Exercícios de Números Complexos com Gabarito

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1 Exercícios de Números Complexos com Gabarito ) (UNIFESP-007) Quatro números complexos representam, no plano complexo, vértices de um paralelogramo. Três dos números são z = i, z = e z = + ( 5 )i. O quarto número tem as partes real e imaginária positivas. Esse número é a) + i. b) + (/)i. c) + 5i. d) + (/)i. e) 4 + 5i. ) (Mack-008) Sendo i = -, o número complexo itgx, com x não nulo e - < x <, tem módulo igual a a) cotgx b) c) d) e) secx cot gx sec x sec x ) (UFC-007) Ao dividir -i por + i, obtém-se um complexo de argumento igual a: a) /4 b) 5/ c) 7/ d) /4 e) / 4) (VUNESP-007) Considere os números complexos w = 4 + i e z = a + 4ai, onde a é um número real positivo e i indica a unidade imaginária. Se, em centímetros, a altura de um triângulo é z e a base é a parte real de z w, determine a de modo que a área do triângulo seja 90 cm. 5) (FUVEST-006) Determine os números complexos z que satisfazem, simultaneamente, z = e Im z i i = Lembretes: i = -; se w = a + bi, com a e b reais, então w = a b e Im (w) = b. 6) (UNIFESP-006) Os números complexos z, z = i e z =a +ai, onde a é um número real positivo, representam no plano complexo vértices de um triângulo eqüilátero. Dado que z - z =, o valor de a é: a) b) c) d) e) 7) (Mack-006) Se z = x + yi (i = -) é tal que z + i = z +, então os pontos de coordenadas (x; y), x e y reais, percorrem a) uma hipérbole. b) uma circunferência. c) uma elipse. d) uma reta. e) uma parábola. 8) (PUC-SP-006) Sabe-se que o polinômio f = x 4 + x - x - x - 6 admite a raiz - com multiplicidade e que outra de suas raízes é igual ao módulo de um número complexo z cuja parte imaginária é igual a -. A forma trigonométrica de z pode ser igual a a).(cos 6 5 b).(cos 6 5 c).(cos 4 d).(cos 7 e).(cos 4 + i.sen i.sen i.sen 4 + i.sen 7 + i.sen 4 ) ) ) ) ) 9) (Vunesp-006) A figura representa, no plano complexo, um semicírculo de centro na origem e raio. Indique por Re(z), Im(z) e z a parte real, a parte imaginária e o módulo de um número complexo z = x + yi, respectivamente, onde i indica a unidade imaginária. A única alternativa que contém as condições que descrevem totalmente o subconjunto do plano que representa a região sombreada, incluindo sua fronteira, é

2 a) Re(z) 0, Im(z) 0 e z. b) Re(z) 0, Im(z) 0 e z. c) Re(z) 0 e z. d) Im(z) 0 e z. e) Re(z) 0 e z. 0) (UFRJ-005) Um jantar secreto é marcado para a hora em que as extremidades dos ponteiros do relógio forem representadas pelos números complexos z e w a seguir: cos isen z =, w = z, sendo um número real fixo, 0 < <. Determine a hora do jantar. ) (IBMEC-005) Considere a equação x - cos()x + = 0, com 0. a) Determine os valores de para os quais esta equação admite raízes reais. b) Resolvendo em C a equação dada, determine, em função de, suas raízes e represente-as no plano Argand-Gauss abaixo. ) (UERJ-005) João desenhou um mapa do quintal de sua casa, onde enterrou um cofre. Para isso, usou um sistema de coordenadas retangulares, colocando a origem O na base de uma mangueira, e os eixos OX e OY com sentidos oesteleste e sul-norte, respectivamente. Cada ponto (x, y), nesse sistema, é a representação de um número complexo z = x + iy, x IR, y IR e i =. Para indicar a posição (x, y) e a distância d do cofre à origem, João escreveu a seguinte observação no canto do mapa: x + iy = (+i) 9 Calcule: a) as coordenadas (x, y); b) o valor de d. ) (Vunesp-005) Considere os números complexos z = - i e w = - -i, sendo i a unidade imaginária. a) Determine z w e w - z. b) Represente z e w no plano complexo (Argand-Gauss) e determine b IR, b 0, de modo que os números complexos z, w e t = bi sejam vértices de um triângulo, no plano complexo, cuja área é 0. 4) (Vunesp-005) Seja o número complexo z = 0 + 0i, no qual i = A forma trigonométrica que representa este número é cos isen a) 0 cos isen b) c) 0 0 cos isen 6 6 d) 0 cos isen e) 0 cos isen 4 4 5) (Mack-004) As representações gráficas dos complexos + i, ( + i), - e ( - i), com i = -, são vértices de um polígono de área: a) b) c) d) e) 4

3 6) (Unifesp-004) Considere, no plano complexo, conforme a figura, o triângulo de vértices z =, z = 5 e z = 6 + i. A área do triângulo de vértices w = iz, w = iz e w = iz é: c) d) 6 e) a) 8 b) 6 c) 4 d) e) 7) (Unicamp-988) Identifique o lugar geométrico dos pontos z = x + iy do plano complexo tais que Re( z ) = 4. Determine a equação cartesiana e faça o gráfico desse lugar. 8) (Fuvest-978) O número complexo z0 e seu inverso ) (ITA-005) Seja z C com z =. Então, a expressão zw a w assume valor a) maior que, para todo w com w >. b) menor que, para todo w com w < c) maior que, para todo w com w z. d) igual a, independente de w com w z. e) crescente para w crescente, com w < z. ) (FGV-005) Admita que o centro do plano complexo Argand-Gauss coincida com o centro de um relógio de ponteiros, como indica a figura: têm o mesmo módulo. Conclui-se que: z a) z e z são conjugados b) z + z = i c) este módulo é d) z e z são reais e) z = 5 9) (Fuvest-984) Os números complexos z e w têm e como argumentos, respectivamente. Ache u e v reais tais que zw = u + iv, sabendo que zw = 0. 0) (FGV-99) Dentre todos os números complexos, z = atisfazem a inequação z - ) (Mack-005) Dados os complexos z e w, tais que z + i w = e z + w = i, i = -, o módulo de w é igual a: a) 5 b) Se o ponteiro dos minutos tem unidades de comprimento, às h 55 sua ponta estará sobre o número complexo a) - + i b) + i c) - i d) - i e) + i 4) (PUCCamp-998) Sejam x e y os números reais que satisfazem a igualdade i(x i) + ( yi) = (x + y) i, onde i é a unidade imaginária. O módulo do número complexo z = (x + yi) é igual a: a) 5 b) 5 5 c) 5 d) 5 e) 5

4 5) (Unirio-998) Sejam z e z números complexos representados pelos seus afixos na figura acima. Então, o produto de z pelo conjugado de z é: a) i b) i c) i d) -i e) -i a) 9 + 0i b) + 7i c) 0 d) i e) i ) (FGV-995) Seja o número complexo z=(x-i), no qual x é um número real. Se o argumento principal de z é 90, então /z é igual a: a) - 8 i b) -8i c) 4i d) - + 4i e) 4 - i 6) (Vunesp-995) Seja L o afixo do número complexo a = 8 +i em um sistema de coordenadas cartesianas xoy. Determine o número complexo b, de módulo igual a, cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LOM é reto. ) (Fatec-997) Na figura a seguir, o ponto P é o afixo do número complexo z = x + yi no plano de Argand-Gauss. 7) (UEL-995) Seja z um número complexo de módulo e argumento principal 0 o. O conjugado de z é: a) - i b) + i c) - - i d) - + i e) + i 8) (UEL-995) Seja o número complexo z = i. A imagem de z no plano complexo é um ponto do plano que pertence ao a) eixo imaginário. b) eixo real. c) o quadrante. d) o quadrante. e) 4 o quadrante..i 4 9) (Mack-997) A solução da equação z + z i = 0 é um complexo z de módulo: a) 6 b) 8 c) 8 d) e) 0 0) (Mack-996) Considere todos os complexos z tais que z =. O imaginário puro w, onde w = +.z, pode ser: É verdade que: a) o argumento principal de z é b) a parte imaginária de z é i. c) o conjugado de z é + i. d) a parte real de z é. e) o módulo de z é ) (Cesgranrio-995) O lugar geométrico das imagens dos complexos z, tais que z é real, é: a) um par de retas paralelas. b) um par de retas concorrentes. c) uma reta. d) uma circunferência. e) uma parábola. 4) (ITA-004) Considere todos os números z = x + iy que têm módulo 7 e estão na elipse x + 4y = 4. Então, o produto deles é igual a a) 9 5

5 49 b) 6 8 c) 5 5 d) 7 e) 4 5) (FGV-004) a) Determine, no plano de Argand-Gauss, o lugar geométrico dos números complexos z representados pela equação: z z w z 5 0, sendo w = - + 5i. b) De todos os números complexos z de módulo, determine aqueles que satisfazem a igualdade z - i =. i - 6) (Cesgranrio-994) A figura mostra, no plano complexo, o círculo de centro na origem e raio, e as imagens de cinco números complexos. O complexo /z é igual a: a) z = - + i b) z = - + i c) z = - + d) z = - + e) z = - + i i i 8) (Vunesp-00) Considere a variável complexa z dada por z = x + i y, onde i é o número imaginário, e seja z o complexo conjugado de z. a) Dada a equação (z - a)( z - a) = r, onde r e a R, calcule e responda a qual configuração geométrica ela corresponde. b) Escreva a equação do círculo x + y = R, R R, em variáveis complexas. 9) (Fatec-00) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são as imagens dos números complexos z, z e z, no plano de Argand-Gauss. a) z b) w c) r d) s e) t 7) (Fatec-00) Na figura abaixo tem-se o ponto P, afixo do número complexo z, no plano de Argand-Gauss. Se -z é o complexo conjugado de z, então Se Iz I = Iz I = Iz I = e = 60 o, então z + z + z é igual a a) ( b) c) ( d) e) i ) i i ) i i 40) (Mack-996) A representação gráfica dos complexos x+yi tais que x+yi, onde x y 0, define uma região de área: a) b)

6 c) d) e) 4 4) (UEL-00) Na figura abaixo, o ponto P representa um número complexo z no plano de Argand-Gauss. Qual dos números abaixo é z, sabendo-se que OP=? a) i b) + i c) - i d) e) - i 4) (Unicamp-997) Um triângulo eqüilátero, inscrito em uma circunferência de centro na origem, tem como um de seus vértices o ponto do plano associado ao número complexo + i. a) Que números complexos estão associados aos outros dois vértices do mesmo triângulo? Faça a figura desse triângulo. b) Qual a medida do lado desse triângulo? 4) (Unitau-995) O módulo de z= i 6 a). b). c). d) /6. e) 6. 44) (UNIUBE-00) Considere os números complexos z = x + iy, em que x, y e IR e i = -, que têm módulo igual a e cujas representações geométricas encontram-se sobre a parábola y = x -, contida no plano complexo. Se w é a soma desses números complexos, então w é igual a a) b) c) d) 6 45) (UFC-00) Sabendo que cos =, podemos afirmar corretamente que cos( + ) + sen( + ) é igual a: a) 0 é: e que sen = b) c) d) e) 46) (PUC-SP-00) Geometricamente, o módulo de um número complexo z é dado pela distância da origem O do plano complexo ao ponto imagem de z. Assim, dado o complexo z = + i, considere o triângulo ABO, cujos vértices A e B são os respectivos pontos imagem de z e z.i. É verdade que esse triângulo é a) eqüilátero. b) escaleno. c) retângulo e isósceles. d) retângulo e não isósceles. e) isósceles e não retângulo. 47) (Fuvest-998) Dentre os números complexos z = a + bi, não-nulos, que têm argumento igual a 4, aquele cuja representação geométrica está sobre a parábola y = x é: a) + i b) i c) + i d) + i e) + i 48) (Vunesp-006) Se a, b, c são números inteiros positivos tais que c = (a + bi) - 4i, em que i = -, o valor de c é a) 48. b) 6. c) 4. d) 4. e) 7. 49) (UFPB-006) Sejam x e y elementos quaisquer do conjunto G = { g m ni m, n Z }, onde i. Considere as seguintes proposições e assinale com V a(s) verdadeira(s) e com F, a(s) falsa(s). ( ) Se y 0, o quociente ( ) O produto x y G. x y ( ) A soma G. A seqüência correta é: a) VFF b) FVF c) FFV x y G.

7 d) VVF e) VFV f) FVV 50) (FMTM-005) Sendo p e q números reais tais que < p+q <, e i a unidade imaginária, se os números complexos z = sen (p +q) + [log (p-q)]i e z = são iguais, então q é igual a 5 a) b) 5 6 c) d) 5 6 e) 5 5) (Fuvest-98) - 5) (UFSCar-005) Sejam i a unidade imaginária e a n o n- ésimo termo de uma progressão geométrica com a = a. Se a é um número ímpar, então i igual a a) 9i ou - 9i. b) i ou i. c) 9 + i ou 9 - i. d) 8 + i ou 8 - i. e) 7 + i ou 7 - i. a a a0 a i i... i 5) (Cesgranrio-998) Dados os números complexos z = z z +i, z = -i e z = 4 vale: a) b) 4 c) - 4 d) - e) - pode-se afirmar que a parte real de z 54) (UEL-996) Seja o número complexo z = x + yi, no qual x, y R. Se z.( - i) = ( + i), então: é a) x = y b) x - y = c) x.y = d) x + y = 0 e) y = x 55) (Mack-996) O complexo z = (a + bi) 4 é um número real estritamente negativo. Então pode ocorrer: a) a + b = 0. b) a + b = 0. c) a + b = 0. d) a + 4b = 0. e) 4a + b = 0. i 56) (ITA-996) O valor da potência i a) i b) i c) d) 9.i e) 9 + i 57) (Uneb-998) Se i é a unidade imaginária, então i 5 + i 9 - i 08 + i.i 50 é igual a: a) - - i b) - + i c) - i d) + i e) 0 58) (FEI-997) Se a = + i, b = - i e número complexo c é: a) i b) - i c) - i d) + i e) i a b 9 é: b 0 c então o 59) (Fatec-995) O conjugado do número complexo z=( - i - ) - é igual a: a) + i b) - i c) ( - i)

8 d) e) i ( + i) 60) (UFC-997) Se i representa o número complexo cujo quadrado é igual a, determine o valor numérico da soma + i + i + i i 7. 6) (UEL-994) A forma algébrica do número complexo z = i i é: a) i b) 5 + ( 7i ) c) 5 + ( 5 7i ) 65) (Fuvest-004) Considere a equação z = z + (- ) z, onde α é um número real e z indica o conjugado do número complexo z. a) Determinar os valores de para os quais a equação tem quatro raízes distintas. b) Representar, no plano complexo, as raízes dessa equação quando = 0. 66) (Fatec-00) Sabe-se que os números z = log(x - y) + (y + 0)i e z = y - xi, nos quais x e y são números reais, são complexos conjugados. É verdade que a) z + z = b) z - z = i c) z.z = d) z + z = e) z - z = d) 5 + 7i e) 5 + ( 5 4i ) 6) (FEI-996) Se z i = + i, então o número complexo z é: a) i b) + i c) i d) + i e) + i 6) (FEI-994) Escrevendo o número complexo z = i i na forma algébrica obtemos: a) i b) i c) + i d) i e) 64) (Vunesp-004) Considere os números complexos w = i e z = ( + i). Determine: a) z e (w z + w), onde z indica o conjugado de z. b) z e w. Mostre que a seqüência (, z, w, zw, w ) é uma progressão geométrica, determinando todos os seus termos e a sua razão. 67) (Vunesp-00) Considere os números complexos z = ( + i) e z = (x + i), onde i é a unidade imaginária e x é um número real. Determine: a) o número complexo z.z em função de x; b) os valores de x tais que Re (z.z ) Im (z.z ), onde Re denota a parte real e Im denota a parte imaginária do número complexo. 68) (Fuvest-00) Nos itens abaixo, z denota um número complexo e i a unidade imaginária (i = -). Suponha z i. z i a) Para quais valores de z tem-se iz? b) Determine o conjunto de todos os valores de z para os z i quais iz é um número real. 69) (Vunesp-00) Se z = ( + i).( + i).i, então z, o conjugado de z, será dado por a) - - i. b) - i. c) - i. d) - + i. e) + i. 70) (AFA-999) Os valores reais de x, para os quais a parte x i real do número complexo z = x i é negativa, pertencem ao conjunto (intervalo) a).

9 b) 0. c),., d). 8 i 7) (FAZU-00) O quociente i é igual a: a) + i b) + i c) + i d) + i e) + i 76) (UFSCar-00) Sejam x, y N e z = x + yi um número complexo. a) Calcule o produto (x + yi).( + i). b) Determine x e y, para que se tenha (x + yi).( + i) =. 77) (IBMEC-00) Sendo n IN, quais valores f(n) = i n + i - n assume, sendo i a unidade imaginária? a) 0 ou b) 0 ou i c) 0 ou i d) 0, ou e) 0, ou 7) (Vunesp-999) Considere o número complexo z = i, onde i é a unidade imaginária. O valor de z 4 + z + z + z + /z é: a) -. b) 0. c). d) i. e) -i. 7) (Unicamp-999) Dado um número complexo z = x + iy, o seu conjugado é o número complexo z = x - iy. a) Resolva as equações: z. z = 4 e z = z. b) Ache os pontos de intersecção dos lugares geométricos que representam as soluções dessas equações. 74) (Unicamp-998) Se z = x+iy é um número complexo, o número real x é chamado parte real de z e é indicado por Re(z), ou seja, Re(x+iy) = x. a) Mostre que o conjunto dos pontos que satisfazem à z i equação Re( z ) =, ao qual se acrescenta o ponto (,0), é uma circunferência. b) Ache a equação da reta que passa pelo ponto (-, 0) e é tangente àquela circunferência. 78) (Mack-00) Se os pontos que representam os complexos z = a + bi e w = c + di, com a.b.c.d 0, pertencem a z uma mesma reta que passa pela origem, então w é sempre igual a: a a) c a b) c- c) a.(c - ) c d) a e) ac 79) (Fuvest-000) a) Determine todas as soluções, no campo complexo, da equação z = iz, onde i é a unidade imaginária, isto é, i = - e z é o conjugado de z. b) Represente essas soluções no plano complexo, usando o sistema de coordenadas desenhado abaixo. 75) (UNIUBE-00) Sejam a e b dois números naturais tais que a 0 e b 40. Se i é a unidade imaginária dos complexos, ou seja, i = -, então, o número de pares ordenados distintos (a, b) tais que i(i a + i b ) = é igual a a) 5. b) 84. c). d) 4. 80) (Vunesp-00) Seja z = x + yi um número complexo, com x e y números reais e i a unidade imaginária.

10 a) Determine, em função de x e y, a parte real e a parte imaginária de z i + z, com z indicando o conjugado de z. b) Determine z que seja solução da equação z i + z = 0. 8) (FGV-00) No conjunto dos números complexos: a) Resolva a equação z 4 = b) Obtenha o número z, tal que z. ( + i) = i, onde i é a unidade imaginária. a) determine as partes real e imaginária de e de. b) represente e de na figura ao lado. c) determine as raízes complexas da equação z - = 0 8) (Fuvest-997) Sendo i a unidade imaginária (i = ) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a+i) 4 é um número real? a) b) c) d) 4 e) infinitos 8) (Fuvest-995) a) Determine os números complexos z tais que z+ z =4 e z. z =, onde z é o conjugado de z. b) Resolva a equação x 4 5x +x -9x+0=0, sabendo que o número complexo z=+i é uma das suas raízes. 84) (Fuvest-995) Sabendo que é um número real e que a i parte imaginária do número complexo i é zero, então é: a) -4. b) -. c). d). e) 4. 85) (VUNESP-009) O número complexo z = a + bi é vértice de um triângulo eqüilátero, como mostra a figura. Sabendo que a área desse triângulo é igual a 6, determine z. 86) (FUVEST-008) A figura na página de respostas i representa o número = no plano complexo, sendo i = - a unidade imaginária. Nessas condições, 87) (VUNESP-008) Considere o número complexo z = cos 6 a) i. b) c) i. d) i. e) i. + isen 6. O valor de z + z 6 + z é: + i 88) (Vunesp-006) Seja z = + i um número complexo. a) Escreva z e z na forma trigonométrica. b) Determine o polinômio de coeficientes reais, de menor grau, que tem z e z como raízes e coeficiente dominante igual a. 89) (Cesgranrio-98) O menor inteiro n > 0, de modo que n i a) b) c) 4 d) 8 e) seja real positivo, é: 90) (Unicamp-005) Um número complexo z = x + iy, z 0 pode ser escrito na forma trigonométrica: z = z (cos+ x y isen), onde z =, cos = x/ z e sen = y/ z. Essa forma de representar os números complexos não-nulos é muito conveniente, especialmente para o cálculo de potências inteiras de números complexos, em virtude da fórmula de De Moivre:

11 [ z (cos+ isen)] k = z k (cosk+ isenk) que é válida para todo k Z. Use essas informações para: a) Calcular i b) Sendo z = z + + z 5. + i, calcular o valor de + z + z + c) 8. d) 4. e) 0. 95) (UFMG-00) Sejam n um número inteiro positivo e z um número complexo tal que z = e + z n 0. CALCULE a parte imaginária de z. z n n 96) (AFA-999) A representação trigonométrica do 9) (Mack-996) Na figura a seguir, P e Q são, respectivamente, os afixos de dois complexos z e z. Se a distância OQ é, então é correto afirmar que: a) z = z. b) z = z. c) z = z. d) z = z. e) z = z. 9) (ITA-995) Seja z um número complexo satisfazendo Re(z) > 0 e (z + i) + z' + i = 6, onde z' é o conjugado de z. Se n é o menor natural para o qual z n é um imaginário puro, então n é igual a: a) b) c) d) 4 e) 5 9) (FEI-995) O módulo do número complexo ( + i) - é: a) b) c) - d) 4 e) 0 94) (UFC-999) Considere o número complexo z = (+i).( i). Assinale a opção na qual consta o menor inteiro positivo n, tal que z n seja um número real positivo. a) 6. b). conjugado do número complexo z = ( + unidade imaginária e k Z, é a) cos(/ + k) - i.sen(/ + k). b) cos(5/4 + 0k) - i.sen(5/4 + 0k). c) cos(5/6 + 0k) - i.sen(5/6 + 0k). d) cos(5/ + 0k) - i.sen(5/ + 0k). i) 5, sendo i a 0, 97) (UECE-00) O valor de a, no intervalo, para o qual o número complexo x = cosa + i.sena é tal que x i, satisfaz: a) < a < b) 6 < a < c) 6 < a < 4 d) 0 < a < 5 98) (Fuvest-994) a) Se z =cos +isen e z =cos +isen, mostre que o produto z z é igual a cos ( + )+isen( + ). b) Mostre que o número complexo z=cos48 +isen48 é raiz da equação z 0 +z 5 +=0. 99) (Fuvest-996) Dado o número complexo z = +i qual é o menor valor do inteiro n para o qual z n é um número real? a) b) 4 c) 6 d) 8 e) 0 00) (VUNESP-00) As soluções da equação z = i, onde z é um número complexo e i = -, são: a) z i ou z = -i.

12 b) z i ou z = -i. c) z i ou z = -i. d) z i ou z = -i. e) z i ou z = -i. 0) (Vunesp-990) O diagrama que melhor representa as raízes cúbicas de -i é: a) 0) (Mack-998) Se + 4i é raiz cúbica de um complexo z, então o produto das outras raízes cúbicas de z é: b) c) a) 4 + 7i b) -4-7i c) - 7-4i d) i e) 7-4i 0) (ITA-998) Considere, no plano complexo, um polígono regular cujos vértices são as soluções da equação z 6 =. A área deste polígono, em unidades de área, é igual a: a) b) 5 c) d) e) 04) (UFPE-996) As soluções complexas da equação z 6 = são vértices de um polígono regular no plano complexo. Calcule o perímetro deste polígono. d) e) 05) (Mack-997) As representações gráficas dos complexos z tais que z = 8 são os vértices de um triângulo: a) inscrito numa circunferência de raio. b) que tem somente dois lados iguais. c) eqüilátero de lado. d) eqüilátero de altura. e) de área. 06) (UFC-00) A área do polígono cujos vértices são as representações geométricas das raízes do polinômio

13 p(x) = x 6 - é: a) b) c) d) e) 4 07) (Fuvest-00) No plano complexo, cada ponto representa um número complexo. Nesse plano, considere o hexágono regular, com centro na origem, tendo i, a unidade imaginária, como um de seus vértices. a) Determine os vértices do hexágono. b) Determine os coeficientes de um polinômio de grau 6, cujas raízes sejam os vértices do hexágono. 08) (ITA-00) Seja a equação em C z 4 z + = 0. Qual dentre as alternativas abaixo é igual à soma de duas das raízes dessa equação? a) b) c) d) i i e) 09) (Unicamp-998) a) Qual é o valor de na equação z 5z + 8z = 0 de modo que z = seja uma raiz dessa equação? b) Para esse valor de, ache as três raízes z, z, z dessa equação. c) Ache o volume do sólido obtido quando a região triangular cujos vértices são os pontos z, z, z gira em torno da reta de equação x =.

14 Gabarito ) Alternativa: B ) Alternativa: D ) Alternativa: E 4) Resposta: cm 8) Alternativa: A 9) u = -5 e v = 5 5) -i e - 0) + 6i 6) Alternativa: B 7) Alternativa: D 8) Alternativa: A 9) Alternativa: E 0) h. Resolução: z = i, w = ( i ) = -. Como <, então < de forma que o módulo de w é menor que o módulo de z, ou seja, w representa a extremidade do ponteiro das horas e z representa a extremidade do ponteiro dos minutos. Sendo jantar, entendemos que o horário é h (a mesma posição dos ponteiros também representaria 9h, que não condiz com jantar) ) a) 0 ou. b) cos i.sen ) Alternativa: B ) Alternativa: D ) Alternativa: A 4) Alternativa: C 5) Alternativa: B 6) b = - 8 7) Alternativa: C 8) Alternativa: A 9) Alternativa: E i 0) Alternativa: A ) a) (+i) 9 = 6+6i = (6, 6) b) d = 6 ) a) z w = -7 + i e w - z = 5 b) b = 7. 4) Alternativa: E 5) Alternativa: E 6) Alternativa: B 7) (x-) + y = 0 ) Alternativa: A ) Alternativa: A OBS: b) é falsa pois a parte imaginária de z é e não i. ) Alternativa: B 4) Alternativa: B 5) a) O lugar geométrico pedido é uma circunferência de centro ( ; 5) e raio. 5 5 b) Os números são i; i 6) Alternativa: E 7) Alternativa: D

15 8) a) existem duas opções para (x - a) + y = r : o ponto de coordenadas (a; 0) se r = 0 ou a circunferência de centro (a; 0) e raio r, se r 0. b) x + y = R z = R z. z = R, onde z = x + iy. 58) Alternativa: D 59) Alternativa: D 60) Soma = 0 6) Alternativa: C 9) Alternativa: A 40) Alternativa: C (a área pedida é metade de uma coroa circular de raios e...) 4) Alternativa: C 6) Alternativa: D 6) Alternativa: E 64) a) i e i b) z =, w = e a seqüência é (,,,, 4), que é uma progressão geométrica de razão. 4) a) - b) +i e -i 65) a) 4 b) e 4) Alternativa: B 44) Alternativa: C 45) Alternativa: C 46) Alternativa: C 47) Alternativa: A 48) Alternativa: A 49) Alternativa: F 50) Alternativa: D 5) Se / = i então = i. Substituindo, temos que - = i - = (i-) = i. Então = i/(i-) = (-i)/ e = i = (+i)/ e + =. 5) Alternativa: E 5) Alternativa: A 54) Alternativa: D 55) Alternativa: A 56) Alternativa: C 57) Alternativa: C 66) Alternativa: C 67) a) (x - ) + (x + 4)i b) x 6 4 i 68) a) 5 5 b) São os complexos de módulo, exceto z = i, ou seja, os complexos da forma z = a + bi, com a +b = (seus afixos pertencem à circunferência de centro na origem e raio ). 69) Alternativa: A 70) Alternativa: D 7) Alternativa: A 7) Alternativa: E 7) a) S = {z C z=x+yi e x +y = 4, x, y R } e S = {z C z = ou z = i, R } b) S = { -,, -i, i }

16 OBS: Note que S é uma circunferência de raio centrada na origem (complexos com módulo ) e S são os eixos coordenados (abscissa e ordenada) 74) a) Se z = x+iy, então z+i = x+i(y+) e z- = (x-)+iy. z i Então, dividindo z encontramos x(x ) y(y ) i(x )(y ) xy (x ) y e assim a parte x(x ) y(y ) x(x ) y(y ) real é (x ) y (x ) y. Fazendo = de onde se chega em x +(y+) = 8 para x e y0. Note que x +(y+) = 8 seria a equação da circunferência de centro (0,-) e raio se não tivéssemos x e y0. Assim, acrescentando-se o ponto (,0) temos a circunferência. 8) a) Z = +i ou Z = -i b) {,, +i, -i } 84) Alternativa: B 85) Resposta: i 86) a) Re( - ) = e Im( - ) = ; Re( ) = e Im( ) = 0 b) y = x+ 75) Alternativa: A 76) a) (x-y) + (x+y)i b) x = e y = - 77) Alternativa: D 78) Alternativa: A 79) a) 0, i, i, i b) b) c) ; i ; i 87) Alternativa: D 88) a) z = cos isen 4 b) x - 4x + 6x - 4 cos isen e z = 89) Alternativa: E 90) a) 4096 b) 0 9) Alternativa: C 80) a) Sendo z = x + yi e w = z i + z tem-se: w = (x + yi) - i + (x yi) = x + (y )i Então: Re(w) = x e Im(w) = (y - )i b) z i + z = 0 Û x + (y )i x = 0 e y = 0 x = 0 e y =. Então: z =0 + i = i 8) a) S = {,, i, i } b) i 8) Alternativa: C 9) Alternativa: B 9) Alternativa: D 94) Alternativa: D 95) A parte imaginária é zero. 96) Alternativa: D 97) Alternativa: D

17 98) a) z.z = (cos +isen ) (cos +isen ) = cos.cos + isen.cos + isen.cos -sen.sen = cos( + ) + isen( + ) b) se z= cos48 o +isen48 o então z 0 = cos480 o +isen480 o = cos0 o +isen0 o = - cos60 o +isen60 o z 5 = cos40 o +isen40 o = - cos60 o -isen60 o daí, z 0 +z 5 + = - cos60 o +isen60 o - cos60 o -isen60 o + = = 0. Como z verificou a equação, então ele é raiz. 99) Alternativa: C 00) Alternativa: C 0) Alternativa: B 0) Alternativa: D 0) Alternativa: D 04) Perímetro = 6 05) Alternativa: E 06) Alternativa: A As raízes do polinômio p(x) = x 6 - são as raízes sextas da unidade. As raízes sextas da unidade são números complexos cujo módulo é igual a e, portanto, suas representações geométricas são pontos eqüidistantes sobre a circunferência de raio e centro na origem. Como é uma destas raízes, a representação geométrica destas raízes coincide com os vértices do hexágono regular (veja figura abaixo) inscrito na circunferência de raio e centro na origem. A área de um hexágono regular inscrito em uma r circunferência de raio r é Como neste caso r =, a área deste hexágono é. 07) a) (0,), (0,-), ( /, /), (- /, /), ( /, - /), (- /, -/) b) qualquer k(x 6 +) serve portanto os coeficientes são do tipo k,0,0,0,0,0,k com k0. 08) Alternativa: E 09) a) = 6 b) z =, z = + i, z = i 8 c) V =

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