1. (Espcex 2013) A figura geométrica formada pelos afixos das raízes complexas da equação a) 7 3 b) 6 3 c) 5 3 d) 4 3 e) 3 3

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1 Complexos 06. (Espcex 0) A figura geométrica formada pelos afixos das raízes complexas da equação a) 7 b) 6 c) 5 d) e) x 8 0 tem área igual a. (Unicamp 0) Chamamos de unidade imaginária e denotamos por i o número complexo tal que i. Então i 0 i i i i 0 vale a) 0. b). c) i. d) i.. (Ita 0) A soma das raízes da equação em, a). b). c). d). e) 5. 8 z 7 z 6 0, tais que z z 0, é. (Cefet MG 0) A reta s : y x intercepta as retas s : y x, s : y nos pontos distintos que representam os afixos de dois números complexos, z e z, respectivamente. Nesse caso, a tangente do argumento do complexo z = z + z é igual a a) 5 7. b) 9 5. c) 5. d) 9. e) (Fgv 0) No plano Argand-Gauss estão indicados um quadrado ABCD e os afixos dos números complexos Z 0, Z, Z, Z, Z, e Z 5.

2 Complexos 06 Se o afixo do produto de Z 0 por um dos outros cinco números complexos indicados é o centro da circunferência inscrita no quadrado ABCD, então esse número complexo é a) Z. b) Z. c) Z. d) Z. e) Z (Epcar (Afa) 0) Considerando os números complexos z e z, tais que: z é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo quadrante z é raiz da equação x x 0 Pode-se afirmar que z z é igual a a) b) c) d) Im z 0 e 7. (Fgv 0) O número complexo z a bi, com a e b reais, satisfaz z z 8i, com condições, a) 68. b) 00. c) 69. d) 08. e) 89. z é igual a a bi a b. Nessas 8. (Unesp 0) Identifique o lugar geométrico das imagens dos números complexos Z, tais que Z Z. 9. (Ita 0) A soma de todas as soluções da equação em : z z iz 0 a). é igual a

3 Complexos 06 b) i. c) 0. d).. e) i. 0. (Unifesp 0) No plano de Argand-Gauss (figura), o ponto A é chamado afixo do número complexo z x yi, cujo módulo (indicado por z ) é a medida do segmento OA e cujo argumento (indicado por ) é o menor ângulo formado com OA, no sentido anti-horário, a partir do eixo Re(z). O número complexo z i é chamado unidade imaginária. a) Determinar os números reais x tais que z (x i) é um número real. b) Se uma das raízes quartas de um número complexo z é o complexo z, 0 cujo afixo é o ponto (0, a), a 0, determine z.. (Ifsp 0) Sendo i a unidade imaginária, considere os números complexos z = + i e w = z z. Um argumento de w é a). b). c). d). e) 5.. (Mackenzie) Se y = x, sendo x= i i e i =, o valor de (x + y) é a) 9i b) 9 + i c) 9 d) 9 e) 9 i. (Ibmecrj 009) Seja z um número complexo tal que:

4 Complexos 06 z, onde i é a unidade imaginária. i É correto afirmar que o módulo e o argumento de z são iguais, respectivamente, a: a) e π b) e ð. c) e π d) e π. e) e ð.. (Uel) Qual é a parte real do número complexo z = a + bi, com a e b reais e a > 0 e b > 0 cujo quadrado é -5 + i? a) b) c) d) e) 5. (Unifesp) Quatro números complexos representam, no plano complexo, vértices de um paralelogramo. Três dos números são z = - - i, z = e z = - + (5/)i. O quarto número tem as partes real e imaginária positivas. Esse número é a) + i b) + (/)i. c) + 5i. d) + (/)i. e) + 5i.

5 Complexos 06 Gabarito: Resposta da questão : [E] Temos que x 8 0 x 8 0 i. Logo, queremos calcular as raízes cúbicas do complexo z 8 0 i. Como o módulo de z é ρ 8 0 8, segue que o argumento principal θ de z é tal que 0 senθ cosθ 8 θ 0. 0 π Desse modo, w0 0 e r. Portanto, as raízes cúbicas de z são dadas por ou seja, zk 8 [cos(w0 k r) isen(w0 k r)] [cos(k r) isen(k r)], z0 [cos0 i sen0], e π π z cos i sen i π π z cos i sen i. As imagens dos complexos z 0, z e z determinam um triângulo equilátero de lado cuja área é dada por z z ( i ) 0 Resposta da questão : [D] i ( ) u.c., z0 z u.a.

6 Complexos 06 Calculando a soma dos 0 termos de uma P.G de primeiro termo e razão i, temos: (i ) i ( i) i i i i i i i i i ( i) Resposta da questão : [C] Seja z a bi, com a,b. Sabendo que z z 0, vem z z a bi a b (a bi) a b (a b ) abi a b b 0 e a, ou seja, queremos calcular a soma das raízes reais e não negativas da equação. Logo, fazendo x 7x 6 0 x ou x 6. Daí, z x, obtemos z z e z 6 z 6. Portanto, a soma pedida é. Resposta da questão : [B] (s)y x (s )y x 5 5 logo x,y e z i (s) x (s )y logo x,y e z i 5 7 Logo, z z i, admitindo agora θ como o argumento de z z, temos: tgθ

7 Complexos 06 Resposta da questão 5: [B] É fácil ver que o centro da circunferência inscrita no quadrado ABCD é o ponto (,5;,5). Desse modo, queremos calcular Z, k tal que Z0Zk,5,5 i. Assim, como Z0 i, temos Zk,5,5 i i,5,5 i i i i,5,5 i,5 i,5,5 i Z. Resposta da questão 6: [A] Calculando as raízes cúbicas de 8i, temos: x 8i 0 x i 0 x i x ix 0 x i ou x i ou x i. Portanto Z i Resolvendo a equação Portanto Z = i x x 0, temos: 9 7 x x x x x i e z z i i i. Resposta da questão 7: [E] a bi a b 8i b 8 e a a b a a 8 a 8 ( a) a 6 a a a 5 z Logo,

8 Complexos 06 Resposta da questão 8: Considerando Z = x + yi, tem-se Z Z. x y. x y (x y ) 6.(x y ) 9.(x y ) 6.(x y ) x y 9. O lugar geométrico é uma circunferência centrada na origem do sistema cartesiano e com raio medindo unidades. Resposta da questão 9: [E] Z + z i.z 0 Fazendo z = x + yi, temos: (x + yi) + x + y + I.(x + yi) = 0 Desenvolvendo a expressão temos: (x y ) + (y + )x.i = 0 (y ).x 0 x 0 ou y - x y 0 x y 0 Para x = 0 temos y = - logo z = 0 i Para y = temos x = ou x =, logo z = Somando: z + z + z = -i e z = i i

9 Complexos 06 Resposta da questão 0: 0 z (x i) x (i) x (i) x (i) x (i) 0 0 a) x (i) x x 6 (8x x)i. Logo, z é real se, e somente se, 8x x 0 8x(x ) 0 8x(x )(x ) 0 x 0 ou x ou x. b) Como z 0 é uma das raízes quartas de z, segue que Resposta da questão : [D] z z. Portanto, z z z ( 0 a ) a. W = ( + i) ( +i) Desenvolvendo, temos: W = - + i = (=, i) Logo, seu argumento será 5 o (90 o + 5 o ). Resposta da questão : [C] x = i i i i i i i i i i e y = i (x+y) = (i + i) = (i) = 9i = - 9 Resposta da questão : [E] z i 6 6 [( i) ] ( i) z

10 Complexos 06 cos θ sen θ 0 0 θ π Resposta da questão : [D] Resposta da questão 5: [B]