 4 é crescente em todo o conjunto dos números reais. Podemos afirmar que: a) O polinômio tem uma única raiz real negativa. b) A soma das raízes vale 1 +. c) O polinômio tem três raízes complexas não reais. d) O produto das raízes vale 4. e) O polinômio tem três raízes reais distintas. Temos que P (0) = 4 > 0. Como o gráfico da função é crescente, P(x) deve ter uma única raiz e, sendo P(0) > 0, essa raiz deve ser negativa. Portanto, temos: 4 y O gráfico exclui as alternativas C e E. Das relações de Girard, temos que: soma das raízes = b = 1 + a produto das raízes = d = 4, a ( ) o que exclui as alternativas B e D. Obs.: de fato, por Briot-Ruffini, temos que - é raiz do polinômio As outras raízes estão na equação x + x + 4 = 0, cujo D < 0. Portanto, - é a única raiz real. 06. No início do ano 000, Alberto aplicou certa quantia a juros compostos, ganhando 0% ao ano. No início de 009, seu montante era de R$.160,00. Se ele deixar o dinheiro aplicado, nas mesmas condições, o juro recebido entre o início de 010 e o início de 011 será de aproximadamente: a) R$ 99,99. b) R$ 1.03,00. c) R$ 1.13,00. d) R$ 1.38,00. e) R$ 1.341,00. Indicamos os montantes por M: M 010 = 160 x 1, 1 M 011 = 160 x 1, J = , , J = 138,40 O juro recebido entre o início de 010 e o início de 011 será de R$ 1.38,00. x

3 o cursinho que mais aprova na GV FGV 06/06/ Roberto Mathias investiu R$ 1.000,00 em ações das empresas A e B. Na época da compra, os preços unitários das ações eram R$ 0,00 para a empresa A e R$,00 para a B. Depois de algum tempo, o preço unitário de A aumentou 00% e o de B aumentou apenas 10%. Nessa ocasião, o valor total das ações da carteira era de R$ ,00. A diferença, em valor absoluto, entre as quantidades de ações compradas de A e B foi de: a) 00 b) c) 0 d) 7 e) 300 Sendo A e B a quantidade de ações compradas respectivamente das empresas A e B, temos inicialmente: 0A + B = Þ 4A + B = 400 Após certo tempo, o preço das ações de A subiu 00% e o preço das ações da empresa B valorizaram 10%, de onde obtemos: Preço A: 0. (1 + ) = R$ 60,00 Preço B:. (1 + 0,1) = R$ 7,0 Como o valor total em ações nesse momento é R$ ,00, temos: 60A + 7,B = Þ 4A + 11B = 6800 Podemos então montar o seguinte sistema: 4A + B = 400 A = 100 e B = 400 4A + 11B = 6800 Logo, A B = 300 A diferença, em valor absoluto, entre as quantidades de ações compradas de A e B foi de Quantos números inteiros pertencem ao domínio da função f(x) = log(9 x ) + log( x)? a) 3 b) 4 c) d) 6 e) infinitos C.E: 9 x > 0 Þ 3 < x < e x > 0 Þ x < Interseccionando as condições acima, temos D f = ] 3; [. Os números inteiros que pertencem ao domínio são ; 1; 0; 1. Pertencem ao domínio da função 4 números inteiros. 09. Sejam as matrizes X = [x y], A = 4 0 0, B = [100] e X' a matriz transposta de X. A representação gráfica do conjunto de pontos de coordenadas (x; y) que satisfazem a equação matricial X. A. X' = B é: a) uma hipérbole com excentricidade igual a /4. b) uma elipse com distância focal igual a 1. c) uma hipérbole com excentricidade igual a 7/. d) uma elipse com distância focal igual a 10. e) uma parábola com eixo de simetria vertical. Substituindo as matrizes dadas na equação matricial, temos: [x y] x = [100] 0 y 4x + y = 100 Û x y + = 1 4 a qual representa uma elipse cujos parâmetros são: a = b = a = b + c Þ c = 1 Û c = 1 A representação gráfica pedida é uma elipse com distância focal igual a Uma empresa de turismo opera com 3 funcionários. Para que haja atendimento em cada dia, é necessário que pelo menos um funcionário esteja presente. A probabilidade de cada funcionário faltar num dia é %, e o evento falta de cada um dos funcionários é independente da falta de cada um dos demais. Em determinado dia, a probabilidade de haver atendimento é: a) 0,8737 b) 0,90 c) 0,970 d) 0,9 e) 0,99987 O atendimento não será feito somente se os três funcionários faltarem: P (não atendimento) = 0,0 3 = 0,0001. A probabilidade de haver atendimento é: P = 1 0,0001 = 0,99987

4 4 FGV 06/06/010 o cursinho que mais aprova na GV 11. A reta (t) passa pela intersecção das retas x y = e x + y = 11 e é paralela à reta que passa pelos pontos A (1, 1) e B (, ). A intersecção da reta (t) com o eixo y é o ponto: a) (0, 18) b) (0, 17) c) (0, 16) d) (0, 1) e) (0, 14) Resolvendo o sistema formado pelas retas dadas, temos: x y = Þ x = 3, y = 8 x + y = 11 Portanto, a reta t passa pelo ponto (3; 8). Como t // AB, temos: m t = m AB = y x = 1 1 Þ = m t 3, logo: t: y 8 = 3 (x 3) Para x = 0 (intersecção de t com o eixo y) temos que y = 17. A reta interceptará o eixo y no ponto (0; 17). 1. Sabendo que o valor da secante de x é dado por sec x = 4, em que x pertence ao intervalo 3 π, π, podemos afirmar que os valores de cos x, sen x e tg x são respectivamente: a) c) e) 4 3 3, - e - b) , e d) 3 4 3, - 3 e 4 sec x = 4 Û cos x = 4 4 3, 3 e , 4 e 3 Da equação fundamental: cos x + sen x = 1 Û Como x Î 3 o Q: sen x = -3 Finalmente: tg x = sen x cos x sen x = ± 3 3 = = 3 4 p 3p 13. No plano cartesiano, o ponto C (, 3) é o centro de uma circunferência que passa pelo ponto médio do segmento CP, em que P é o ponto de coordenadas (, 7). A equação da circunferência é: a) 4 x + 4 y 16 x 4 y + 7 = 0 b) x + y 4 x 6y + 7 = 0 c) 4 x + 4 y 16 x 4 y + 9 = 0 d) x + y 4 x 6 y + 8 = 0 e) 4 x + 4 y 16 x 4 y + 31 = 0 C (, 3) M P (, 7) Se o ponto M é o ponto médio do segmento CP, então o raio R = CP. d CP = ( ) + ( 7 3) = \ R = Portanto, a equação da circunferência é: (x ) + (y 3) = \ 4 x + 4 y 16 x 4 y + 7 = Uma empresa projetou as receitas mensais para o ano 010 do seguinte modo: A receita para janeiro é R$ ,00. Em cada mês, a receita é R$ ,00 superior à do mês anterior. Nessas condições, a receita prevista para todo o ano de 010 é: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Se as receitas mensais crescem segundo uma razão aditiva constante, temos uma P.A. com a 1 = e r = Assim: receita em dezembro: a 1 = = A receita prevista para todo o ano de 010 é: S PA = ( ). 1 = R$ ,00 A receita prevista para todo o ano de 010 é R$ ,00

5 o cursinho que mais aprova na GV FGV 06/06/ Ao resolver o sistema linear determinado abaixo x + y + z = 4 x y z = 3x + y z = 14 encontramos como solução a tripla ordenada (a; b; c). O valor de a é: a) 1 b) 0 c) 1 d) e) 3 Pela tripla ordenada (a; b; c), queremos o valor de x, portanto: Comentário do A prova objetiva de Matemática do vestibular FGV junho de 010 apresentou uma amplitude considerável de dificuldades, com questões de resolução imediata e outras mais exigentes. A prova dissertativa mostrou-se bastante adequada, com temas variados e dificuldade em sintonia com o nível de discriminação desejado. Em relação ao vestibular anterior, houve um notável ganho de qualidade da prova, em termos de clareza dos enunciados e em rigor conceitual, a despeito da questão 8 da prova dissertativa, que admitia mais de uma solução, enquanto o enunciado sugeria que a solução era única. Acreditamos que a Banca Examinadora alcançou o objetivo de selecionar os candidatos mais bem preparados. x + y + z = 4 L1 x y z = L 3x + y z = 14 L3 De L 1 + L, temos: 3x = 9 Û x = 3

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