POLINÔMIOS. x 2x 5x 6 por x 1 x seja x x 3

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1 POLINÔMIOS 1. (Ueg 01) A divisão do polinômio a) x b) x + c) x 6 d) x + 6 x x 5x 6 por x 1 x é igual a:. (Espcex (Aman) 01) Os polinômios A(x) e B(x) são tais que A x B x x x x 1. Sabendo-se que 1 é raiz de A(x) e é raiz de B(x), então A B 1 é igual a: a) 98 b) 100 c) 10 d) 10 e) 105. (Udesc 01) Seja r(x) o resto da divisão do polinômio px 4x x 5 por qx x x 1. Se f x x k e f gx r x, conjunto solução da inequação gx 10 seja x x é: a) 1 b) c) 1 d) e) 5 então o valor da constante k para que o 4 4. (Fuvest 01) O polinômio p(x) x ax bx cx 8, em que a, b, c são números reais, tem o número complexo 1 + i como raiz, bem como duas raízes simétricas. a) Determine a, b, c e as raízes de p(x). b) Subtraia 1 de cada uma das raízes de p(x) e determine todos os polinômios com coeficientes reais, de menor grau, que possuam esses novos valores como raízes. 5. (Uern 01) O valor de n para que a divisão do polinômio p(x) = x + 5x + x + 17 por d(x) = x + nx + 4 tenha resto igual a 5 é um número a) menor que 6. b) negativo e maior que 4. c) positivo e menor que 5. d) par e maior que 11. Página 1 de 1

2 6. (Upe 01) Sobre os polinômios afirmações: A(x) x x e B(x) x 1, são feitas as seguintes I. Em um sistema cartesiano ortogonal, os gráficos A(x) e B(x) se interceptam em três pontos. II. Os dois polinômios não possuem raízes em comum. III. O resto da divisão de A(x) por B(x) é zero. IV. A soma das raízes dos dois polinômios vale 1. Associando V para as afirmações verdadeiras ou F para as falsas obtemos, respectivamente, a) I - F ; II - F ; III - V e IV V. b) I - F ; II - V ; III - F e IV V. c) I - F ; II - F ; III - V e IV F. d) I - V ; II - F ; III - V e IV V. e) I - V ; II - F ; III - V e IV F. 7. (Udesc 01) Sejam q(x) e r(x), respectivamente, o quociente e o resto da divisão de f(x) = 6x 4 x 9x x + 7 por g(x) = x + x + 1. O produto entre todas as raízes de q(x) e r(x) é igual a: 7 a) b) c) 5 d) 5 e) 5 8. (Ime 01) Considere o polinômio solução da forma a) 1n 5 b) 6 n 10 c) 10 n 15 d) 15 n 0 e) 0 n 0 5x x 60x 6 0. Sabendo que ele admite uma n, onde n é um número natural, pode se afirmar que: 9. (Ufrgs 01) Se é raiz dupla do polinômio p(x) = x 4 7x + x + 8x 4, então a soma das outras raízes é a) -1. b) -0,5. c) 0. d) 0,5. e) (G1 - ifal 011) Dividindo o polinômio p(x) pelo polinômio (x )(x 4)(x 5) obtém-se resto x. Se os restos das divisões de p(x) por x, x 4 e x 5 são, respectivamente, os números A, B e C, então ABC vale a) 100. b) 180. c) 00. d) 80. e) 60. Página de 1

3 11. (Uftm 011) Seja o polinômio Px x x 4x m, sendo m um número real. Sabendo-se que P(x) é divisível por x, determine: a) O valor de m. b) Todas as raízes de P(x). 1. (Epcar (Afa) 011) Sobre o polinômio Ax expresso pelo determinante da matriz x x, é incorreto afirmar que 1 x x a) não possui raízes comuns com Bx x 1. b) não possui raízes imaginárias. c) a soma de suas raízes é igual a uma de suas raízes. P x x. d) é divisível por 1. (Uel 011) Para que o polinômio f x x 6x mx n seja um cubo perfeito, ou seja, tenha a forma f x x b, os valores de m e n devem ser, respectivamente: a) e 1 b) 6 e 8 c) 4 e 7 d) 1 e 8 e) 10 e (Ufpe 011) Sabendo que x x 4 A B C, assinale A B C. x x x x x x (Uel 011) O polinômio px x x ax 4a é divisível pelo polinômio q x x x 4. Qual o valor de a? a) a = b) a = 1 c) a = 0 d) a = 1 e) a = 16. (Upe 011) Para que o polinômio 6x 4x mx (m 1) seja divisível por x, o valor da raiz quadrada do módulo de m deve ser igual a a) 0 b) 1 c) d) e) (Upe 011) Analise as afirmações abaixo e conclua ( ) Um polinômio de grau ímpar e coeficientes reais possui, necessariamente, pelo menos, uma raiz real. ( ) Se todos os coeficientes de um polinômio são reais, suas raízes serão, necessariamente, reais. ( ) Se um polinômio possui raízes complexas não reais, então seu grau é, necessariamente, um número par. ( ) Se um polinômio possui raízes complexas não reais, então seu grau é, necessariamente, um número ímpar. ( ) Se um polinômio possui raízes complexas, e todos seus coeficientes são números inteiros, então os conjugados complexos de cada raiz, também, são raízes do mesmo polinômio. Página de 1

4 18. (Uftm 011) Dividindo-se o polinômio p(x) = x 4 x + mx + 1 por (x 1) ou por (x + 1), os restos são iguais. Nesse caso, o valor de m é igual a a). b) 1. c) 1. d). e). 19. (G1 - utfpr 011) Quais são os polinômios que representam o quociente q(x) e o resto r(x) da divisão do polinômio px x 5x 6 pelo polinômio a) q(x) = (x + 5) e r(x) = x + 1. b) q(x) = x + 5 e r(x) = (x + 1). c) q(x) = x 5 e r(x) = x + 1. d) q(x) = (x + 5) e r(x) = x 1. e) q(x) = x + 5 e r(x) = x + 1. d x x? 0. (Ita 011) Se 1 é uma raiz de multiplicidade da equação x 4 + x + ax + b = 0, com a, b, então a b é igual a a) 64. b) 6. c) 8. d) 18. e) (G1 - ifsc 011) Dada a função polinominal f x x x x 1, o valor de f f 0 f f 1 é: a) - 0. b) -18. c) d) 0. e) 16.. (Uepg 010) Na divisão do polinômio P(x) pelo binômio A(x), do 1º grau, usando o dispositivo de Briot-Ruffini, obteve-se o seguinte: m 1 a a - a então, assinale o que for correto. 01) P(x) é um polinômio do 4º grau. 0) P(x) é divisível por x. 04) P(0) = 6. 08) P(1) = 6. 16) O quociente da divisão é o polinômio Q(x) = x + x + x +.. (Fgv 010) Um polinômio P(x) do terceiro grau tem o gráfico dado a seguir: Os pontos de intersecção com o eixo das abscissas são ( 1, 0), (1, 0) e (,0). O ponto de intersecção com o eixo das ordenadas é (0,). Portanto o valor de P(5) é: a) 4 b) 6 c) 8 d) 0 e) 4. (Unesp 010) Uma raiz da equação x (a 1)x a(a + 1)x + a (a 1) = 0 é (a 1). Quais são as outras duas raízes dessa equação? 5. (Uece 008) Se os polinômios e Q(x) = x - 4 x + x + 4 são idênticos, então o valor de m/n é: a) b) c) 4 d) 5 Página 4 de 1

5 Gabarito: Resposta da questão 1: [B] Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, obtemos Logo, x x 5x 6 (x 1)(x )(x ) e, portanto, a divisão do polinômio x x 5x 6 por (x 1)(x ) é igual a x. Resposta da questão : [C] Como 1 é raiz de A(x) e é raiz de B(x), segue que A( 1) 0 e B() 0. Logo, A( 1) B( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1B( 1) 1 e A() B() 1 A() 10. Portanto, A() B( 1) Resposta da questão : [D] Dividindo p por q, obtemos 4x x 5 x x 1 4x x 5x 7 Assim, r(x) 5x 7. Desse modo, temos que f(g(x)) r(x) g(x) k 5x 7 5x 7 k g(x). Sabendo que o conjunto solução da inequação g(x) 10 é {x x }, vem 5x 7 k 10 5x k 1 k 1 x, 5 ou seja, k 1 k. 5 Página 5 de 1

6 Resposta da questão 4: a) Como os coeficientes são reais, as raízes complexas aparecem com suas respectivas conjugadas, então (1+i), (1-i), r e r são raízes de P(x) Utilizando, agora, a relação do produto das raízes, temos: 8 (1 i) (1 i) r ( r).r 8 r 1 Portanto, as raízes de p(x) são (1+i), (1-i), e - Escrevendo o polinômio na forma fatorada, temos: P x 1. x 1 i.(x 1 i. x. x 4 P x x x x 8x 8 Logo, a, c e c 8. b) Subtraindo 1 de cada uma das raízes, temos; 1 i 1 i 1 i 1 i Portanto, q x k. x i. x i. x 1. x q x k. x 1. x 1. x Para k diferente de zero. Resposta da questão 5: [B] Dividindo p por d, obtemos x 5x x 17 x nx 4 n 5 x nx 4x x (n 5)x x 17 n 5n (n 5)x x n 10 n 5n 6 x n 7 Para que o resto da divisão seja 5, devemos ter n 5n 6 0 n 1 ou n 6 e e n 1. n 7 5 n 1 Portanto, n é um número negativo e maior que 4. Página 6 de 1

7 Resposta da questão 6: [D] I. Verdadeiro Os gráficos se interceptam nos pontos resultante da solução da equação: x A(x) B(x) x x x 1 x x 1 0 x 1 5 x x1 0 II. Falso A(x) x x Raízes x x 0 x 1 x 1 B(x) x 1 Raízes x 1 0 x 1 Portanto, possuem a raiz x = 1 comum. III. Verdadeiro resto nulo. A(x) x x x x 1 x x 1 x 1 x x B(x) x 1 x 1 x 1, portanto, divisão exata e IV. Verdadeiro Basta somar os valores encontrados no item (II). Resposta da questão 7: [D] Dividindo f por g, obtemos 4 6x x 9x x 7 x x 1 4 6x x x x x 5 4x 1x x 7 4x x x 10x x 7 10x 5x 5 4x 1 Portanto, como 5 q(x) x x 5 (x 1) x 5 produto pedido é ( 1) ( ) 5. e r(x) 4x 1 4 (x ), segue que o Página 7 de 1

8 Resposta da questão 8: [C] 5x x 60x 6 0. x 5x 1 5x 0 (5x )(x 1) 0 5x 0 x / 5 ou x 1 0 x 1 Considerando n = 1, temos 10 n 15. Resposta da questão 9: [B] Aplicando Dispositivo Prático de Briot-Rufini, temos: Obtemos: x 1x x1 raízes x 1, cuja soma vale 0,5. Resposta da questão 10: [D] Se q(x) é o quociente da divisão de p por (x )(x 4)(x 5) e x é o resto, então p(x) q(x) (x )(x 4)(x 5) x. Desse modo, A p() 5, B p(4) 4 7 e C p(5) 5 8. Portanto, ABC Resposta da questão 11: a) Se P(x) é divisível por x, então P() 0. Assim, P() 4 m m m 8. b) Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, obtemos: Página 8 de 1

9 Portanto, P(x) x x 4x 8 (x )(x 4) (x ) (x ), ou seja, as raízes de P(x) são e. Resposta da questão 1: [A] Desenvolvendo o determinante, temos: A(x) x x x x x A(x) x x x A(x) x (x ) 1(x ) A(x) (x ) (x 1) A alternativa A é a incorreta, pois A(x) possui raízes comuns com B(x), já que possui o fator x 1. Resposta da questão 1: [D] x 6x mx n x bx b x b b 6 b m.b. 1 n b 8 Resposta da questão 14: Temos que x x 4 A B C x x x x x x 1 x x 4 A(x )(x 1) Bx(x 1) Cx(x ) x(x )(x 1) x(x )(x 1) x x 4 A(x )(x 1) Bx(x 1) Cx(x ) Fazendo x, obtemos ( ) ( ) 4 B ( ) ( 1) 6B 1 B. Para x 1, encontramos C 1 (1 ) C C 1. Finalmente, para x 0, vem Portanto, A B C A (0 ) (0 1) A 4 A. Página 9 de 1

10 Resposta da questão 15: [E] Fazendo a divisão, temos: a 6 0 a 4 a 8 0 a Portanto, a =. Resposta da questão 16: [E] Se o polinômio é divisível por (x ), pelo teorema do resto, concluímos que: 6 4 m m 1 0 5m 15 m 5 Logo, 5 5. Resposta da questão 17: V F F F V. (V) As raízes complexas aparecerão sempre aos pares; (F) Poderá ter raízes não reais; (F) Poderá ter grau par ou ímpar; (F) Poderá ter grau par ou ímpar; (V) Verdadeiro: as raízes complexas aparecem aos pares (a própria raiz e sua conjugada) para coeficientes reais. Resposta da questão 18: [D] Pelo teorema do resto, temos: P(1) = P(-1) m =.(-1) 4.(-1) =m.(-1) m + 1 = + m + 1 m = 4 m = Página 10 de 1

11 Resposta da questão 19: [E] Efetuando a divisão temos: Resposta da questão 0: [C] a b 0 a 6 0, resolvendo temos a = -6 e b = 4 logo a b = (-6) 4 = - 8 Resposta da questão 1: [B] f ( ) ( ) ( ) 1 0 f(0) f( 1) ( 1) ( 1) f(f( 1) f(0)) 1 Logo, f f 0 f f Resposta da questão : = 1 m 6 = 0 m =, 1 a a -a -6 1 a+ a+4 0 (a+4). a = a = (01) Verdadeiro, um Polinômio de grau n, possui n+1 termos( incluindo os termos nulos) (0) Verdadeiro, pois o resto da divisão por x- é zero. (04) Verdadeiro, pois o termo independente de x é - 6 (08) Verdadeiro, pois a soma dos coeficientes é 6 (1+(-1) + (-1) (-6)=-6) (16) Verdadeiro. Observando a parte debaixo do segundo dispositivo, temos os coeficientes do quociente. Página 11 de 1

12 Resposta da questão : [E] P(x) = a(x - (-1)).(x - 1).(x -) P(x) = a(x + 1).(x 1).(x ) Como P(0) = temos: a.(1).(-1).(-) =.a = a = e P(x) =. (x + 1).( x - 1).(x ) logo P(5) =. (5 + 1).( 5-1).(5 ) P(5) = Resposta da questão 4: Dividindo o primeiro membro da equação por[ x (a-1)] temos: a 1 1 -a + 1 -a a.a.a 1 -a -.a 0 x.-a.x.a = 0 Resolvendo temos: a x 9a x a ou x a Resposta: -a e a Resposta da questão 5: [B] Página 1 de 1

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