Revisão de Função. Inversa e Composta. Professor Gaspar. f : 1,,3, f(x) x 2x 2 e. g(x) x 2x 4. Para qual valor de x tem f(g(x)) g(f(x))? g(x) 2x.

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1 Revisão de Função. (Espcex (Aman) 05) Considere a função bijetora f :,,, definida por f(x) x x e seja (a,b) o ponto de intersecção de f com sua inversa. O valor numérico da expressão a b é a). b) 4. c) 6. d) 8. e) 0.. (Unicamp 05) Seja a um número real positivo e considere as funções afins f(x) ax a e g(x) 9 x, definidas para todo número real x. a) Encontre o número de soluções inteiras da inequação f(x)g(x) 0. b) Encontre o valor de a tal que f(g(x)) g(f(x)) para todo número real x. Inversa e Composta Professor Gaspar. (Uepg 04) Considerando as funções f(x) e g(x), tais x 5x que f(x) e f(g(x)), assinale o que for 4 4x 4 correto. 0) O domínio de g(x) é {x x }. 0) g (0). 04) g(). 08) g(f(5)). 6) O domínio de f(x) é {x x }. 4. (Unicamp 04) Considere as funções f e g, cujos gráficos estão representados na figura abaixo. O valor de f(g()) g(f()) é igual a a) 0. b). c). d). 5. (Uepb 04) Uma função inversível f, definida em x 5 R por f x, tem contradomínio R y 0, x onde R é o conjunto dos números reais. O valor de y 0 é: a) b) c) d) e) zero 6. (Espcex (Aman) 0) Na figura abaixo está representado o gráfico de uma função real do º grau f(x). A expressão algébrica que define a função inversa de f(x) é x a) y b) y x c) y x d) y x e) y x 7. (Espcex (Aman) 0) Sejam as funções reais f x x 4x e gx x. O domínio da função f(g(x)) é D x x ou x a) b) D x x c) D x x d) D x 0 x 4 e) D x x 0 ou x 4 8. (Uern 0) Sejam as funções f(x) x e g(x) x x 4. Para qual valor de x tem f(g(x)) g(f(x))? a) b) c) 4 d) 5 9. (Esc. Naval 0) Considere f e g funções reais de variável real definidas por, f(x) 4x e g(x) x. Qual é o domínio da função composta (fog)(x)? a) R b) x x, x c) x x 4 e) x x, x 4 d) x x, x 4

2 0. (Uepb 0) Dada f(x) x x 5, o valor de f(f( )) é: a) 56 b) 85 c) 9 d) 9 e) 85. (Uern 0) Se o gráfico da função inversa de uma função f(x) do º grau tem como raiz x = 6 e o coeficiente angular de f(x) é igual a, então o gráfico que melhor representa f(x) é a) b) c) d). (Uern 0) Sejam as funções compostas f(g(x)) x e g(f(x)) x. Sendo g(x) x, então f(5) g() é a) 0. b) 8. c) 7. d) 6.. (Espm 0) Sejam f e g funções reais tais que f x x 4 e g x x para todo x R. Podemos afirmar que a função fog(x) é igual a: a) x b) x + c) x + d) x e) x 4. (Pucrj 0) Sejam f(x) x e g(x) x. Então a equação f(g(x)) g(f(x)) tem duas soluções reais. O produto das duas soluções é igual a: a) b) c) 0 d) e) 5. (Ufsj 0) Sendo a função f x ax b, tal que f f x 9x 8, é CORRETO afirmar que a) f x b) x f 0 8 c) f x x 4 d) f x x 6. (Pucrj 0) Sejam f(x) x e g(x) x. Então f(g()) g(f()) é igual a: a) b) 0 c) d) e) x 7. (Ufsj 0) Considere a função gx. O x domínio de g(x) e a função inversa de g(x) são, respectivamente, a) x ;x e g x x x b) x ;x e x e g x x x c) x ;x e g x x x d) x ;x e x e g x x x 8. (Ufba 0) Determine f (x), função inversa de x f :, sabendo que f(x ) x 6 para todo x. 9. (Uepb 0) Dada a função bijetora x f(x), D(f), o domínio de f (x) é x b) a) c) e) d) 0. (Uern 0) Seja f(x) uma função do primeiro grau que intercepta os eixos cartesianos nos pontos (0, 4) e (, 0). O produto dos coeficientes da função inversa de f(x) é a). b). c) 4. d).. (Uepg 0) Sobre uma função afim f(x) = ax + b, assinale o que for correto. 0) Se a > 0 e b < 0 então f(x) é crescente e possui raiz negativa. 0) Se o gráfico de f(x) passa pelos pontos, (, ) e (, 5) então f(f( )) =.

3 04) Se f(x) + f(x ) = x então f(x) = x. 4 08) Se b = e f(f( )) = 5 então a =. 6) Se a.b > 0 a raiz de f(x) é um número positivo.. (Epcar (Afa) 0) Considere o conjunto A 0,,, e a função f : A A f x x tal que f e, se x. A soma dos valores de x para os quais fofof x é a) b) c) 4 d) 5. (Fuvest 0) Sejam f(x) = x - 9 e g(x) = x + 5x +. A soma dos valores absolutos das raízes da equação gx f g x é igual a a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Gabarito: Resposta da questão : [B] Os pontos comuns de uma função com a sua inversa são da forma (a, a), portanto, para determinar estes pontos devemos considerar f(x) x na função dada. Daí, temos: x x x x x 0 x [, ) ou x. Logo, o ponto (a, b) pedido é (, ) e 4. Resposta da questão : a) Sendo a 0, temos 9 f(x)g(x) 0 a(x ) x 0 9 x. f(g(x)) g(f(x)) ax a ax 6a 9 a. Resposta da questão : = 5. Lembrando que uma função está bem definida apenas quando são fornecidos o domínio, o contradomínio e a lei de associação, vamos supor que f : A e g:b. x 5x Desde que f(x) e f(g(x)), temos 4 4x 4 g(x) 5x g(x) f(g(x)) 4 4x 4 4 x g(x). x [0] Correto. Supondo que se queira determinar o maior subconjunto B dos números reais para o qual g está definida, é fácil ver que B {x x }. [0] Correto. Calculando a inversa de g, obtemos x y yx y x x yx x y y x, y x ou seja, g (x). Desse modo, encontramos x facilmente g (0). [04] Correto. Com efeito, pois g(). Portanto, segue que x {,, 0,,,, 4}, ou seja, a inequação possui 7 soluções inteiras. [08] Correto. De fato, temos g(f(5)) g(). b) Tem-se que f(g(x)) ag(x) a a(9 x) a ax a e g(f(x)) 9 f(x) 9 (ax a) ax 6a 9. Logo, vem [6] Incorreto. Supondo que se queira determinar o maior subconjunto A dos números reais para o qual f está definida, é fácil ver que A. Resposta da questão 4: [D] Do gráfico, sabemos que g() 0 e f(). Logo, como f(0) e g( ) 0, obtemos f(g()) g(f()) f(0) g( ) 0.

4 Resposta da questão 5: [D] x x 4 (x ) (x ) 4 x x x 6x 9 x 6 6x 5 x. Resposta da questão 6: [C] Seja f: a função definida por f(x) ax b. O valor inicial de f é a ordenada do ponto de interseção do gráfico de f com o eixo y, ou seja, b. Logo, como o gráfico de f passa pelo ponto (, 0), temos que 0 a ( ) a. x Portanto, f(x) e sua inversa é tal que y x y (x ) f (x) x. Resposta da questão 7: [A] Temos que Assim, a função f tais que ou seja, Resposta da questão 8: [B] f(g(x)) (x ) 4(x ) x x 4x 4 x x (x )(x ). g está definida para os valores de x (x )(x ) 0 x ou x, D {x x ou x }. Lembrando que uma função só está bem definida quando conhecemos o seu domínio, contradomínio e a lei de associação, vamos supor que f: e g :. Além disso, por exemplo, a função g f está definida apenas quando o contradomínio de f é igual ao domínio de g. Desse modo, o valor de x para o qual se tem f(g(x)) g(f(x)) é Resposta da questão 9: [B] fog(x) 4 x 8x Logo, 8x 0 x x e x 8 Portanto, o domínio será dado por: D x x e x. Resposta da questão 0: [D] Como f( ) ( ) ( ) 5 4, segue que f(f( )) f(4) Resposta da questão : [A] Lembrando que uma função só está bem definida quando conhecemos o seu domínio, contradomínio e a lei de associação, vamos supor que f: com f(x) ax b. Logo, como a taxa de variação de f é igual a, segue-se que f(x) x b. A lei da função inversa de f é dada por y x b x y b b f (x) x. Desse modo, sendo o zero de b 0 6 b 6. f é igual a 6, vem Portanto, o gráfico que melhor representa a função afim f é o da alternativa [A]. Resposta da questão : [A] Sabendo que g(f(x)) x e g(x) x, vem g(f(x)) f(x) x f(x) f(x) x. Portanto,

5 f(5) g() 5 0. Resposta da questão : [D] Fazendo t x, vem x x t t (x). Logo, x x f 4 f(x) x. Por outro lado, se u x, então x u u (x) x. Desse modo, g(x ) (x ) g(x) x. Portanto, f g(x) f(g(x)) g(x) x x. Resposta da questão 4: [B] f(g(x)) g(f(x)) x x 4 4 x x x x x 0 Calculando o produto P das raízes temos: P :. Resposta da questão 5: [D] f f x 9x 8 a ax b b 9x 8 a x b a 9x 8 a 9, logo a ou a. Considerando a, temos: OBS: Poderíamos também ter considerado a. Resposta da questão 6: [A] Como f() 7 e g() 0, segue que f(g()) g(f()) f(0) g(7) 0 ( 7 ) 0. Resposta da questão 7: [C] O domínio da função g é o conjunto de valores de x para os quais x 0 x, ou seja, D x ; x. A função inversa de g é tal que x y y x x y yx y x x g (x). x Resposta da questão 8: Fazendo t x, segue que Substituindo x por t x x t t. na lei da função f, vem: x x x f f(x). x x 9 6 Portanto, y x xy 9x y y 9 y(x ) 9x 9x y f (x). x Resposta da questão 9: [A] b 8 b Logo f x x e f x x Se x f(x), x com D(f) {}, então

6 x y y(x ) x x x(y ) y y x. y Portanto, y 0 y e, assim, Resposta da questão 0: [B] D(f ) {}. Seja f(x) ax b a lei da função afim cujo gráfico intersecta os eixos cartesianos nos pontos (0, 4) e (, 0). Como o gráfico de f intersecta o eixo das ordenadas no ponto (0, 4), segue que b 4. Por outro lado, se (, 0) é o ponto de interseção com o eixo das abscissas, então 0 a 4 a. Daí, f(x) x 4 e, assim, a lei da função f x y 4 y x 4 f (x) x. Portanto, o produto pedido é igual a Resposta da questão : = 06.. é tal que Item (0) Falso Sendo f(x) = ax + b, temos para a > 0 e b < 0 o gráfico a seguir: f(x) ax b f(x) f(x ) x (ax b) (a(x ) b) x ax b ax a b x ax b a x Logo : a a b a 0 b 4 Portanto: f(x) x 4 Item (08) Falso Para b f(x) ax f( ) a f(f( )) a a ) Portanto: f(f( )) 5 f(f( )) a a Logo a a 5 a a 0 Temos : a ou a Item (6) Falso Se a 0 e b 0 ab 0 Logo : A raiz de f(x) ax b será negativa.. Resposta da questão : [B] Portanto, f(x) = ax + b é crescente, porém não possui raiz negativa (intercepta x num valor positivo) Item (0) Verdadeiro Considerando f(x) = ax + b, temos: (,) f( ) a( ) b a b a, (,5) f( ) a( ) b a b 5 b então f(x) x Portanto: f( ) ( ) Logo: f(f( )) ( ) Item (04) Verdadeiro f[f(f(x))] = f(f(x)) = f(x) = Portanto, x =. Resposta da questão : [D] f(g(x)) =.(x + 5x + ) 9 f(g(x)) = x + 0x f(g(x)) = x + 0x Fazendo f(g(x)) = g(x) temos: x + 0x - = x + 5x + x + 5x -6 = 0 Resolvendo temos x = - 6 ou x = Logo: 6 7

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