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1 coneões com Capítulo 8 números compleos capítulo 8. Escreva na forma algébrica os números compleos abaio. a) i i b) i i i c) e o i. (UEL-PR) Qual é a parte real do número compleo 5 a bi, com a e b reais e a. 0 e b. 0, cujo quadrado é 5 i? a) b) c) números compleos d) e). (Ibmec) Seja um número compleo tal que: 5e o, onde i é a unidade imaginária. É correto i afirmar que o módulo e o argumento de são iguais, respectivamente, a: a) e π c) e π e) e π b) e π d) e π. Determine os valores de para que o número compleo = seja imaginário puro. i i 5. (UFT-T) Considere i a unidade imaginária dos números compleos. valor da epressão (i ) 8 a) i b) c) d) i. (UFG-G) número compleo 5 i pode ser representado no plano, como a seguir: 7. (PUC) número compleo a bi, diferente de ero, está assinalado, no plano compleo, sobre o eio real. É correto afirmar que seu conjugado está situado: a) sobre o eio real. b) sobre o eio imaginário. c) no primeiro quadrante. d) no segundo quadrante. e) no terceiro quadrante. 8. (UEG-G) conjunto dos números compleos que satisfaem a condição $ i$ 5 $ $ é representado no plano cartesiano por uma reta: a) cuja inclinação é positiva. b) que contém a origem do sistema. c) que não intercepta o eio real. d) cuja inclinação é negativa. 9. (UFC-CE) s números compleos distintos e w são tais que w 5 e 8 w 5. a) Calcule $$. b) Calcule o valor w sabendo-se que está no primeiro quadrante do plano compleo. 0. (UFRJ) No jogo Batalha Complea são dados números compleos e w, chamados mira e alvo, respectivamente. tiro certeiro de em w é o número compleo t tal que t 5 w. imaginário w = Grau de dificuldade das questões: Fácil Médio Difícil 0 = 0 real P w α Considere r = ( ) o módulo de. número compleo pode ser escrito como: a) 5 r 8 (cos a i 8 sen a) b) 5 r 8 (cos a i 8 sen a) c) 5 r 8 (sen t i 8 cos t) d) 5 r 8 (sen a i 8 cos a) e) 5 r 8 (cos t i 8 sen t) Considere a mira e o alvo w indicados na figura anterior. Determine o tiro certeiro de em w.. Determine o módulo dos números compleos abaio. a) i b) i c) d) i. (Ufal) Na figura a seguir, os pontos P l e P são as respectivas imagens de dois números compleos e, ambos de módulo r, representados no plano de Argand-Gauss.

2 coneões com Capítulo 8 números compleos P Im () r r P Re () Se t é o argumento de, analise as afirmações seguintes. a) 8 tem módulo r e argumento t b) tem módulo unitário e argumento π c) é conjugado de d) 5 i 8 e) 5. (PUC) Dado o número compleo π π = cos i 8 sen, então, se P, P e P são as respectivas imagens de, e no plano compleo, a medida do maior ângulo interno do triângulo P P P a) 75º c) 0º e) 50º b) 00º d) 5º. (UFSM-RS) B(a, b). (Unifor-CE) Seja um número compleo dado por ( i) 8( i) =. Considerando as aproimações log 5 0,0 e log 5 0,8, o valor de log ( i) a) 0,0 c) 0,0 e) 0, b) 0,0 d) 0, 7. (Unifor-CE) Seja o número compleo 5 i, em que é um número real negativo. Se =, então a forma trigonométrica de π π a) 8 dcos i 8 sen n 5π 5π b) 8 dcos i 8 sen n π π c) 8 dcos i 8 sen n 5π 5π d) 8 dcos i 8 sen n π π e) 8 dcos i 8 sen n 8. (Unifesp) Considere, no plano compleo, conforme a figura, o triângulo de vértices 5, 5 5 e 5 i. Um triângulo fica determinado pelo conhecimento de elementos, que são seus vértices. A figura mostra um triângulo retângulo AB no qual o ponto B tem por afio o número compleo 5 a bi, cujos módulo ú e argumento t são, respectivamente, e π. Assim, a equação da reta suporte da altura relativa à hipotenusa do triângulo AB a) 5 0 d) = 0 ( ) b) 5 0 e) = 0 c) = 0 5. (UFPel-RS) módulo de um número compleo 5 a bi, a Ñ R, b Ñ R, é a distância do ponto (a, b) ao ponto (0, 0) do plano Argand-Gauss. Com base no teto e em seus conhecimentos, é correto afirmar que o módulo do número compleo i 5 ( i) é, aproimadamente: i a) 7,07 c) 8,0 e) 9,0 b),08 d), f ) I.R. G A 0 5 A área do triângulo de vértices w 5 i, w 5 i e w 5 i a) 8 c) e) b) d) 9. (Vunesp) Considere os números compleos 5 i e 5 i, onde i é a unidade imaginária e é um número real. Determine: a) o número compleo 8 em função de. b) os valores de tais que Re( 8 ) < Im( 8 ), onde Re denota a parte real e Im, a parte imaginária do número compleo. 0. (Vunesp) número compleo 5 a bi é vértice de um triân gulo equilátero, como mostra a figura. b a Sabendo que a área desse triângulo é igual a, deter mine.

3 coneões com Capítulo 8 números compleos. (FCC-SP) É dado o número compleo 5 i, com, Ñ R. lugar geométrico das imagens dos números, tais que $$, l e, 0, é representado no plano Argand-Gauss pela região pintada na figura: a) b) c) d) e) Im() Im() Im() Im() Im() Re() Re() Re() Re() Re(). (Fuvest-SP) Sabendo que a é um número real e que i a parte imaginária do número compleo é ero, então a a i a) b) c) d) e). (UFPel-RS) Na eletrônica e na eletricidade, a análise de circuitos de corrente alternada é feita com a ajuda de números compleos. Grandeas como a impedância (em ohms) e a potência aparente (em volt- -ampère) são eemplos de quantidades compleas. Considerando Z e Z dois números compleos, Z e Z seus respectivos conjugados e $Z $ e $Z $ seus respectivos módulos, analise as afirmativas. I. Z 8 Z é sempre um número real. II. $Z $ 8 $Z $ é sempre um número irracional. III. Z 8 Z 5 Z 8 Z IV. $Z Z $ i $Z $ 8 $Z $ A respeito dessas afirmativas, é correto afirmar que: a) Somente I e II são verdadeiras. b) Somente II e IV são verdadeiras. c) Somente I e III são verdadeiras. d) Todas as afirmativas são verdadeiras. e) Todas as afirmativas são falsas. f) I.R.. (Unifesp) s números compleos, 5 i e 5 a ai, onde a é um número real positivo, representam no plano compleo vértices de um triângulo equilátero. Dado que $ $5, o valor de a a) c) e) b) d) 5. (UPF-MG) Sendo o número compleo 5 i, 8 as epressões de e são dadas, respectivamente, por: a) i e c) i e e) e b) i e d) i e. (Mackenie-SP) Que números compleos representam dois vértices de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de centro na origem, onde um dos três vértices do triângulo é dado por V 5 i? a) i e i b) i e i c) i e i d) i e i e) i e 7. (Unir-R) Fiado um ângulo t, em radianos, a multiplicação complea (cos t i 8 sen t) 8 ( i) representa a rotação de t radianos, no sentido anti- -horário, em torno da origem, do número compleo i. Rotacionando 0 graus, no sentido anti- -horário e em torno da origem, o número compleo i, obtém-se: a) i c) i e) i b) i d) i 8. (Fuvest-SP) Dentre os números compleos 5 a bi, não nulos, que têm argumento igual a π, aquele cuja representação geométrica está sobre a parábola 5 a) i c) i e) i b) i d) i

4 coneões com Capítulo 8 números compleos 9. (Unicamp-SP) Dado o número compleo 5 i, o seu conjugado é o número compleo 5 i. a) Resolva as equações 8 5 e () 5. b) Ache os pontos de intersecção dos lugares geométricos que representam as soluções dessas equações. 0. (UFSCar-SP) Sejam i a unidade imaginária e a n o n-ésimo termo de uma progressão geométrica com a 5 8 a. Se a é um número ímpar, então i a ia ia... ia 0 é igual a: a) 9i ou 9i b) 9 i ou 9 i c) 9 i ou 9 i d) 8 i ou 8 i e) 7 i ou 7 i. (UFBA) Na figura, tem-se uma circunferência de centro na origem dos eios coordenados e raio igual a u.c. comprimento do menor arco de origem em A e etremidade em P é igual a π u.c.. Escreva o número compleo w= na forma trigonométrica, dados os compleos 5 t e 5 t. 5. (Cesgranrio-RJ) lugar geométrico das imagens dos compleos tais que é real a) um par de retas paralelas. b) um par de retas concorrentes. c) uma reta. d) uma circunferência. e) uma parábola.. Considere os números compleos 5 0(cos 75 i 8 sen 75 ) e 5 (cos 5 i 8 sen 5 ) e determine: a) 8 b) c) 7. Dado o número compleo π π = cos i 8 sen, determine o valor da epressão: w (Unicamp-SP) Identifique o lugar geométrico dos pontos 5 i do plano compleo tal que Re d n 5. Determine a equação cartesiana e faça o gráfico desse lugar. A P 9. (Fuvest-SP) a) Se 5 cos t i 8 sen t e 5 cos t i 8 sen t, mostre que o produto 8 é igual a cos (t t ) i 8 sen (t t ). b) Mostre que o número compleo 5 cos 8º i 8 sen 8º é rai da equação Considere os pontos P, P e P vértices de um triângulo equilátero inscrito na circunferência e representado, nessa ordem, no sentido anti-horário. Sendo P, P e P, respectivamente, afios dos números compleos 5, e, calcule.. (ITA-SP) conjunto A, definido por A = $ ÑY;( i)( i) =., representa no plano compleo: a) uma elipse cujos focos se encontram nos pontos i e i. b) uma circunferência de centro no ponto (0, ) e raio. c) uma circunferência de centro no ponto (0, 0) e raio. d) um par de retas que se cortam no ponto (, ). e) nenhuma das anteriores.. Escreva os números compleos abaio na forma trigonométrica. a) 5 b) 5 i c) 5 i d) = i 0. (Unicamp-SP) Se 5 i é um número compleo, o número real é chamado parte real de e é indicado por Re(), ou seja, Re( i) 5. a) Mostre que o conjunto dos pontos (, ) que satisfaem a equação Re e o =, ao qual se i acrescenta o ponto (, 0), é uma circunferência. b) Ache a equação da reta que passa pelo ponto (, 0) e é tangente àquela circunferência.. (Unicamp-SP) Um número compleo 5 i, i 0, podeser escrito na forma trigonométrica: 5 $$ (cos t i 8 sen t), onde $$5, cos t5 $$ esen t5. Essa forma de representar os números $$ compleos não nulos é muito conveniente, es- pecialmente para o cálculo de potências inteiras de números compleos, em virtude da fórmula de De Moivre: [$$(cos t i 8 sen t)] k 5 k (cos kt i 8 sen kt), que é válida para todo k Ñ Z. Use essas informações para: a) calcular ( i). b) sendo 5 i, calcular o valor de... 5.

5 coneões com Capítulo 8 números compleos 5. (Fuvest-SP) numero compleo i 0 e o seu inverso têm o mesmo módulo. Conclui-se que: a) e são conjugados. b) Represente essas soluções no plano compleo, usando o sistema de coordenadas desenhado a seguir. Im () b) 5 i c) este módulo é. d) e e) 5 são reais.. (Fuvest-SP) Determine os números compleos que sa tisfaem, simultaneamente, 5 e i Im e o =. i Lembretes: i 5 ; w 5 a bi, com a e b reais, então w = a b e Im(w) 5 b.. (Fuvest-SP) a) Determine todas as soluções, no campo compleo, da equação 5 i, onde i é a unidade imaginária, isto é, i 5, e é o conjugado de. Re () 5. (Fuvest-SP) Nos itens a seguir, denota um número compleo e i a unidade imaginária (i 5 ). Suponha i i. i a) Para quais valores de tem-se 5? i b) Determine o conjunto de todos os valores de i para os quais é um número real. i

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